高斯定理的應(yīng)用

1、簡(jiǎn)析高斯定理在電場(chǎng)中的應(yīng)用高斯定理是物理學(xué)中電學(xué)部分的重要定理之一，在簡(jiǎn)化計(jì)算具有對(duì)稱性的電場(chǎng)中有著重要應(yīng)用，例如均勻帶電的平面、直線、圓柱體、球面、球體等的電場(chǎng)的計(jì)算. 如果不理解高斯定理，不熟練掌握高斯定理的應(yīng)用技巧，就會(huì)感到高斯定理深不可測(cè). 下面，筆者就幾年來的教學(xué)體會(huì)對(duì)高斯定理及其在電場(chǎng)中的應(yīng)用作以簡(jiǎn)要分析.三、高斯定理在電場(chǎng)中的應(yīng)用例題1設(shè)一塊均勻帶正電無限大平面，電荷密度為=9.3×10-8C/m2，放置在真空中，求空間任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解：根據(jù)電荷的分布情況，可作如下判斷：(1)電荷均勻分布在均勻帶電無限大平面上，我們知道孤立正的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)是以電荷為中心，沿各個(gè)方向在空

2、間向外的直線，因此空間任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只在與平面垂直向外的方向上(如果帶負(fù)電荷，電場(chǎng)方向相反)，其他方向上的電場(chǎng)相互抵消；(2)在平行于帶電平面的某一平面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)相等；(3)帶電面右半空間的場(chǎng)強(qiáng)與左半空間的場(chǎng)強(qiáng)，對(duì)帶電平面是對(duì)稱的.為了計(jì)算右方一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)，在左取它的對(duì)稱點(diǎn)，以為軸線作一圓柱，如圖-3所示. 對(duì)圓柱表面用高斯定理，圖-3 (1) (2) (3)圓柱內(nèi)的電荷量為 (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得=V/m=5.25×103 V/m例題2設(shè)有一根無限長(zhǎng)塊均勻帶正電直線，電荷線密度為=5.0×10-9C/m，放置在真空中，求空間距直線1m處任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解：

3、根據(jù)電荷的分布情況，可作如下判斷：(1)電荷均勻分布在無限長(zhǎng)塊均勻直線上，我們知道孤立正的點(diǎn)電荷的電場(chǎng)是以電荷為中心，沿各個(gè)方向在空間向外的直線，因此空間任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)只在與直線垂直向外的方向上存在(如果帶負(fù)電荷，電場(chǎng)方向相反)，其他方向上的電場(chǎng)相互抵消；(2)以直線為軸線的圓柱面上各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)數(shù)值相等，方向垂直于柱面(如圖-4).圖-4根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的分布，我們以直線為軸作長(zhǎng)為，半徑為的圓柱體.把圓柱體的表面作為高斯面，對(duì)圓柱表面用高斯定理： (1) (2) (3)圓柱內(nèi)的電荷量為 (4)把(2)、(3)、(4)代入(1)得=V/m=89.96 V/m例題3設(shè)有一半徑為的均勻帶正電球面，電荷為，放置在

4、真空中，求空間任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng).解：由于電荷均勻分布在球面上,因此,空間任一點(diǎn)的的場(chǎng)強(qiáng)具有對(duì)稱性,方向由球心到的徑矢方向(如果帶負(fù)電荷，電場(chǎng)方向相反)，在與帶電球面同心的球面上各點(diǎn)的大小相等.根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)的分布，我們?nèi)∫话霃綖榍遗c帶電球面同系同心的球面為為高斯面，如圖-5所示. 圖-5若，高斯面在球殼內(nèi)，對(duì)球面用高斯定理得 因?yàn)榍驓?nèi)無電荷，所以若，高斯面在球殼外，對(duì)球面用高斯定理得，故有 由此可知，均勻帶電球面內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零，球面外的場(chǎng)強(qiáng)與電荷集中在球心的點(diǎn)電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)相同.四、高斯定理在電場(chǎng)中的一般應(yīng)用步驟:(1) 判斷電場(chǎng)的分布特點(diǎn)；(2) 合理作出高斯面，使電場(chǎng)在其中對(duì)稱分布；(3) 找出電

