高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)江蘇及詳解

1、高中數(shù)學(xué)數(shù)列壓軸題練習(xí)（江蘇）及詳解1.已知數(shù)列是公差為正數(shù)的等差數(shù)列,其前n項和為,且,()求數(shù)列的通項公式; ()數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項公式; 是否存在正整數(shù)m,使得,成等差數(shù)列?若存在,求出m,n的值;若不存在,請說明理由.解:(I)設(shè)數(shù)列的公差為d,則由,得, 計算得出 或(舍去).  (), , , 即,累加得:, 也符合上式. 故,.         假設(shè)存在正整數(shù)m、,使得,成等差數(shù)

2、列, 則又, ,即, 化簡得:當(dāng),即時,(舍去); 當(dāng),即時,符合題意. 存在正整數(shù),使得,成等差數(shù)列.解析()直接由已知列關(guān)于首項和公差的方程組,求解方程組得首項和公差,代入等差數(shù)列的通項公式得答案; ()把數(shù)列的通項公式代入,然后裂項,累加后即可求得數(shù)列的通項公式; 假設(shè)存在正整數(shù)m、,使得,成等差數(shù)列,則.由此列關(guān)于m的方程,求計算得出答案.2.在數(shù)列中,已知,(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列; (2)記,且數(shù)列的前n項和為,若為數(shù)列中的最小項,求的取值范圍.解:(1)證明:, 又, ,

3、0;故, 是以3為首項,公比為3的等比數(shù)列(2)由(1)知道,若為數(shù)列中的最小項,則對有恒成立, 即對恒成立當(dāng)時,有; 當(dāng)時,有; 當(dāng)時,恒成立, 對恒成立. 令,則對恒成立, 在時為單調(diào)遞增數(shù)列. ,即綜上,解析(1)由,整理得:.由,可以知道是以3為首項,公比為3的等比數(shù)列; (2)由(1)求得數(shù)列通項公式及前n項和為,由為數(shù)列中的最小項,則對有恒成立,分類分別求得當(dāng)時和當(dāng)?shù)娜≈捣秶? 當(dāng)時,利用做差法,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性,即可求得的取值范圍.3.在數(shù)列 中,已知 ,

4、60;, ,設(shè) 為 的前n項和. (1)求證:數(shù)列 是等差數(shù)列; (2)求  (3)是否存在正整數(shù)p,q, ,使 , , 成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的值;若不存在,說明理由. (1)證明:由, 得到, 則又, , 數(shù)列是以1為首項,以-2為公差的等差數(shù)列; (2)由(1)可以推知:, 所以, 所以, , -,得 , , , 所以(3)假設(shè)存

5、在正整數(shù)p,q,使,成等差數(shù)列. 則, 即因為當(dāng)時, 所以數(shù)列單調(diào)遞減. 又, 所以且q至少為2, 所以,當(dāng)時, 又, 所以,等式不成立. 當(dāng)時, 所以所以, 所以,(數(shù)列單調(diào)遞減,解唯一確定). 綜上可以知道,p,q,r的值分別是1,2,3.解析(1)把給出的數(shù)列遞推式,變形后得到新數(shù)列,該數(shù)列是以1為首項,以-2為公差的等差數(shù)列; (2)由(1)推出的通項公式,利用錯位相減法從而求得求; (3)根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到,從而推知p,q,r的值.4.已知n

6、為正整數(shù),數(shù)列 滿足 , ,設(shè)數(shù)列 滿足 (1)求證:數(shù)列 為等比數(shù)列; (2)若數(shù)列 是等差數(shù)列,求實數(shù)t的值; (3)若數(shù)列 是等差數(shù)列,前n項和為 ,對任意的 ,均存在 ,使得 成立,求滿足條件的所有整數(shù) 的值. (1)證明:數(shù)列滿足, , 數(shù)列為等比數(shù)列,其首項為,公比為2; (2)解:由(1)可得:, ,數(shù)列是等差數(shù)列, , 計算得出或12. 時,是關(guān)于n的一次函數(shù),

