[研究生入學(xué)考試]2011年考研數(shù)學(xué)春季基礎(chǔ)班高數(shù)下講義-鐵軍1

1、萬(wàn)學(xué)教育·海文考研 2011春季數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班線性代數(shù)2011年萬(wàn)學(xué)海文線性代數(shù)春季基礎(chǔ)班考研輔導(dǎo)講義 主講 鐵軍 教授 鐵軍教授簡(jiǎn)介：著名考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)專家，近幾年在全國(guó)各大城市聲名鵲起，成為與王式安、趙達(dá)夫齊名的考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)“三駕馬車”之一。鐵軍教授從事考研數(shù)學(xué)輔導(dǎo)工作以來(lái)，以其高屋建瓴、大氣磅礴、睿智幽默的風(fēng)格，對(duì)考點(diǎn)、重點(diǎn)、難點(diǎn)全面、深刻、透徹的把握，關(guān)愛(ài)學(xué)生、高度負(fù)責(zé)的態(tài)度以及對(duì)考題的精準(zhǔn)預(yù)測(cè)，令考生受益無(wú)窮。特別是鐵軍老師的數(shù)學(xué)全程保過(guò)班，更是以無(wú)與倫比的連續(xù)性、系統(tǒng)性和考生的數(shù)學(xué)成績(jī)大面積高分而受到廣大莘莘學(xué)子的愛(ài)戴！2011年，考研競(jìng)爭(zhēng)空前激烈！萬(wàn)學(xué)海文邀請(qǐng)鐵軍教授親臨面授

2、，為您考研成功保駕護(hù)航。您的理想將在您我的共同努力下實(shí)現(xiàn)。這是我們的信心，也將是您的信心！ 線性代數(shù)在考研數(shù)學(xué)中占有重要地位，必須予以高度重視。線性代數(shù)試題的特點(diǎn)比較突出，以計(jì)算題為主，證明題為輔，主要用證明題的方法技巧來(lái)解決計(jì)算題。因此，必須掌握證明題的證明技巧，并會(huì)在計(jì)算題中靈活應(yīng)用。難點(diǎn)在于線性代數(shù)的內(nèi)容比較抽象，綜合性強(qiáng)，特別是關(guān)于向量的線性相關(guān)性、矩陣的秩與線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理的綜合題難度較大，必須突破這一難點(diǎn)。第一章 行列式 行列式的核心考點(diǎn)是掌握計(jì)算行列式的方法，計(jì)算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開(kāi)公式將行列式降階。但在展開(kāi)之前往往先用行列式的性質(zhì)對(duì)行列式進(jìn)行恒等變

3、形，化簡(jiǎn)之后再展開(kāi)。另外，用簡(jiǎn)單的遞推公式求行列式的方法也應(yīng)掌握?！敬缶V內(nèi)容】行列式的概念和基本性質(zhì)；行列式按行（列）展開(kāi)定理?！敬缶V要求】了解行列式的概念，掌握行列式的性質(zhì)。會(huì)應(yīng)用行列式的性質(zhì)和行列式按行（列）展開(kāi)定理計(jì)算行列式?！究键c(diǎn)分析】考研試題中關(guān)于行列式的題型主要是填空題,純粹考行列式的題目很少，但行列式是線性代數(shù)中必不可少的工具，它在處理以下問(wèn)題中都有重要應(yīng)用： 1判定方陣是否可逆以及應(yīng)用公式求逆矩陣； 2判定個(gè)維向量的線性相關(guān)性； 3計(jì)算矩陣的秩； 4討論系數(shù)矩陣為方陣的線性方程組的解的情況并利用克萊姆法則求方程組的解； 5求方陣的特征值； 6判定二次型及實(shí)對(duì)稱矩陣的正定性。同時(shí)

4、，上述內(nèi)容也可與行列式知識(shí)相結(jié)合構(gòu)造新的關(guān)于行列式的題型。在復(fù)習(xí)過(guò)程中，請(qǐng)大家注意及時(shí)歸納總結(jié)。【重要考點(diǎn)】1行列式按行、按列展開(kāi)公式為： 2兩個(gè)特殊公式：設(shè)是階方陣，是階方陣，則 （1） ；（2） 3范德蒙行列式：4余子式和代數(shù)余子式的定義，其中的余子式為，的代數(shù)余子式為?！镜湫屠}】1. 計(jì)算階行列式2. 階行列式. 范德蒙行列式：，階范德蒙行列式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)是每列元素 按的升冪排列，構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列。3. 計(jì)算四階行列式.4. 計(jì)算四階行列式 （其中均不為0）5. 計(jì)算四階行列式 形如 的行列式稱為三對(duì)角型（三斜線形）行列式。三對(duì)角型行列式的特點(diǎn)是沿主對(duì)角線方向三列元素不為零，其余元素均為

