高中物理競賽賽模擬卷3含答案

1、物理競賽復(fù)賽模擬卷1.試證明：物體的相對論能量E與相對論動(dòng)量P的量值之間有如下關(guān)系： 2. 在用質(zhì)子轟擊固定鋰靶的核反應(yīng)中，（1）計(jì)算放出粒子的反應(yīng)能。（2）如果質(zhì)子能量為1兆電子伏特，問在垂直質(zhì)子束的方向觀測到粒子的能量有多大？有關(guān)原子核的質(zhì)量如下：，1.007825；，4.002603；，圖51-217.015999.3. 一個(gè)處于基態(tài)的氫原子與另一個(gè)靜止的基態(tài)氫原子碰撞。問可能發(fā)生非彈性碰撞的最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光反射，且在原速度方向和反方向可以觀察到光。問這種光的頻率與簡正頻率相差多少？氫原子的質(zhì)量為1.67×10-27kg，電離能。4. 如圖11-136所示，

2、光滑無底圓筒重W，內(nèi)放兩個(gè)重量均為G的光滑球，圓筒半徑為R，球半徑為r，且r<R<2r，試求圖11-136圓筒發(fā)生傾倒的條件。12L，GL，G（甲）1G（乙）B2FG（丙）5. 兩個(gè)完全相同的木板，長均為L，重力均為G，彼此以光滑鉸鏈A相連，并通過光滑鉸鏈與豎直墻相連，如圖（甲）所示。為使兩木板達(dá)水平狀態(tài)保持平衡，問應(yīng)在何處施加外力？所施加的最小外力為多大？ 圖11-5056. 如圖11-505所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無重桿絞接而成，各絞接點(diǎn)依次為1、29，其中絞接點(diǎn)8、2、5、7、9位于同一水平直線上，且9可以無摩擦地水平滑動(dòng)。各絞接點(diǎn)間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間

3、距如圖所示，絞接點(diǎn)3承受有豎直向下的壓力P/2，點(diǎn)1承受有豎直向下的壓力P，求絞接點(diǎn)3和4間桿的內(nèi)力。7. 一平直的傳送帶以速度v=2m/s勻速運(yùn)行，傳送帶把A點(diǎn)處的零件運(yùn)送到B點(diǎn)處，A、B兩點(diǎn)之間相距L=10m，從A點(diǎn)把零件輕輕地放到傳送帶上，經(jīng)過時(shí)間t=6s，能送到B點(diǎn)，如果提高傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率，零件能較快地傳送到B點(diǎn)，要讓零件用最短的時(shí)間從A點(diǎn)傳送到B點(diǎn)處，說明并計(jì)算傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率至少應(yīng)多大？如要把求得的速率再提高一倍，則零件傳送時(shí)間為多少（）？ 圖12-318. 一物體以某一初速度v0開始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直至停止，其總位移為s，當(dāng)其位移為2/3s時(shí)，所用時(shí)間為t1；當(dāng)其速度為1/3v

4、0時(shí)，所用時(shí)間為t2，則t1、t2有什么樣的關(guān)系？9一根長為1m具有小內(nèi)截面的玻璃管，兩端開口，一半埋在水中。在上端被覆蓋后，把玻璃管提升起來并取出水面。問玻璃管內(nèi)留下的水柱高度為多少。10 靜止的原子核衰變成質(zhì)量為m1,m2,m3的三個(gè)裂片，它們的質(zhì)量損為m。若三裂片中每兩片之間速度方向的夾角都是120°，求每個(gè)裂片能量。11.玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折射率為n1，液體對綠光的折射率為n2。當(dāng)容器壁的內(nèi)、外半徑之比r:R為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？12.（1）用折射率

