導數(shù)題型五-利用導數(shù)證明不等式

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上導數(shù)習題題型分類精選 題型五 利用導數(shù)證明不等式（學生用）不等式的證明問題是中學數(shù)學教學的一個難點,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性強,多數(shù)學生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導數(shù)證明不等式也時有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法并不了解.利用導數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡單的不等式。通過作輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)求導來證明不等的的方法對

2、相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)g(x)(axb)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)g(x)(axb)歸結(jié)為：（x）0(axb),這等價于(x)在a,b上的最小值大于等于0.2.對（x）求導，確定F(x)在所考慮的區(qū)間上的符號，從而確定(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例F(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算（x）,直到符號能夠確定為止注意：作輔助函數(shù)(x)不同，確定F(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù) 要 不拘一格，可對原題作適當變更不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對原不等式的不同 同解變形一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造

3、方法主要有下面兩種:(1) 由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)。例如：構(gòu)造出 (2) 對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運算的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù)F（x） 例如：兩邊可取對數(shù)，變?yōu)榍笞C： 令一構(gòu)造形似函數(shù)型 1對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過一階求導達到證明目的的不等式。例1求證下列不等式（1） （相減）（2） （相除兩邊同除以x得）（3） （4）已知：，求證；（換元：設） （5）已知函數(shù)，證明： 鞏固練習： 1.證明時，不等式 2.，證明： 3.時，求證：

4、贊同綜合應用4.例：（理做）設a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）. （）令F（x） xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值； （）求證：當x1時，恒有xln2x2a ln x1. 例2.（08全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()1時，f(x)g(x)； ()如果且證明 解：（）（）證明：（)證明：（1）導數(shù)習題題型分類精選 題型五 利用導數(shù)證明不等式（教師用）不等式的證明問題是中學數(shù)學教學的一個難點,傳統(tǒng)證明不等式的方法技巧性

5、強,多數(shù)學生不易想到,并且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數(shù),這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,并且在近年高考題中使用導數(shù)證明不等式也時有出現(xiàn),但現(xiàn)行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法并不了解.利用導數(shù)證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。下面介紹利用單調(diào)性、極值、最值證明不等式的基本思路，并通過構(gòu)造輔助函數(shù)，證明一些簡單的不等式。（一）通過作輔助函數(shù)并對輔助函數(shù)求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)g(x)(axb)的一般步驟是：1.作輔助函數(shù)（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)g(x

6、)(axb)歸結(jié)為：（x）0(axb),這等價于(x)在a,b上的最小值大于等于0.2.對（x）求導，確定F(x)在所考慮的區(qū)間上的符號，從而確定(x)的增減性、極值、最值等性質(zhì)（主要是單調(diào)性），如象例F(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算（x）,直到符號能夠確定為止 注意：作輔助函數(shù)(x)不同，確定F(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函數(shù) 要不拘一格，可對原題作適當變更（或換元）不同輔助函數(shù)構(gòu)造一般來源對原不等式的不同同解變形 一般來說:輔助函數(shù)構(gòu)造方法主要有下面兩種:(3) 由欲證形式構(gòu)造“形似”函數(shù)；構(gòu)造出 (4) 對含兩個變量的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函數(shù)四則運算

7、的形式，再將其中一個變量改為x，移項使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函數(shù)F（x） 例如：兩邊可取對數(shù)，變?yōu)榍笞C： 令一構(gòu)造形似函數(shù)型 1對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)型并 通過一階求導達到證明目的的不等式。 例1求證下列不等式（1） （相減）（2） （相除）（3） （4）已知：，求證；（換元：設） （5）已知函數(shù)，證明：解：證：設（1） 為上 恒成立 設 在上 恒成立（2） （相除）解（2）原式 令 在上是減函數(shù)。 又 （3） 解：（3）令 在上是增函數(shù)。 （4）已知：，求證；（換元：設） 解：（4）令，由x0，t1，（巧點：巧在換

8、元，降低了做題難度） 原不等式等價于 令f(t)=t-1-lnt， 當時，有，函數(shù)f(t)在遞增 f(t)f(1)即t-1g(1)=0 綜上得例5已知函數(shù)，證明：證：函數(shù)的定義域為1 當x（1，0）時，0，當x（0，）時，0， 因此，當時，即0 令則 當x（1，0）時，0，當x（0，）時，0 當時，即 0， 綜上可知，當時，有 鞏固練習： 1.證明時，不等式 2.，證明： 3.時，求證： 2對證明形如f(x)g(x)(axb)的不等式構(gòu)造形如（x）=f(x)-g(x)的函數(shù)，并通過一階或二階、三階求導達到證明目的的不等式。例3使用了二階求導的方法 判出函數(shù)的導數(shù)的導函數(shù)單調(diào)性后再去證明不等式，