5、零。對(duì)于這類三對(duì)角型行列式通?？捎眠f推法。6. 計(jì)算階行列式 7五階行列式 的值為8. 五階行列式 . 形如的行列式稱為箭形、爪形或扇形行列式，其特點(diǎn)是行列式中主對(duì)角線上的元素和第一行、第一列上的元素不為零，其余元素均為零。對(duì)于箭形、爪形或扇形行列式，可用主對(duì)角線上的元素化其為上（下）三角型行列式進(jìn)行計(jì)算。9.計(jì)算階行列式 10. 計(jì)算階行列式11. 計(jì)算階行列式 計(jì)算含子塊的四分塊的分塊矩陣的行列式：掌握簡(jiǎn)化行列式運(yùn)算的兩個(gè)重要公式：設(shè)是階方陣，是階方陣，則 （1）；（2）. 12 計(jì)算 13. 計(jì)算五階行列式 14設(shè)均是階矩陣， 則15. 四階行列式的值等于( )（A） （B）（C）（D）

6、 若行列式中含有變量，則該行列式展開(kāi)后成為關(guān)于的多項(xiàng)式，可考查該多項(xiàng)式的次數(shù)、零點(diǎn)等問(wèn)題。16. 設(shè)行列式，則的展開(kāi)式中，的系數(shù)是 ，的系數(shù)是 。17. 設(shè)行列式 ，則方程的根的個(gè)數(shù)為（ ）（A）1（B）2（C）3（D）418.設(shè)多項(xiàng)式 則的次數(shù)至多是（ ）。（A）1（B）2（C）3（D）4 計(jì)算代數(shù)余子式線性組合的值：1余子式和代數(shù)余子式在n階行列式，余下的元素按原有順序構(gòu)成的階行列式，稱為元素的余子式，記作之前加上符號(hào)，稱為元素的代數(shù)余子式，記作 2代數(shù)余子式的性質(zhì)： （1）和的大小無(wú)關(guān)；（2） ， （3） （4）的伴隨矩陣， 則 由于中的元素為，可先求，再求和 設(shè)的特征值為，則 【評(píng)注】

7、設(shè)，的代數(shù)余子式為，則只與的位置有關(guān)，而與的大小無(wú)關(guān)。所以若改變中的值而其他元素不變，則的值不變，因此可用元素置換法計(jì)算代數(shù)余子式線性組合的值。 19. 設(shè) ，求（1）；（2）.20. 設(shè)行列式 ，則第四行各元素余子式之和的值為 。21設(shè)是三階可逆矩陣，的特征值為求的代數(shù)余子式之和： 計(jì)算抽象矩陣的行列式：主要利用矩陣行列式的性質(zhì)。 設(shè)為階矩陣，則有（1） （2） （3） （4）設(shè)為階可逆矩陣，則 （5）利用行列式加法運(yùn)算的性質(zhì)： 設(shè)為維列向量，為維行向量，則 ， 22. 設(shè)A為3×3矩陣，把A按列分塊為，其中是A的第列，則 。23. 設(shè)均為4維列向量，且，則 .24. 設(shè)階矩陣，其

8、中為維列向量。已知行列式，求行列式的值。 25若A是階方陣，且，證明 . 26設(shè)A、B均為階矩陣，則_第二章 矩陣矩陣是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象，有著廣泛的應(yīng)用。矩陣考試的重點(diǎn)是：矩陣的乘法運(yùn)算，逆矩陣，伴隨矩陣，初等矩陣。以計(jì)算題為主，技巧性強(qiáng)?！敬缶V內(nèi)容】矩陣的概念；矩陣的線性運(yùn)算；矩陣的乘法；方陣的冪；方陣乘積的行列式；矩陣的轉(zhuǎn)置；逆矩陣的概念和性質(zhì)；矩陣可逆的充分必要條件；伴隨矩陣；矩陣的初等變換；初等矩陣；矩陣的等價(jià)；矩陣的秩；初等變換求矩陣的秩和逆矩陣的方法；分塊矩陣及其運(yùn)算?！敬缶V要求】掌握矩陣的概念和矩陣的各種運(yùn)算，特別是矩陣的乘法、矩陣的轉(zhuǎn)置、逆矩陣、方陣的行列式等。要掌握它們