5、為的透明物質(zhì)做成內(nèi)半徑、外半徑分別為a、b的空 ba心球，b遠(yuǎn)大于a，內(nèi)表面涂上能完全吸光的物質(zhì)。問當(dāng)一束平行光射向此球時(shí)被吸收掉的光束橫截面積為多大？（注意：被吸收掉的光束的橫截面積，指的是原來光束的橫截面積，不考慮透明物質(zhì)的吸收和外表面的反射。）圖33-114所示是經(jīng)過球心的截面圖。（2）如果外半徑b趨于a時(shí)，第（1）問中的答案還能成立？為什么？13.真空中有一個(gè)半徑為R的均勻透明球，今有兩束相距為2d(dR)對稱地（即兩光束與球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率n的取值范圍進(jìn)行討論（1）n取何值時(shí)兩束光一定在球內(nèi)相交？（2）n取何值時(shí)兩束光一定在球外相交？（3）如

6、果n、d、R均已給定，如何判斷此時(shí)兩束光的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外。、14一點(diǎn)電荷+q和半徑為a的接地導(dǎo)體的球心相距為h，求空間的電勢分布。15電荷q均勻分布在半球面ACB上，球面的半徑為R，CD為通過半球頂點(diǎn)C與球心O的軸線，如圖41-91。P、Q為CD軸線上在O點(diǎn)兩側(cè)，離O點(diǎn)距離相等的兩點(diǎn)，已知P點(diǎn)的電勢為Up，試求Q點(diǎn)的電勢UQ。1.試證明：物體的相對論能量E與相對論動(dòng)量P的量值之間有如下關(guān)系： 證明： 讀者可試為之，從入手證明它等于。2. 在用質(zhì)子轟擊固定鋰靶的核反應(yīng)中，（1）計(jì)算放出粒子的反應(yīng)能。（2）如果質(zhì)子能量為1兆電子伏特，問在垂直質(zhì)子束的方向觀測到粒子的能量有多大？有關(guān)原子核的

7、質(zhì)量如下：，1.007825；，4.002603；，圖51-217.015999.解：（1）核反應(yīng)方程如下： 靜質(zhì)量 動(dòng) 能 由總質(zhì)量和總能量守恒： 由反應(yīng)能Q的定義得： （兆電子伏特）其中： 兆電子伏特 =931.5兆電子伏特（2）設(shè)鋰靶是靜止的，根據(jù)動(dòng)量守恒，可知，反應(yīng)所產(chǎn)生的兩個(gè)相同的粒子（核），應(yīng)沿入射質(zhì)子的方向?qū)ΨQ分開，如圖51-21所示。由動(dòng)量守恒定律有 矢量合成的三角形，兩底角皆為，又因，因而有已知反應(yīng)能Q=17.35兆電子伏特，且 其中兆電子伏特，可得 =9.175（兆電子伏特）即反應(yīng)所生成的粒子其能量為9.175兆電子伏特。粒子飛出方向與入射質(zhì)子的方向之間的夾角為，因此 由于

8、，得： 代入反應(yīng)能Q的定義式： 將上式中質(zhì)量數(shù)改為質(zhì)量比得 其中，代入上式： 所以 所以 由此可知，在垂直于質(zhì)子束的方向上觀察到的能量近似就是9.175兆電子伏特。3. 一個(gè)處于基態(tài)的氫原子與另一個(gè)靜止的基態(tài)氫原子碰撞。問可能發(fā)生非彈性碰撞的最小速度為多少？如果速度較大而產(chǎn)生光反射，且在原速度方向和反方向可以觀察到光。問這種光的頻率與簡正頻率相差多少？氫原子的質(zhì)量為1.67×10-27kg，電離能。 解：處于基態(tài)的氫原子能量為，第二激發(fā)能量為被氫原子吸收的最小能量子為 我們必須求出在碰撞中能量損失為以上數(shù)值的最小速度。如果碰撞是完全非彈性的，則碰撞中能量損失最大，碰撞后的速度將是初動(dòng)

9、能和末動(dòng)能之差為 這個(gè)值應(yīng)等于最小的能量子 因此 在非彈性碰撞后，兩個(gè)原子的速度為 本題第二間的解答與多普勒效應(yīng)有聯(lián)系。對于比光速小很多的速度，相對速度之比給出頻率相對變化的極好近似。故有 兩束光的頻率按此比率稍小于或稍大于簡正頻率4. 如圖11-136所示，光滑無底圓筒重W，內(nèi)放兩個(gè)重量均為G的光滑球，圓筒半徑為R，球半徑為r，且r<R<2r，試求圖11-136圓筒發(fā)生傾倒的條件。分析：如果對兩個(gè)小球和無底圓筒分別隔離分析受力再列方程組，較復(fù)雜，采取整體法較好。解：根據(jù)物體平衡條件，列出以下方程：選擇兩個(gè)小球作為研究對象，則在豎直方向上有 N-2G=0 (1)以整體為研究對象，若