5、場(chǎng)在高斯面內(nèi)的垂直面積；(4) 分析高斯面內(nèi)的電荷量；(5) 應(yīng)用高斯定理求解().我們知道，用電場(chǎng)的疊加原理也可以計(jì)算連續(xù)分布的電荷所產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)，但是高斯定理以其簡(jiǎn)單明了的步驟最終贏得讀者的喜愛.第四講：高斯定理的應(yīng)用高斯定理的一個(gè)重要應(yīng)用，是用來計(jì)算帶電體周圍電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度。實(shí)際上，只有在場(chǎng)強(qiáng)分布具有一定的對(duì)稱性時(shí)，才能比較方便應(yīng)用高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。步驟：1進(jìn)行對(duì)稱性分析，即由電荷分布的對(duì)稱性，分析場(chǎng)強(qiáng)分布的對(duì)稱性，判斷能否用高斯定理來求電場(chǎng)強(qiáng)度的分布（常見的對(duì)稱性有球?qū)ΨQ性、軸對(duì)稱性、面對(duì)稱性等）；2根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)分布的特點(diǎn)，作適當(dāng)?shù)母咚姑?，要求：待求?chǎng)強(qiáng)的場(chǎng)點(diǎn)應(yīng)在此高斯面上，穿過該高斯面的電

6、通量容易計(jì)算。一般地，高斯面各面元的法線矢量與平行或垂直，與平行時(shí)，的大小要求處處相等，使得能提到積分號(hào)外面；3計(jì)算電通量和高斯面內(nèi)所包圍的電荷的代數(shù)和，最后由高斯定理求出場(chǎng)強(qiáng)。應(yīng)該指出，在某些情況下（對(duì)稱），應(yīng)用高斯定理是比較簡(jiǎn)單的，但一般情況下，以點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)公式和疊加原理以相互補(bǔ)充，還有其它的方法，應(yīng)根據(jù)具體情況選用。利用高斯定理，可簡(jiǎn)潔地求得具有對(duì)稱性的帶電體場(chǎng)源（如球型、圓柱形、無限長(zhǎng)和無限大平板型等）的空間場(chǎng)強(qiáng)分布。計(jì)算的關(guān)鍵在于選取合適的閉合曲面高斯面。例1 均勻帶電球殼的場(chǎng)強(qiáng)。設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的薄球殼。求球殼內(nèi)部和外部任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：因?yàn)榍驓ず鼙?，其厚度可忽略?/p>

7、計(jì)，電荷Q近似認(rèn)為均勻分布在球面上。由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在電場(chǎng)強(qiáng)度的空間中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿徑矢，大小則依賴于從球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。即在同一球面上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是相等的。以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為 根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球殼外時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球殼內(nèi)時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 例2 均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一半徑為R、均勻帶電為Q的球體。求球體內(nèi)部和外部任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于電荷分布是球?qū)ΨQ的，所以電場(chǎng)強(qiáng)度的分布也是球?qū)ΨQ的。因此在電場(chǎng)強(qiáng)度的空間中任意點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的方向沿徑矢，大

8、小則依賴于從球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離。即在同一球面上的各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度的大小是相等的。以球心到場(chǎng)點(diǎn)的距離為半徑作一球面，則通過此球面的電通量為 根據(jù)高斯定理，通過球面的電通量為球面內(nèi)包圍的電荷 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球體外時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 當(dāng)場(chǎng)點(diǎn)在球體內(nèi)時(shí) 電場(chǎng)強(qiáng)度為 例3 無限長(zhǎng)均勻帶電直線的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一無限長(zhǎng)均勻帶電直線，單位長(zhǎng)度上的電荷，即電荷線密度為，求距離直線為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于帶電直線無限長(zhǎng)，且電荷均勻分布，所以電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于該直線的徑矢方向，而且在距直線等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小相等，即電場(chǎng)分布是柱對(duì)稱的。以該直線為軸線作一圓柱面為高斯面，長(zhǎng)為h，半徑為r。由于場(chǎng)強(qiáng)與上下底面的法線垂直，所以通過