9、的運(yùn)算規(guī)律、逆矩陣的性質(zhì)及矩陣可逆的充分必要條件，會(huì)用各種方法求出矩陣的逆矩陣，矩陣的初等變換是研究矩陣各種性質(zhì)和應(yīng)用矩陣解決各種問(wèn)題的重要方法，因此必須掌握矩陣的初等變換，會(huì)用初等變換解決有關(guān)問(wèn)題。【考點(diǎn)分析】矩陣乘法有分配律，結(jié)合律，但是沒(méi)有交換律，沒(méi)有消去律。1.矩陣乘法運(yùn)算一般不滿足交換律，即，因此要注意運(yùn)算次序。2.一般地，或，；3.，除非A是列滿秩矩陣4.5.設(shè)，其中均為維行向量，即，則非零陣A可表為的形式的充要條件為：秩。注意：與相關(guān)的問(wèn)題，是考研數(shù)學(xué)中常見(jiàn)題型?！镜湫屠}】 計(jì)算階矩陣的高次冪是一種重要題型，包括：（1） 計(jì)算一般矩陣的高次冪；（2） 計(jì)算能分解為一個(gè)列向量與一

10、個(gè)行向量乘積的矩陣的高次冪； （3） 計(jì)算分塊對(duì)角矩陣的高次冪：設(shè) ，則 （4）計(jì)算能相似對(duì)角化的矩陣的高次冪1設(shè)，而為正整數(shù)，則.2設(shè), ，令，求。3已知，則,.4已知，設(shè)，則 5設(shè)維行向量，矩陣，其中為階單位矩陣，則AB等于（ ）（A）O（B）（C）（D） 6設(shè)，若存在秩大于的三階矩陣，使得，則 7設(shè)，求。 逆矩陣與伴隨矩陣： 1. 求逆矩陣方法：用初等變換（不能行、列變換混用） ， 2. 矩陣A可逆的充要條件：（1）存在階方陣B，使（2）（3）秩（A為階方陣）（4）A與同階單位矩陣E等價(jià)（5）A可以表示成若干個(gè)初等矩陣的乘積（6）齊次線性方程組只有零解（7）對(duì)任意維列向量，非齊次線性方程

11、組有唯一解。（8）A的行（列）向量組線性無(wú)關(guān)。（9）A的特征值均不為3. 逆矩陣常用公式：（1）（2）（3）（4）（5）4. 思維定勢(shì)：（1）題設(shè)條件與有關(guān)，則立即聯(lián)想到用公式（2）若涉及到A、B是否可交換，即，則立即聯(lián)想到用逆矩陣的定義去分析 （3）若題設(shè)階方陣A滿足，要證可逆，則先分解出因子再說(shuō)。 5.伴隨矩陣的主要定理和公式 （1） （2） （3） （4）（為常數(shù)，A為階矩陣，） （5）（A為階矩陣，） （6）（A為任階矩陣，） （7） （8）（9）設(shè)A是階矩陣，則 8設(shè)A為階非零矩陣，證明當(dāng)時(shí)，A可逆。9設(shè)維向量；E為階單位矩陣，矩陣，其中A的逆矩陣為B，則。10設(shè)階可逆矩陣A中每行元

12、素之和均為常數(shù)。證明：（1）常數(shù) （2）的每行元素之和均為。11 設(shè)A、B均為階方陣，且。 證明：（1）；（2）.12已知可逆，試證也可逆，并求 .13設(shè)A是階方陣，且，則（ ） （A）A不可逆，且不可逆； （B）A可逆，但E+A不可逆；（C）及均可逆；（D）A不可逆，且必有.14已知A、B為3階矩陣，且滿足，其中E是3階單位矩陣。（1）證明：矩陣A-2E可逆；（2）若，求矩陣A .15設(shè)矩陣A、B滿足，其中，E為單位矩陣，為的伴隨矩陣，則B=_。16已知三階矩陣A的逆矩陣，試求。17 設(shè)矩陣，矩陣滿足，求矩陣。18. 設(shè)矩陣A= 滿足，其中是A的伴隨矩陣，為A的轉(zhuǎn)置矩陣. 若為三個(gè)相等的正數(shù)