10、翻倒必以A為軸逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，在臨界態(tài)下對A的力矩和為零。此時(shí)，系統(tǒng)受力情況為：兩物體的重力，桌面對球支持力N，筒的重力W，它們對A的力矩不為零，桌面對筒的支持力過A點(diǎn)，力矩為零，故有 (2)將1式代入2式有 若該圓筒傾倒必須有。討論：（1）從答案中可以看出，當(dāng)G大W小，r與R很接近，就容易傾倒，這也符合重心高、支面小穩(wěn)度就小的結(jié)論。（2）如果是一個(gè)有底圓筒，則在沒有其他力推它的情況下，就絕不會(huì)傾倒。請同學(xué)們想一想，這是為什么？5. 兩個(gè)完全相同的木板，長均為L，重力均為G，彼此以光滑鉸鏈A相連，并通過光滑鉸鏈與豎直墻相連，如圖11-245（甲）所示。為使兩木板達(dá)水平狀態(tài)保持平衡，問應(yīng)在何處施

11、加外力？所施加的最小外力為多大？分析：要使兩板均處于平衡狀態(tài)，外力只能作用在板2上，作用點(diǎn)應(yīng)位于鉸鏈A與板2的重心之間，以便使板1的右端受到向上的作用力，方可使板1也處于平衡狀態(tài)。為使作用力最小，外力應(yīng)與木板垂直。解：如圖11-245（乙）、（丙）所示。為使板1達(dá)水平平衡狀態(tài)，其右端A應(yīng)受到向上的作用，的施力物體是板2左端。根據(jù)力矩平衡條件有12L，GL，G（甲）1G（乙）B2FG（丙）圖11-245解之得 隔離木板2，其左端受到（與為作用力的反作用力）及重力mg作用，為使板2呈水平且平衡，外力F的作用點(diǎn)應(yīng)在和G的作用點(diǎn)之間。設(shè)F作用點(diǎn)距A為x，選F作用點(diǎn)B為轉(zhuǎn)軸，根據(jù)力矩平衡條件有 將代入上

12、式得 解之得 板2所受合力應(yīng)為0，有 點(diǎn)評：本題著重領(lǐng)會(huì)由結(jié)果或效果反推原因的思想方法，和F的方向及作用點(diǎn)均由此方法推出。本題兩次使用隔離法。 圖11-5056. 如圖11-505所示，屋架由同在豎直面內(nèi)的多根無重桿絞接而成，各絞接點(diǎn)依次為1、29，其中絞接點(diǎn)8、2、5、7、9位于同一水平直線上，且9可以無摩擦地水平滑動(dòng)。各絞接點(diǎn)間沿水平方向上的間距和沿豎直方向上的間距如圖所示，絞接點(diǎn)3承受有豎直向下的壓力P/2，點(diǎn)1承受有豎直向下的壓力P，求絞接點(diǎn)3和4間桿的內(nèi)力。解： 由于點(diǎn)9可沿水平方向無摩擦滑動(dòng)，故屋架在點(diǎn)9處所受外力只可能沿豎直方向，設(shè)為N9。由于屋架所受外力N9、P/2和P均沿豎直

13、方向，則屋架在點(diǎn)8所受的外力也只可能沿豎直方向，設(shè)其為N9。以整個(gè)屋架為對象，列各外力對支點(diǎn)8的力矩平衡方程，有圖11-506 所以 N9的方向豎直向上。又由整個(gè)屋架的受力平衡關(guān)系應(yīng)有 所以 N8的方向豎直向上。假設(shè)將絞接點(diǎn)5、6、7、9這部分從整個(gè)屋架中隔離出來，則這部分受到桿15、桿47、桿36的作用力，這幾個(gè)作用力均沿與桿15平行的方向，設(shè)其以一個(gè)力T表示，則這個(gè)力T也必與桿15方向平行。此外，這部分還受到桿25的作用，設(shè)其為T25，顯然T25的方向應(yīng)沿水平方向；這部分還受到支持力N9的作用。這樣，這部分就等效為受T、T25和N9三個(gè)力的作用而平衡。則表示此三力的矢量構(gòu)成一個(gè)封閉三角形，