7、因此數(shù)列是等差數(shù)列. 時,不是關(guān)于n的一次函數(shù), 因此數(shù)列不是等差數(shù)列. 綜上可得; (3)解:由(2)得, 對任意的,均存在,使得成立, 即有, 化簡可得, 當(dāng),對任意的,符合題意; 當(dāng),當(dāng)時, 對任意的,不符合題意. 綜上可得,當(dāng),對任意的,均存在, 使得成立.解析(1)根據(jù)題意整理可得,再由等比數(shù)列的定義即可得證; (2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列中項的性質(zhì),可得,解方程可得t,對t的值,檢驗即可得到所求值; (3)由(2)可得,對任意的,均存

8、在,使得成立,即有,討論為偶數(shù)和奇數(shù),化簡整理,即可得到所求值.5.已知常數(shù) ,數(shù)列 滿足 ,  (1)若 , , 求 的值; 求數(shù)列 的前n項和  (2)若數(shù)列 中存在三項 , , 依次成等差數(shù)列,求 的取值范圍.解:(1), , , , , 當(dāng)時, 當(dāng)時,即從第二項起,數(shù)列是以1為首項,以3為公比的等比數(shù)列, 數(shù)列的前n項和, 顯然當(dāng)

9、時,上式也成立,  (2), ,即單調(diào)遞增. (i)當(dāng)時,有,于是, ,若數(shù)列中存在三項,依次成等差數(shù)列,則有, 即,.因此不成立.因此此時數(shù)列中不存在三項,依次成等差數(shù)列. 當(dāng)時,有.此時于是當(dāng)時,.從而若數(shù)列中存在三項,依次成等差數(shù)列,則有, 同(i)可以知道:.于是有,是整數(shù),.于是,即.與矛盾. 故此時數(shù)列中不存在三項,依次成等差數(shù)列. 當(dāng)時,有于是此時數(shù)列中存在三項,依次成等差數(shù)列. 綜上可得:解析(1),可得,同理可得,當(dāng)時,當(dāng)時,即從第二項起,數(shù)列是以1為首項,以3為公比

10、的等比數(shù)列,利用等比數(shù)列的求和公式即可得出(2),可得,即單調(diào)遞增. (i)當(dāng)時,有,于是,可得,.利用反證法即可得出不存在. 當(dāng)時,有.此時.于是當(dāng)時,.從而.假設(shè)存在,同(i)可以知道:.得出矛盾,因此不存在. 當(dāng)時,有.于是.即可得出結(jié)論.6.已知兩個無窮數(shù)列 和 的前n項和分別為 , , , ,對任意的 ,都有  (1)求數(shù)列 的通項公式; (2)若 為等差數(shù)列,對任意的 ,都有 .證明:  (3)

11、若 為等比數(shù)列, , ,求滿足 的n值.解:(1)由,得, 即,所以由,可以知道所以數(shù)列是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列. 故的通項公式為,(2)證法一:設(shè)數(shù)列的公差為d, 則, 由(1)知,因為,所以, 即恒成立, 所以,即, 又由,得, 所以所以,得證. 證法二:設(shè)的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù),使得, 則,即, 因為,所以所以, 因為,所以存在,當(dāng)時,恒成立. 這與“對任意的,都有”矛盾! 所以,得證. 

12、(3)由(1)知,.因為為等比數(shù)列, 且, 所以是以1為首項,3為公比的等比數(shù)列. 所以,則, 因為,所以,所以而,所以,即當(dāng),2時,式成立; 當(dāng)時,設(shè), 則, 所以, 故滿足條件的n的值為1和2.解析(1)運(yùn)用數(shù)列的遞推式和等差數(shù)列的定義和通項公式,即可得到所求; (2)方法一、設(shè)數(shù)列的公差為d,求出,.由恒成立思想可得,求出,判斷符號即可得證; 方法二、運(yùn)用反證法證明,設(shè)的公差為d,假設(shè)存在自然數(shù),使得,推理可得,作差,推出大于0,即可得證; (3)運(yùn)用等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式

13、,求得,化簡,推出小于3,結(jié)合等差數(shù)列的通項公式和數(shù)列的單調(diào)性,即可得到所求值.7.已知數(shù)列 , 都是單調(diào)遞增數(shù)列,若將這兩個數(shù)列的項按由小到大的順序排成一列(相同的項視為一項),則得到一個新數(shù)列  (1)設(shè)數(shù)列 , 分別為等差、等比數(shù)列,若 , , ,求  (2)設(shè) 的首項為1,各項為正整數(shù), ,若新數(shù)列 是等差數(shù)列,求數(shù)列  的前n項和  (3)設(shè) 是不小于2的正整數(shù)), ,是否存在等差數(shù)列&