9、也凸 顯判斷函數(shù)零點的作用。例3.當時,證明: 證:令,則, 而 當時, 因為在同一坐標系中畫出，的圖像可知， 在上遞減,即,從而在(0,1)遞減 f(x)0 注意到時， 則 時， 是減函數(shù) 是增函數(shù) 是減函數(shù) 時是減函數(shù) 是增函數(shù) 時是增函數(shù) 時， 二作輔助函數(shù)型：對含有兩個變量的不等式，可構(gòu)造出以其中一個變量為為自變量的 函數(shù)，再采用上述方法證明不等式。使使用用了使用例2.已知：a、b為實數(shù)，且bae,其中e為自然對數(shù)的底，求證：abba.證法一：bae, 要證abba,只要證blnaalnb, 設f(x)=xlnaalnx(xe),則 f(x)=lna.xae,lna1,且1,f(x)0

10、. 函數(shù)f(x)=xlnaalnx在(e,+)上是增函數(shù)， f(b)f(a)=alnaalna=0,即blnaalnb0,blnaalnb,abba.證法二：要證abba,只要證blnaalnb(eab, 即證,設f(x)=(xe)， 則f(x)= 0,函數(shù)f(x)在(e,+)上是減函數(shù)， 又eab, f(a)f(b),即,abba. Ex:若,證明: 解：要證：, 需證：, 設 ，則需證 因為 時，。 在 上 在上是增函數(shù) 在上成立練習證明(1) (2)思考： (3),證明,并指出”=”成立的條件 綜合運用典例精講例1.（理做）設a0，f (x)=x1ln2 x2a ln x（x0）.（）令

11、F（x） xf（x），討論F（x）在（0.）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；（）求證：當x1時，恒有xln2x2a ln x1.解：（）根據(jù)求導法則有， 故，于是， 列表如下：20極小值故知在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以，在處取得極小值（）證明：由知，的極小值 于是由上表知，對一切，恒有 從而當時，恒有，故在內(nèi)單調(diào)增加 所以當時，即 (利用單調(diào)性證明不等 式） 故當時，恒有例2.（08全國卷22）（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(i)求函數(shù)f(x)的最大值；(ii)設0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2.解：(I)函數(shù)f(x)的定義域是

12、(-1,),，令，解得：x=0， 當-1 x 0時,，在（0，+）上是減函數(shù) 當x=0時，f(x)取得最大值，f(x)f(0) 又f(0)=0，f(x)最大值是0 (II)證法一：（綜合法） 由(I)的結(jié)論知，由題設0ab,得 a-b0 , 因此 ， 所以又 （這一隱性條件的挖掘很重要，一是看學生的轉(zhuǎn)換能力，二是看學生的分析能力，據(jù)需取舍。）(1)(使用了放縮法，放縮的目的要明確。)綜上(II)證法二：作輔助函數(shù)法(構(gòu)造新函數(shù)法)：解：，則， 又設0ab,證明0g(a)+g(b)-2g()(b-a)ln2. 構(gòu)造輔助函數(shù)：設， 則， 當0xa時，因此F(x)在(a,+)上為增函數(shù) 從而，當x=

13、a時，F(xiàn)(x)有極小值F(a)因為F(a)=0,ba, 所以F(b)0, 即 設, 則 當x0時,因此G(x)在(0,+)上為減函數(shù)， 因為G(a)=0,ba,所以G(b)0，t1，（巧點：巧在換元，降低了做題難度） 原不等式等價于 令f(t)=t-1-lnt， 當時，有，函數(shù)f(t)在遞增 f(t)f(1)即t-1g(1)=0 綜上得（2）由（1）令x=1,2,(n-1)并相加得 即：高考新動態(tài)例1.(2012山東理科22題本小題滿分13分)已知函數(shù)為常數(shù)，e=2.71828是自然對數(shù)的底數(shù))，曲線在 點處的切線與x軸平行.()求k的值；()求的單調(diào)區(qū)間； ()設，其中為的導函數(shù).證明：對任

14、意 .來源:解：(I)， 由已知，.(II)由(I)知，.設，則，即在上是減函數(shù)，由知，當時，從而，當時，從而.綜上可知，的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.(III)由(II)可知，當時，01+，故只需證明在時成立.當時，1，且，.設，則，當時，當時，所以當時，取得最大值.所以.綜上，對任意，.例2.（2012天津理科 21題 ，本小題滿分14分）已知函數(shù)() 求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；()已知函數(shù)y=g(x)的圖象與函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱證明當x1時， f(x)g(x)； ()如果且證明（21）本小題主要考查導數(shù)的運算、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎知識，考查運算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力，滿分14分（）解：令,解得x=1當