14、由前述此三力的方向關(guān)系可以確定，這一三角形只能是如圖11-506所示的三角形，由此三角形可見，圖11-507 桿25對點(diǎn)5的作用力方向水平向左，可見桿25中的內(nèi)力為張力。又假設(shè)取絞接點(diǎn)8為研究對象，它受到支持力N8和桿82對它的作用力T82和桿81對它的作用力T81，由于此三力平衡，則N8與T82的合力必沿桿81的方向，可見應(yīng)有圖11-508 且T82的方向應(yīng)水平向右，即桿82的內(nèi)力為張力。再假設(shè)取絞接點(diǎn)2為研究對象，由以上分析知，其左、右兩水平桿對它的作用力均為拉力，其大小分別為P和P/2。而另外只有桿24能對點(diǎn)2提供水平方向的分力，則為使點(diǎn)2在水平方向受力平衡，桿24作用于點(diǎn)2的力必沿由2

15、指向點(diǎn)4的方向，進(jìn)而為使點(diǎn)2在豎直方向上受力平衡，則桿12對點(diǎn)2的作用力必沿豎直向下的方向。綜合上述可得點(diǎn)2的受力如圖11-507所示。由圖知 故得 即桿24中的內(nèi)力為張力，其大小為最后以點(diǎn)4為研究對象，它受到與之相連的三根桿的三個(gè)力的作用。此三力應(yīng)互相平衡?，F(xiàn)以T42、T47、T43表示這三個(gè)力，由于T42的方向是確定的（桿42的內(nèi)力為張力，則T42必沿由點(diǎn)4指向點(diǎn)2的方向），而T47、T43又只能沿對應(yīng)桿的方向，則此三力只可能取如圖11-508所示的方向。由點(diǎn)4在水平方向的受力平衡，應(yīng)有 所以 由點(diǎn)4在豎直方向的平衡，應(yīng)有 =P即桿43中的內(nèi)力為張力，大小為P。7. 一平直的傳送帶以速度v

16、=2m/s勻速運(yùn)行，傳送帶把A點(diǎn)處的零件運(yùn)送到B點(diǎn)處，A、B兩點(diǎn)之間相距L=10m，從A點(diǎn)把零件輕輕地放到傳送帶上，經(jīng)過時(shí)間t=6s，能送到B點(diǎn)，如果提高傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率，零件能較快地傳送到B點(diǎn)，要讓零件用最短的時(shí)間從A點(diǎn)傳送到B點(diǎn)處，說明并計(jì)算傳送帶的運(yùn)動(dòng)速率至少應(yīng)多大？如要把求得的速率再提高一倍，則零件傳送時(shí)間為多少（）？分析：零件在傳遞帶上加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)零件與傳送帶的速度相等時(shí)，就與傳送帶一起作勻速運(yùn)動(dòng)，這就說明了傳送帶的速度大，它加速的時(shí)間長，由于傳送帶的長度一定，只要零件在這有限的長度內(nèi)一直是加速的，在此加速過程中得到的最大速度也就是傳送帶要使零件一直加速具有的最小速度，若傳送帶的速度

17、再加大，也不能使零件運(yùn)送的時(shí)間變短。反過來看，若是零件以一定的初速度滑上傳送帶，它在傳送帶上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間有一個(gè)最大值和最小值，顯然，最小值就是它在傳送帶一直是加速的，而最大值就是零件在傳送帶上一直是減速的，同樣地，減速過程中對于傳送帶的速度也有一個(gè)臨界值，當(dāng)傳送帶小于這個(gè)臨界值時(shí)，零件到達(dá)傳送帶另一端的時(shí)間不會(huì)變。這兩個(gè)臨界值是值得注意的。解：零件的初速度為零，放在傳送帶上，受到傳送帶對它的滑動(dòng)摩擦力，提供它作加速運(yùn)動(dòng)所需要的外力，即。若零件一直是加速，到達(dá)B點(diǎn)的速度為，由題意可知， 。顯然這是不可能的，當(dāng)零件與傳送帶的速度相等時(shí)，它們之間的滑動(dòng)摩擦力消失，零件與傳送帶一起作勻速運(yùn)動(dòng)，由題意可知