13、，則為( )(A) . (B) 3. (C) . (D) . 1. 只要把子塊或子矩陣當(dāng)做通常的矩陣元素，分塊矩陣的加、減、乘法、數(shù)乘與轉(zhuǎn)置等運(yùn)算就與通常矩陣的相應(yīng)運(yùn)算基本相同。2. 設(shè)A、B均為可逆方陣，則 。19 設(shè)A為階非奇異矩陣，為維列向量，為常數(shù)，記分塊矩陣，其中是矩陣A的伴隨矩陣，I為階單位矩陣。（1）計(jì)算并化簡(jiǎn)PQ（2）證明：矩陣Q可逆.20設(shè)A、B為階矩陣，分別為、對(duì)應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣，則C的伴隨矩陣（ ）。（A）（B）（C）（D） 初等矩陣與初等變換：1. 單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。 2. 對(duì)應(yīng)于三種初等變換的三種初等矩陣為：（1）：交換E的兩行或

14、兩列得到（2）：非零常數(shù)乘的i行或i列得到；（3）：E的行（列）的倍加到i行（列）.3.初等矩陣的逆矩陣：（1）（2）（3）4.（1）初等矩陣P左乘A所得PA就是A作了一次與P同樣的初等行變換。 （2）初等矩陣P右乘A所得AP就是A作了一次與P同樣的初等列變換。21計(jì)算.22設(shè)A是階可逆矩陣，將A的第行與第行對(duì)調(diào)后得到的矩陣記為B，證明B可逆，并求。23設(shè)，其中A可逆，則等于（ ）（A） （B） （C）（D） 24設(shè)A為n（）階可逆矩陣，交換A的第1行與第2行得矩陣B, 分別為A,B的伴隨矩陣，則（ ）(A) 交換的第1列與第2列得. (B) 交換的第1行與第2行得. (C) 交換的第1列與第

15、2列得.(D) 交換的第1行與第2行得. 第三章 向量 本章是考研復(fù)習(xí)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)。一定要吃透線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念、性質(zhì)和判別法，并能靈活運(yùn)用。熟記一些常見(jiàn)結(jié)論，并能將線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的概念與矩陣的秩、線性方程組的解的結(jié)構(gòu)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)換、連接，開(kāi)闊思路，提高綜合能力。【大綱內(nèi)容】向量的概念;向量的線性組合和線性表示；向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)；向量組的極大線性無(wú)關(guān)組；等價(jià)向量組；向量組的秩；向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系。數(shù)學(xué)一還要求掌握：向量空間以及相關(guān)概念；n維向量空間的基變換和坐標(biāo)變換；過(guò)渡矩陣；向量的內(nèi)積；線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化方法；規(guī)范正交基；正交矩陣及其性質(zhì)?！敬缶V要求

16、】理解n維向量的概念、向量的線性組合與線性表示；理解向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的概念；了解并會(huì)用向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的有關(guān)性質(zhì)及判別法，會(huì)求向量組的極大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩；了解向量組的秩與矩陣的秩之間的關(guān)系，會(huì)用矩陣的秩解決有關(guān)問(wèn)題。數(shù)學(xué)一還要求：了解n維向量空間、基、維數(shù)、坐標(biāo)等概念，會(huì)求基變換的過(guò)渡矩陣，并通過(guò)過(guò)渡矩陣求向量在新、舊基下的坐標(biāo)；了解內(nèi)積的概念，掌握向量組正交規(guī)范化的施密特（Schmidt）方法，以及正交矩陣的概念與性質(zhì)?！究键c(diǎn)分析】判別向量組線性相關(guān)、線性無(wú)關(guān)的方法： 1定義法：（1）若存在不全為0的數(shù)，使，則線性相關(guān)；（2）令而，則線性無(wú)關(guān)。定義法的關(guān)鍵是恒等變形。