14、#160;,使得對任意的 ,在 與 之間數(shù)列 的項數(shù)總是 若存在,請給出一個滿足題意的等差數(shù)列 若不存在,請說明理由.解:(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q, 根據(jù)題意得,計算得出或3,因數(shù)列,單調(diào)遞增, 所以, 所以, 所以, 因為, (2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且, 所以,所以因為是中的項,所以設(shè),即當(dāng)時,計算得出,不滿足各項為正整數(shù); 當(dāng)時,此時,只需取,而等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列,中的項,所以; 當(dāng)時,此時,只需取,

15、60;由,得,是奇數(shù), 是正偶數(shù),m有正整數(shù)解, 所以等比數(shù)列的項都是等差數(shù)列中的項,所以 綜上所述,數(shù)列的前n項和,或 (3)存在等差數(shù)列,只需首項,公差 下證與之間數(shù)列的項數(shù)為.即證對任意正整數(shù)n,都有, 即成立. 由, 所以首項,公差的等差數(shù)列符合題意解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,等比數(shù)列的公比為q,根據(jù)題意得,計算得出或3,因數(shù)列,單調(diào)遞增,可得,利用通項公式即可得出. (2)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,又,且,所以,所以.因為是中的項,所以設(shè),即.當(dāng)時,計算得出,不滿足各項為正整數(shù)當(dāng)時,當(dāng)時,即可得

16、出. (3)存在等差數(shù)列,只需首項,公差.下證與之間數(shù)列的項數(shù)為.即證對任意正整數(shù)n,都有,作差利用通項公式即可得出.8.對于數(shù)列,稱(其中,為數(shù)列的前k項“波動均值”.若對任意的,都有,則稱數(shù)列為“趨穩(wěn)數(shù)列”.(1)若數(shù)列1,x,2為“趨穩(wěn)數(shù)列”,求x的取值范圍;(2)若各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比,求證:是“趨穩(wěn)數(shù)列”;(3)已知數(shù)列的首項為1,各項均為整數(shù),前k項的和為.且對任意,都有,試計算:.解:(1)根據(jù)題意可得,即,兩邊平方可得,計算得出;(2)證明:由已知,設(shè),因且,故對任意的,都有,因,即對任意的,都有,故是“趨穩(wěn)數(shù)列”;(3)當(dāng)時,當(dāng)時,同理,因,即,所以或

17、60; 所以  或  因為,且,所以,從而,所以,.解析(1)由新定義可得,解不等式可得x的范圍;(2)運(yùn)用等比數(shù)列的通項公式和求和公式,結(jié)合新定義,運(yùn)用不等式的性質(zhì)即可得證;(3)由任意,都有,可得,由等比數(shù)列的通項公式,可得,結(jié)合新定義和二項式定理,化簡整理即可得到所求值.9.已知首項為1的正項數(shù)列an滿足+an+1an，nN*.（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范圍；（2）設(shè)數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列an前n項的和，若SnSn+12Sn，nN*，求q的取值范圍；（3）若a1，a2，ak（k3）成等差數(shù)列，且a1+

18、a2+ak=120，求正整數(shù)k的最小值，以及k取最小值時相應(yīng)數(shù)列a1，a2，ak（k3）的公差.解：（1）由題意，anan+12an，x3,x2x，x（2，3）.（2）anan+12an，且數(shù)列an是公比為q的等比數(shù)列，a1=1，qn-1qn2qn-1，qn-1(q-)0，qn-1(q-2)0，q（，1）.SnSn+12Sn，當(dāng)q=1時，S2=2S1，不滿足題意，當(dāng)q1時，2，當(dāng)q（，1）時，即，q（，1）.當(dāng)q（1，2）時，即，無解，q（，1）.（3）設(shè)數(shù)列a1，a2，ak（k3）的公差為d.anan+12an，且數(shù)列a1，a2，an成等差數(shù)列，a1=1，1+(n-1)d1+nd21+(n-1)d，n=1，2，k-1，d（-，1）.a1+a2+ak=120，Sk=k2+(a1-)k=k2