18、，代入數(shù)據(jù)后解得。要使零件能較快地從A點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)，則零件在A、B之間應(yīng)該一直加速，也就是零件到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度，而 ，。故最短的時(shí)間若傳送帶的速率提高一倍，則零件傳送的時(shí)間不變，這是因?yàn)榱慵恢笔羌铀俚模捎诩铀俣群图铀俚木嚯x一定，故運(yùn)行的時(shí)間也就一定了，還是s。8. 一物體以某一初速度v0開始做勻減速直線運(yùn)動(dòng)直至停止，其總位移為s，當(dāng)其位移為2/3s時(shí)，所用時(shí)間為t1；當(dāng)其速度為1/3v0時(shí)，所用時(shí)間為t2，則t1、t2有什么樣的關(guān)系？解法一：設(shè)物體的加速度為a（大?。?，由速度公式得 有 （1）根據(jù)位移公式得 且 此兩式聯(lián)立得 解之得 因?yàn)樵撐矬w運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間，因此有，由此知只能取 （2）比較（

19、1）、（2）式可知 解法二：物體在時(shí)間內(nèi)的位移為 （3）物體在時(shí)間內(nèi)的位移為 （9）比較（3）、（4）式可知，因而其對應(yīng)的時(shí)間應(yīng)滿足。解法三：根據(jù)題意作出物體的-t圖像如圖12-31所示，顯然，當(dāng)經(jīng)過時(shí)間時(shí)，發(fā)生的位移早已超過。原因是，根據(jù)圖中，由此可知，表示的位移為，即在時(shí)間內(nèi)發(fā)生的位移為，所以，。9一根長為1m具有小內(nèi)截面的玻璃管，兩端開口，一半埋在水中。在上端被覆蓋后，把玻璃管提升起來并取出水面。問玻璃管內(nèi)留下的水柱高度為多少。解：埋入水中后，玻璃管中水柱為0.5m。取出水面時(shí)，有一小部分水流出。如留下的水柱高度為h，水管內(nèi)的空氣壓強(qiáng)可用玻意耳-馬略特定律算出： （1）式中L=1m，A為

20、玻璃管的截面。玻璃管外的壓強(qiáng)等于玻璃管內(nèi)水柱和空氣的壓強(qiáng)之和。 （2）其中為水的密度。解此方程，得出這從物理上看是可接受的數(shù)值。10靜止的原子核衰變成質(zhì)量為m1,m2,m3的三個(gè)裂片，它們的質(zhì)量損為m。若三裂片中每兩片之間速度方向的夾角都是120°，求每個(gè)裂片能量。解： 由題建立如下坐標(biāo)系圖（51-1）原子核衰變釋放能量： 由能量守恒知： yxmmm圖51-1由軸方向動(dòng)量守恒得： 又由y軸方向動(dòng)量守恒得： 又 11.玻璃圓柱形容器的壁有一定的厚度，內(nèi)裝一種在紫外線照射下會(huì)發(fā)出綠色熒光的液體，即液體中的每一點(diǎn)都可以成為綠色光源。已知玻璃對綠光的折射率為n1，液體對綠光的折射率為n2。當(dāng)

21、容器壁的內(nèi)、外半徑之比r:R為多少時(shí)，在容器側(cè)面能看到容器壁厚為零？分析： 所謂“從容器側(cè)面能看到容器壁厚為零”，是指眼在容器截面位置看到綠光從C點(diǎn)處沿容器外壁的切線方向射出，即本題所描述為折射角為90°的臨界折射，因?yàn)轭}中未給出、的大小關(guān)系，故需要分別討論。圖33-104解：（1）當(dāng)時(shí)因?yàn)槭且蟮淖钚≈担援?dāng)<時(shí)，應(yīng)考慮的是圖33-104中ABCD這樣一種臨界情況，其中BC光線與容器內(nèi)壁相切，CD光線和容器外壁相切，即兩次都是臨界折射，此時(shí)應(yīng)該有設(shè)此時(shí)容器內(nèi)壁半徑為，在直角三角形BCO中，。當(dāng)時(shí)，C處不可能發(fā)生臨界折射，即不可能看到壁厚為零；當(dāng)時(shí)，熒光液體中很多點(diǎn)發(fā)出的光都