17、 2思維定勢(shì)：（1）若要證明向量組線性無(wú)關(guān)，先考慮用定義再說(shuō)； （2）若已知條件涉及線性相關(guān)的話，先用定義處理一下再說(shuō)。 3利用向量組的秩： （1）當(dāng)秩（）時(shí)，向量組線性相關(guān)； （2）當(dāng)秩（）時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)。 4利用矩陣的秩： 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，向量組可用線性表示。且有矩陣A，使得 則（1）秩=秩A （2）向量組線性無(wú)關(guān)秩。 5利用行列式：設(shè)為階方陣。當(dāng)時(shí)，維向量組 線性相關(guān)；當(dāng)時(shí)，維向量組線性無(wú)關(guān)。 6利用線性表示： （1） 向量組線性相關(guān)至少存在一個(gè)向量可以用其余向量線性表示； （2） 若向量組線性無(wú)關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則能由線性表示，且表示式是唯一的。 （3）若可由線性表示且，則線

18、性相關(guān)。簡(jiǎn)記為：多數(shù)向量能用少數(shù)向量表示，則線性相關(guān)。 （4）逆否命題：若可由線性表示，且線性無(wú)關(guān)，則必有。 7利用定理： （1）任個(gè)維向量必線性相關(guān)；（2）若向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則向量組亦線性相關(guān)；反之，若線性無(wú)關(guān)，則它的任一部分組都線性無(wú)關(guān)。 此定理簡(jiǎn)記為：部分組線性相關(guān)，則整體組線性相關(guān)；整體組線性無(wú)關(guān)，則其任一部分組也線性無(wú)關(guān)。 （3）設(shè)是維向量，是維向量，令 ，其中是維向量。通常稱是向量組的延伸組；稱為的縮短組。若縮短組線性無(wú)關(guān)，則延伸組也線性無(wú)關(guān)；若延伸組相關(guān)，則縮短組也線性相關(guān)。 （4）相同結(jié)論：對(duì)線性無(wú)關(guān)向量組中每個(gè)向量在相同位置上任意添加分量，所得向量組仍線性無(wú)關(guān)；對(duì)

19、線性相關(guān)向量組中每個(gè)向量去掉相同位置上的分量，則所得向量組仍線性相關(guān)。 8用反證法； 9用觀察法； 10向量組線性無(wú)關(guān)對(duì)任意一組不全為0的數(shù)，都有?！镜湫屠}】1設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，則（ ）（A），線性無(wú)關(guān)；（B），線性無(wú)關(guān)；（C），線性無(wú)關(guān)；（D），線性無(wú)關(guān)。2. 設(shè)向量組I：可由向量組：線性表示，則（ ）。（A）當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān)；（B）當(dāng)時(shí)，向量組必線性相關(guān)；（C）當(dāng)時(shí)，向量組I必線性相關(guān)；（D）時(shí)，向量組I必線性相關(guān)。3. 對(duì)任意實(shí)數(shù)，線性無(wú)關(guān)的向量組是（ ）。（A），；（B），；（C），；（D），.4設(shè)A是階矩陣，是維列向量，且，。證明：線性無(wú)關(guān)。5. 設(shè)向量組線性相關(guān)，則參數(shù) 。

20、6.設(shè)三階矩陣三維向量。已知與 線性相關(guān)，則 。7. 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，若向量組也線性無(wú)關(guān)，則參數(shù)滿足的條件是 。8 設(shè)在向量組中，且每一個(gè)都不能由線性表示。證明：此向量組線性無(wú)關(guān)。9 設(shè)向量組線性相關(guān)，向量組線性無(wú)關(guān)。問(wèn)：（1）能否由線性表出？證明你的結(jié)論；（2）能不由線性表出？證明你的結(jié)論。10 若向量組線性無(wú)關(guān)，線性相關(guān)，則（ ）。（A）必可由線性表示。（B）必不可由線性表示。（C）必可由線性表示。（D）必不可由線性表示。11. 設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由線性表示。證明：（1）不能由線性表示。 （2）能由線性表示。12. 設(shè)向量可由向量組線性表示，但不能由向量組（I）：線性表示，

21、記向量組（）：，則（ ）（A）不能由（I）線性表示，也不能由（）線性表示。（B）不能由（I）線性表示，但可由（）線性表示。（C）可由（I）線性表示，也可由（）線性表示。（D）可由（I）線性表示，但不可由（）線性表示。 1判別“是否可以由線性表示？表示法是否唯一？”，這就是問(wèn)：向量方程，是否有解？解是否唯一？這個(gè)向量方程用分量寫(xiě)出來(lái)就是以為增廣矩陣的線性方程組。具體解法是：作初等變換，由計(jì)算系數(shù)矩陣的秩與增廣矩陣的秩是否相等來(lái)判定。當(dāng)秩=秩時(shí)，即秩相等時(shí)，可由線性表示。2 維向量可由線性表示秩=秩；維向量不可由線性表示秩=秩。3維列向量組與等價(jià)的充要條件為 ，其中 4設(shè)為矩陣，則元齊次線性方程組