9、圓柱的上下兩個(gè)底面的電通量為零，而通過圓柱側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為。又此高斯面所包圍的電量為，所以根據(jù)高斯定理有 由此可知，電場(chǎng)強(qiáng)度為 例4：求無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱體內(nèi)外的電場(chǎng)分布. 已知圓柱體半徑為，電荷體密度為. 解答：， (3分)解得 (3分)， (3分)解得 (3分)例5：無限長(zhǎng)均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)。 設(shè)有一無限長(zhǎng)均勻帶電平板，單位面積上的電荷，即電荷面密度為，求距離平板為r處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由于帶電平板無限長(zhǎng)，且電荷均勻分布，所以帶電平板兩側(cè)電場(chǎng)的分布具有對(duì)稱性，所以場(chǎng)強(qiáng)沿垂直于該平面，而且在距平面等距離的各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)的大小相等。作圓柱面為高斯面，此圓柱面穿過帶電平面，且對(duì)帶電平面是對(duì)稱的。

10、其側(cè)面的法線方向與場(chǎng)強(qiáng)垂直，而通過圓柱側(cè)面的電場(chǎng)強(qiáng)度的通量為零；由于場(chǎng)強(qiáng)與兩個(gè)底面垂直，所以通過圓柱的兩個(gè)底面的電通量為ES。又此高斯面所包圍的電量為S，所以根據(jù)高斯定理有 由此可知，電場(chǎng)強(qiáng)度為 即無限大均勻帶電平面的場(chǎng)強(qiáng)與場(chǎng)點(diǎn)到平面的距離無關(guān)，而且場(chǎng)強(qiáng)的方向與帶電平面垂直。無限大帶電平面的電場(chǎng)是勻強(qiáng)電場(chǎng)。例6：兩個(gè)帶等量異號(hào)電荷的無限大平行平面的電場(chǎng)。解：有例4可知，在兩平面之外，在兩平面之內(nèi)，方向有帶正電的平面指向帶負(fù)電的平面。1. 例題 P26例題2：已知半徑為 R，帶電量為 q 的均勻帶電球面，求空間場(chǎng)強(qiáng) 分布。解：由對(duì)稱性分析知，的分布為球?qū)ΨQ，即離開球心距離為 r 處各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)大小

11、相等，方向沿各自的矢徑方向。以O(shè) 為球心，過P 點(diǎn)作半徑為r 的閉合球面S（高斯面），各點(diǎn)處面積元的法線方向與該點(diǎn)處的方向相同，所以由高斯定理：，因此得到：同理作高斯面S 有：即討論（1）當(dāng) q0時(shí)，的方向沿矢徑向外，當(dāng) q0 時(shí)，的方向沿矢徑由外指向球心O。（2）Er 曲線。（3）內(nèi)部場(chǎng)強(qiáng)處處為零；外部場(chǎng)強(qiáng)分布與將球面上電荷集中于球心的點(diǎn)電荷場(chǎng)強(qiáng)分布相同；場(chǎng)強(qiáng)分布在球面處不連續(xù)，產(chǎn)生突變。（4）半徑為R，均勻帶電球體的場(chǎng)強(qiáng)分布。 P27例題3：求無限長(zhǎng)均勻帶電直線的空間電場(chǎng)分布。已知直線上線電荷密度為。解：由對(duì)稱性分析，分布為軸對(duì)稱性，即與帶電直線距離相等的同軸圓柱面上各點(diǎn)場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向

12、均沿徑向。作過P點(diǎn)以帶電直線為軸，半徑為 r，高為 h 的圓柱形高斯面 S ，通過 S 的電通量為高斯面S內(nèi)所包圍的電荷為，由高斯定理得：所以得：。 討論（1）當(dāng)0時(shí)，的方向沿矢徑向外；當(dāng)0時(shí)，的方向沿矢徑指向帶電直線。（2）Er 曲線。（3）半徑為R 的無限長(zhǎng)均勻帶電圓柱面，沿軸線方向線電荷密度為，其場(chǎng)強(qiáng)分布為 P27例題4：求均勻帶電無限大薄平板的空間場(chǎng)強(qiáng)分布，設(shè)電荷密度為。解：無限大均勻帶電薄平板可看成無限多根無限長(zhǎng)均勻帶電直線排列而成，由對(duì)稱性分析，平板兩側(cè)離該板等距離處場(chǎng)強(qiáng)大小相等，方向均垂直平板。其一軸垂直帶電平面，高為 2 r 的圓柱面為高斯面，通過它的電通量為： S 內(nèi)包圍的電荷為：由高斯定理： 所以得 當(dāng)>0，的方向垂直平板離開平板；當(dāng)<0，