22、能在C處發(fā)生臨界折射，所以只要滿足即可看到壁厚為零。（2）當(dāng)=時(shí)圖33-105此時(shí)熒光液體發(fā)出的光線將直線穿過容器內(nèi)壁，只要在CB及其延長線上有發(fā)光體，即可看到壁厚為零，因此此時(shí)應(yīng)滿足的條件仍然是 （3）當(dāng)>時(shí)因?yàn)?gt;，所以熒光液體發(fā)出的光在容器內(nèi)壁上不可能發(fā)生折射角為的臨界折射，因此當(dāng)時(shí)，所看到的壁厚不可能為零了，當(dāng)時(shí)，應(yīng)考慮的是圖33-105中ABCD這樣一種臨界情況，其中AB光線的入射角為90°，BC光線的折射角為，此時(shí)應(yīng)該有在直角三角形OBE中有 因?yàn)閳D33-104和圖33-105中的角是相同的，所以，即將代入，可得當(dāng) 時(shí)，可看到容器壁厚為零。上面的討論，圖33-1

23、04和圖33-105中B點(diǎn)和C點(diǎn)的位置都是任意的。故所得條件對眼的12.（1）用折射率為的透明物質(zhì)做成內(nèi)半徑、外半徑分別為a、b的空 ba圖33-114心球，b遠(yuǎn)大于a，內(nèi)表面涂上能完全吸光的物質(zhì)。問當(dāng)一束平行光射向此球時(shí)被吸收掉的光束橫截面積為多大？（注意：被吸收掉的光束的橫截面積，指的是原來光束的橫截面積，不考慮透明物質(zhì)的吸收和外表面的反射。）圖33-114所示是經(jīng)過球心的截面圖。（2）如果外半徑b趨于a時(shí)，第（1）問中的答案還能成立？為什么？分析：（1）如圖33-115所示，不被球吸收的極限光線是與球相切的光線AB，因此被吸收掉的光束橫截面積應(yīng)該是以R 圖33-115為半徑的一個(gè)圓盤，面

24、積為。利用折射定律和相關(guān)幾何關(guān)系式不難求出R而得解。（2）在b趨于的過程中，當(dāng)b減小到一定程度時(shí)，入射到b球面上的所有光線折射后可能都會(huì)與球面相交，此時(shí)如果b再度減小，則依據(jù)第（1）問計(jì)算出的結(jié)果就不能成立。解：（1）如圖33-115所示，CO為穿過球心的光線，與CO相距為R的光線在b球面折射后折射光線AB恰好與球相切，則有由折射定律 所以 圖33-116又因?yàn)?，所以 即被吸收掉的光束橫截面積為。（2）在b趨于達(dá)到一定程度時(shí)，從第（1）問的結(jié)果可知，當(dāng)b減小到時(shí)，即入射到此空心球上的全部光線都將被吸收掉，此時(shí)極限光線的入射角，而R=b，如圖33-116所示。如果b再減小，則入射到此空心球上的

25、全部光線仍將被吸收掉，此時(shí)極限入射光線（即入射角）的折射 圖33-117線并不與內(nèi)球表面相切，所以被吸收光束截面積為的結(jié)論不再成立。被吸收光束截面積此時(shí)為，參見圖33-117所示。討論：（1）本題第（1）問可以改為求經(jīng)過空心球折射后的光束在球右邊形成的出射光束的截面積大小是多少的問題。從左邊平行入射到空心球的光束只有AE區(qū)域間的光線經(jīng)外球面折射后能夠從右半球折射出來，如圖33-115所示。與球相切的光線AB光b球于D，過E點(diǎn)的光線入射角為，因折射率為，所以該折射光線的折射角為，即折射光線剛好交于b球于F點(diǎn)。設(shè)，D到直線OF的距離為，且 ，而出射光束截面積。由幾何關(guān)系易知，即，所以可求出。圖33