22、有有非零解秩A的列向量組線性相關(guān)只有零解秩A的列向量組線性無(wú)關(guān) 5設(shè)為矩陣，為維非零列向量，令，則元非齊次線性方程組有：無(wú)解秩不能由A的列向量組線性表出有唯一解秩可由A的列向量組唯一表出有無(wú)窮多解秩A=秩可由A的列向量組線性表出，但表示法不唯一 13確定常數(shù)a,使向量組 可由向量組線性表示，但向量組不能由向量組線性表示.14. 已知向量組及向量組.若可由線性表示，判斷這兩個(gè)向量組是否等價(jià)？并說(shuō)明理由。15已知兩個(gè)向量組與，問(wèn)取何值時(shí)，兩個(gè)向量組等價(jià)？并寫(xiě)出等價(jià)時(shí)的線性表示式。 1. 最大線性無(wú)關(guān)組：設(shè)有向量組A，如果在A中能選出r個(gè)向量，滿足（1）線性無(wú)關(guān)，（2）向量組A中任意r+1個(gè)向量（如

23、果A中有r+1個(gè)向量）都線性相關(guān)，則稱向量組是向量組A的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱最大無(wú)關(guān)組。一般來(lái)說(shuō)，向量組的最大線性無(wú)關(guān)組不是惟一的，但這些最大線性無(wú)關(guān)組是等價(jià)的，從而每個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)都是r，即個(gè)數(shù)r是由原向量組惟一確定的。2 向量組的秩：向量組的最大線性無(wú)關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩。只含零向量的向量組沒(méi)有最大線性無(wú)關(guān)組，規(guī)定它的秩為0。若向量組B能由向量組A線性表出，則向量組B的秩不大于向量組A的秩。因此，等價(jià)的向量組有相同的秩。3 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系：矩陣A的行向量組的秩=矩陣A的列向量組的秩=矩陣A的秩。因此，求向量組的最大線性無(wú)關(guān)組和向量組的秩時(shí)，

24、可把此向量組的向量作為列（行）向量構(gòu)成矩陣，再由矩陣的初等行（列）變換化成行（列）階梯形或行（列）最簡(jiǎn)形矩陣的方法解之。16. 設(shè)向量組問(wèn)： 線性表出；為何值時(shí)，該向量組線性相關(guān)？并在此時(shí)求出它的秩和一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組。17. 已知向量組，與向量組，具有相同的秩，且可由線性表示， 求的值。18設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，已知，。（1）試求秩（）（2）試求向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組。 1秩中至少存在一個(gè)階非零子式，且A中所有階子式全為0。2設(shè)A為矩陣，則。3秩A=秩4設(shè)A、B均為矩陣，則56若A可逆，則秩（AB）=秩B；若B可逆，則秩（AB）=秩A。7設(shè)A為矩陣，秩，則存在階可逆陣P及階可逆陣Q，使 ，稱為A

25、的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形。8設(shè)A為矩陣，B為矩陣，若，則。9設(shè)A為矩陣，B為矩陣，則。19. 若矩陣和的秩分別為和，則矩陣的秩不大于，其中E是單位陣。20. 設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣為A，3階矩陣，且，試求的值。21. 已知，為階非零矩陣，且滿足是，則（ ）（A）時(shí)，的秩必為1；（B）時(shí)，的秩必為2；（C）時(shí)，的秩必為1；（D）時(shí)，的秩必為2。22.設(shè)，B為3階非零矩陣，且，則 _。23. 設(shè)A、B、C分別是，和矩陣，且，。證明：當(dāng)時(shí)，必有。24. 設(shè)A、B都是階非零矩陣，且，則A和B的秩（ ）。（A）必有一個(gè)等于零（B）都小于。（C）一個(gè)小于，一個(gè)等于（D）都等于.25. 設(shè)A、B是階矩陣，且。證明： .

26、26. 已知階方陣A的秩為，則秩_。27. 設(shè)三階矩陣，若A的伴隨矩陣的秩為1，則必有（ ）。（A）或； （B）或；（C）且； （D）且.28. 設(shè)A是階實(shí)矩陣，證明：（1）齊次線性方程組與同解；（2）.29. 設(shè)A為階實(shí)矩陣，是A的轉(zhuǎn)置矩陣，則對(duì)于線性方程組（I）：和（）：，必有（ ）（A）（）的解是（I）的解，（I）的解也是（）的解；（B）（）的解是（I）的解，但（I）的解不是（）的解；（C）（I）的解不是（）的解，（）的解也不是（I）的解；（D）（I）的解是（）的解，但（）的解不是（I）的解。 向量空間：1維向量的全體所構(gòu)成的集合稱為維向量空間。 2設(shè)是維向量的非空集合，若 （1），必有

27、。 （2）及任一實(shí)數(shù)必有，則稱是維向量空間的子空間，簡(jiǎn)稱向量空間。 3設(shè)是向量空間，若中個(gè)向量滿足： （1）線性無(wú)關(guān) （2），均有，即可由 線性表出，則稱是的一個(gè)基，稱為的維數(shù)，向量的表示系數(shù)稱為在下的坐標(biāo)。 4設(shè)是元齊次線性方程組的解向量的集合，根據(jù)齊次線性方程的性質(zhì)，若是的解向量，則是的解向量，所以是維向量空間的子空間，常稱為的解空間，而基礎(chǔ)解系就是解空間的一個(gè)基，所以解空間的維數(shù)是（秩A）。 5設(shè)與是維向量空間的兩個(gè)基，且則其中，稱C為由基到基的過(guò)渡矩陣，且該矩陣C為可逆矩陣。6由向量組生成的向量空間為，且的維數(shù)等于的秩。 7設(shè)維向量空間有兩組基及，且，則坐標(biāo)變換公式為，其中C為由基到基

28、的過(guò)渡矩陣。 8若維向量非零且兩兩正交，則線性無(wú)關(guān)。 9若是規(guī)范正交基，設(shè)，則是標(biāo)準(zhǔn)正交基為正交矩陣。 10施密特正交化方法（線性無(wú)關(guān)向量組的正交規(guī)范化） 設(shè)是一組線性無(wú)關(guān)的向量，則可用下述方法把規(guī)范正交化。令則兩兩正交且與等價(jià)。再把單位化：令30. 已知向量組， 所生成的向量空間的維數(shù)是2，_。31. 設(shè)中的向量在基下的坐標(biāo)為而在基 下的坐標(biāo)為且則由基到基的過(guò)渡矩陣_。32. 設(shè)，且方程組的解空間的維數(shù)為2，則 _。33求齊次線性方程組解空間的規(guī)范正交基。第四章 線性方程組 線性方程組的理論及其解法是線性代數(shù)的重要內(nèi)容之一。線性方程組有三種等價(jià)形式：線性方程組形式，矩陣方程形式，向量的線性組

29、合方程形式，在討論相關(guān)問(wèn)題時(shí)可以相互轉(zhuǎn)換。本章的題型均圍繞線性方程組的解的結(jié)構(gòu)和性質(zhì)進(jìn)行命題，歷年的真題靈活多變，題目眾多，是復(fù)習(xí)中最好的資料。【大綱內(nèi)容】線性方程組的克萊姆（Cramer）法則；齊次線性方程組有非零解的充分必要條件；非齊次線性方程組有解的充分必要條件；線性方程組解的性質(zhì)和解的結(jié)構(gòu)；齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解；非齊次線性方程組的通解?！敬缶V要求】理解齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的充分必要條件；理解齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系、通解和解空間的概念；掌握非齊次線性方程組的解集的結(jié)構(gòu)；掌握用初等行變換求齊次和非齊次線性方程組的通解的方法?！究键c(diǎn)分析】1根據(jù)克萊姆法則可

30、知：（1）若線性方程組Ax=b無(wú)解或有無(wú)窮多組解，則該方程組的系數(shù)行列式必為零，即|A|=0；（2）當(dāng)b=0，即為齊次線性方程組Ax=0時(shí)，它有非零解的充分必要條件是A的行列式|A|=0。2齊次線性方程組Ax=0（其中A是矩陣）解的性質(zhì)：（1）若是齊次線性方程組的解，則也是該齊次方程組的解；（2）若是齊次線性方程組的解，k為任意實(shí)數(shù)，則也是該齊次方程組的解。（3）齊次線性方程組Ax=0必有解，至少x=0是它的解，稱為零解。其僅有零解的充分必要條件是。Ax=0有非零解的充分必要條件是特別地，若，則Ax=0必有非零解。3. 向量組稱為的基礎(chǔ)解系，如果：（1）是的解（2）線性無(wú)關(guān)（3）的任一解都可由