26、-118（2）如果把問題改為空心球的內(nèi)表面沒有涂上吸光物質(zhì)，而要求進(jìn)入球內(nèi)空心部分的光束在球殼外的截面積大小是多少。因?yàn)榫嘀行墓饩€CO越遠(yuǎn)的光線，在兩球面上的入射角越大，因此抓住經(jīng)外球面折射后的光線在內(nèi)球面上的入射角剛好等于光從介質(zhì)進(jìn)入空氣的臨界角這條特殊光線來考慮，如圖33-118所示。設(shè)角為光由介質(zhì)射入空氣的臨界角，在ABO中，有，又由，由圖可知。利用以上幾個(gè)關(guān)系式可得，故所求射入球內(nèi)空心部分的光束在球外的截面積點(diǎn)評：從本例的解答中可看出，正確分析和作出邊界光線是解決問題的關(guān)鍵。邊界光線是隨著具體問題的不同而改變的，要注意針對具體問題靈活把握。13.真空中有一個(gè)半徑為R的均勻透明球，今有兩

27、束相距為2d(dR)對稱地（即兩光束與球的一條直徑平行并且分別與其等距離）射到球上，試就球的折射率n的取值范圍進(jìn)行討論（1）n取何值時(shí)兩束光一定在球內(nèi)相交？（2）n取何值時(shí)兩束光一定在球外相交？圖33-123（3）如果n、d、R均已給定，如何判斷此時(shí)兩束光的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外。分析：設(shè)當(dāng)球的折射率為n0時(shí)，兩束光剛好交于球面上，如圖33-123所示。令光線射入球中時(shí)的入射角為i，折射角為r，則由圖中的幾何關(guān)系有 又由折射定律有 由上兩式解得 又由圖中的幾何關(guān)系可以得到 由上式可見，對于某一個(gè)確定的比值，為使兩光線剛好交于球面，球的折射率有一個(gè)確定的值n0與之對應(yīng)。這樣，我們可以假想，若球的

28、實(shí)際折射率n不等于n0時(shí)，則兩光線進(jìn)入球內(nèi)時(shí)的情況與前面圖示的情況有所不同，即兩光線不是交于球面上。當(dāng)時(shí)，兩光線將比圖示情況偏折得更厲害（圖中角r將更?。瑑晒饩€的交點(diǎn)必在球內(nèi)；當(dāng)時(shí)，兩光線將比圖示情況偏折得少一些（圖中的角r將大一些），兩光線的交點(diǎn)必在球外。若以作為一個(gè)變量來討論上述問題，由于，故由此確定的n0的范圍是。解：（1）當(dāng)時(shí)，對于任何來說，都有，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球內(nèi)相交。（2）當(dāng)時(shí)，對于任何來說，都有，即不管球的半徑和兩光線間的距離如何，兩光線都必定在球外相交。（3）對于任意給定的n、R和d，則只需比較n與n0的大小即可確定兩光線的交點(diǎn)是在球內(nèi)還是在球外：當(dāng)時(shí)，兩光線的交點(diǎn)在球內(nèi)；當(dāng)時(shí)，兩光線的交點(diǎn)在球面上；當(dāng)時(shí)，兩光線的交點(diǎn)在球外；14一點(diǎn)電荷+q和半徑為a的接地導(dǎo)體的球心相距為h，求空間的電勢分布。圖41-85（a）分析：此處是電荷與導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷共同作用的情況，此處導(dǎo)體是一導(dǎo)體球，而非平板。我們自然地猜想，球上的感應(yīng)電荷可否用像電荷等效替代？若可以，該電荷應(yīng)在何處？解：在導(dǎo)體球面上，電力線與球面正交，從電力線會(huì)聚的趨勢（如圖41-85（a）來看，感應(yīng)電荷與-電荷相當(dāng)。據(jù)對稱性，應(yīng)在z軸上，設(shè)其距球心。如圖41-85（b）。點(diǎn)電荷+