31、線性表出。的基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)為-秩A。4判定向量組是的基礎(chǔ)解系的條件為：（1）是的解（2）線性無(wú)關(guān)（3）秩A5非齊次線性方程組有解【典型例題】1. 設(shè)方程組有無(wú)窮多解，則_。2. 已知4階方陣，均為4維列向量，其中線性無(wú)關(guān)，。如果，求線性方程組的通解。3. 證明：對(duì)任意階實(shí)矩陣A，一定有解，其中，。4. 設(shè)A是矩陣，為一非齊次線性方程組，則必有（ ）。（A）如果，則有非零解（B）如果秩，則有非零解（C）如果A有階子式不為0，則有唯一解（D）如果A有階子式不為0，則只有零解。5. 設(shè)A是階矩陣，是維列向量，若秩秩A，則線性方程組（ ）。（A）必有無(wú)窮多解（B）必有唯一解（C）僅有零解（D）必有

32、非零解6設(shè)向量組是齊次線性方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系，向量不是方程組的解，即。試證明：向量組線性無(wú)關(guān)。7設(shè)四元非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣A的秩為3，且它的三個(gè)解滿足，則的通解為_(kāi)。8已知，是方程組的三個(gè)解，求此方程組的通解。9已知線性方程組 （1）滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組僅有零解？（2）滿足何種關(guān)系時(shí)，方程組有無(wú)窮多組解，并用基礎(chǔ)解系表示全部解。10設(shè) 是維實(shí)向量，且線性無(wú)關(guān)，已知是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組的線性相關(guān)性。11已知齊次線性方程組（I）的解都滿足方程，求和方程組（I）的通解。12已知，是齊次線性方程組（I）的基礎(chǔ)解系，是齊次線性方程組（）的基礎(chǔ)解系，求齊次線性方程組（I），（）

33、的公共解。13 已知齊次線性方程組，其中，試討論和滿足何種關(guān)系時(shí)（1）方程組僅有零解（2）方程組有非零解。在有非零解時(shí)，求此方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系。14設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A，且3階非零矩陣B滿足，試求及的值。15已知3階矩陣A的第一行是不全為零，矩陣（k為常數(shù)），且AB=O, 求線性方程組Ax=0的通解.16設(shè)，。則3條直線（其中，）交于一點(diǎn)的充要條件是（ ）（A）線性相關(guān)；（B）線性無(wú)關(guān)；（C）秩；（D）線性相關(guān)，線性無(wú)關(guān)。第五章 特征值與特征向量矩陣的特征值和特征向量問(wèn)題是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象之一，它不僅在理論上有重要意義，而且在工程技術(shù)的實(shí)際應(yīng)用中也起著重要的作用。本章主要包括

34、特征值與特征向量的計(jì)算及證明與相似矩陣及矩陣對(duì)角化。本章是數(shù)學(xué)一、二、三均包括的重點(diǎn)內(nèi)容，應(yīng)予以高度重視?！敬缶V內(nèi)容】矩陣的特征值和特征向量的概念、性質(zhì)及求法；相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)；矩陣可對(duì)角化的充分必要條件及相似對(duì)角矩陣；實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量及相似對(duì)角矩陣。【大綱要求】理解矩陣的特征值和特征向量的概念及性質(zhì)，會(huì)求矩陣的特征值和特征向量；了解相似變換、相似矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣可相似對(duì)角化的充分必要條件及其方法；了解實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值和特征向量的性質(zhì)，掌握用正交相似變換化實(shí)對(duì)稱矩陣為對(duì)角矩陣的方法?！究键c(diǎn)分析】1設(shè)A為階方陣，若存在數(shù)與非零的維列向量，使，則稱是方陣A的特征值，稱為A的對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。2及均稱為方陣A的特征多項(xiàng)式，而方程及均稱為A的特征方程。3性質(zhì)定理：設(shè)是階方陣A的特征值，則（1）（2）（3）若，則與對(duì)應(yīng)的特征向量與線性無(wú)關(guān)。（4）設(shè)是矩