將軍飲馬問題的11個模型及例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上將軍飲馬問題問題概述 路徑最短、線段和最小、線段差最大、周長最小等一系列最值問題方法原理1.兩點之間，線段最短；2.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；3.中垂線上的點到線段兩端點的距離相等；4.垂線段最短.基本模型1. 已知：如圖，定點A、B分布在定直線l兩側(cè)；要求：在直線l上找一點P，使PA+PB的值最小解：連接AB交直線l于點P，點P即為所求, PA+PB的最小值即為線段AB的長度 理由：在l上任取異于點P的一點P´，連接AP´、BP´， 在ABP中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP

2、´>AP+BPP為直線AB與直線l的交點時，PA+PB最小.2. 已知：如圖，定點A和定點B在定直線l的同側(cè)要求：在直線l上找一點P，使得PA+PB值最小（或ABP的周長最?。┙猓鹤鼽cA關(guān)于直線l的對稱點A´，連接A´B交l于P， 點P即為所求； 理由：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)知直線l為線段AA´的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PA=PA´，要使PA+PB最小，則需PA´+PB值最小，從而轉(zhuǎn)化為模型1.3. 已知：如圖，定點A、B分布在定直線l的同側(cè)（A、B兩 點到l的距離不相等）要求：在直線l上找一點P，使PA-PB的值最大 解：連接BA

3、并延長，交直線l于點P，點P即為所求；理由：此時PA-PB=AB，在l上任取異于點P的一點P´， 連接AP´、BP´，由三角形的三邊關(guān)系知P´A-P´B<AB， 即P´A-P´B<PA-PB4. 已知：如圖，定點A、B分布在定直線l的兩側(cè)（A、B兩 點到l的距離不相等） 要求：在直線l上找一點P，使PA-PB的值最大解：作點B關(guān)于直線l的對稱點B´，連接B´A并延長交于點P，點P即為所求；理由：根據(jù)對稱的性質(zhì)知l為線段BB´的中垂線，由中垂線的性質(zhì)得：PB=PB´，要使PA

4、-PB最大，則需 PA-PB´值最大 ，從而轉(zhuǎn)化為模型3.典型例題1-1如圖，直線y=23x+4與x軸、y軸分別交于點A和點B，點C、D分別為線段AB、OB的中點，點P為OA上一動點，當(dāng)PC+PD最小時，點P的坐標(biāo)為_，此時PC+PD的最小值為_.【分析】符合基本模型2的特征，作點D關(guān)于x軸的對稱點D'，連接CD'交x軸于點P，此時PC+PD值最小，由條件知CD為BAO的中位線，OP為 CDD'的中位線，易求OP長，從而求出P點坐標(biāo)；PC+PD的最小值即CD'長，可用勾股定理（或兩點之間的距離公式，實質(zhì)相同）計算.【解答】連接CD，作點D關(guān)于x軸的對稱

5、點D，連接CD交x軸于點P，此時PC+PD值最小令y=23x+4中x=0，則y=4，點B坐標(biāo)（0，4）；令y=23x+4中y=0，則23x+4=0，解得：x=6，點A的坐標(biāo)為（6，0）點C、D分別為線段AB、OB的中點，CD為BAO的中位線， CDx軸，且CD=AO=3，點D和點D關(guān)于x軸對稱，O為DD的中點，D（0，-1），OP為CDD的中位線，OP=CD=，點P的坐標(biāo)為（32，0）在RtCDD中，CD=5，即PC+PD的最小值為5.【小結(jié)】還可用中點坐標(biāo)公式先后求出點C、點P坐標(biāo)；若題型變 化，C、D不是AB和OB中點時，則先求直線CD的解析 式，再求其與x軸的交點P的坐標(biāo).典型例題1-2

6、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點A的坐標(biāo)為（0，1），點B 的坐標(biāo)為（32，2），點P在直線y=x上運動，當(dāng)|PAPB|最 大時點P的坐標(biāo)為_，|PAPB|的最大值是_.【分析】符合基本模型4的特征，作A關(guān)于直線y=x對稱點C， 連接BC，可得直線BC的方程；求得BC與直線y=x的 交點P的坐標(biāo)；此時|PAPB|=|PCPB|=BC取得最大值，再用兩點之間的距離公式求此最大值.【解答】作A關(guān)于直線y=x對稱點C，易得C的坐標(biāo)為（1，0）；連接BC，可得直線BC的方程為y=x，與直線y=x聯(lián)立解得交點坐標(biāo)P為（4，4）；此時|PAPB|=|PCPB|=BC取得最大值，最大值BC=；【小結(jié)】“兩點

7、一線”大多考查基本模型2和4，需作一次對稱點，連線得交點.變式訓(xùn)練1-1已知菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系的位置如圖所示，頂點A（5，0）， OB=45，點P是對角線OB上的一個動點，D（0，1），當(dāng)CP+DP最短 時，點P的坐標(biāo)為（）A（0，0） B（1，12） C（65，35） D（107，57）變式訓(xùn)練1-2如圖，菱形ABCD中，對角線AC和BD交于點O，AC=2， BD=23,E為AB的中點，P為對角線AC上一動點，則PE+PB的 最小值為_.變式訓(xùn)練1-3如圖，已知直線y=12x+1與y軸交于點A，與x軸交于點D，拋物線y=12x2+bx+c與直線交于A、E兩點，與x軸交于B、C兩點，

8、且B點坐標(biāo)為（1，0）（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的對稱軸上找一點M，使|AMMC|的值最大，求出點M的坐標(biāo). 拓展模型1. 已知：如圖，A為銳角MON外一定點； 要求：在射線OM上找一點P，在射線ON上找一點Q，使 AP+PQ的值最小. 解：過點A作AQON于點Q，AQ與OM相交于點P，此 時，AP+PQ最??； 理由：AP+PQAQ，當(dāng)且僅當(dāng)A、P、Q三點共線時， AP+PQ取得最小值A(chǔ)Q，根據(jù)垂線段最短，當(dāng) AQON時，AQ最小.2. 已知：如圖，A為銳角MON內(nèi)一定點； 要求：在射線OM上找一點P，在射線ON上找一點Q，使 AP+PQ的值最小. 解：作點A關(guān)于OM的對稱點A，

9、過點A作AQON 于點Q，AQ交OM于點P，此時AP+PQ最?。?理由：由軸對稱的性質(zhì)知AP=AP，要使AP+PQ最小， 只需AP+PQ最小，從而轉(zhuǎn)化為拓展模型13. 已知：如圖，A為銳角MON內(nèi)一定點； 要求：在射線OM上找一點P，在射線ON上找一點Q，使 APQ的周長最小 解：分別作A點關(guān)于直線OM的對稱點A1,關(guān)于ON的對稱點A2，連接 A1A2交OM于點P，交ON于點Q，點P和點Q即為所求，此時APQ周長最小，最小值即為線段A1A2的長度；理由：由軸對稱的性質(zhì)知AP=A1P，AQ=A2Q，APQ的周長AP+PQ+AQ=A1P+PQ+A2Q，當(dāng)A1、P、Q、A2四點共線 時，其值最小.4

10、. 已知：如圖，A、B為銳角MON內(nèi)兩個定點；要求：在OM上找一點P，在ON上找一點Q，使四邊形APQB的周長最小解：作點A關(guān)于直線OM的對稱點A´，作點B關(guān)于直線ON的對稱點B´，連接A´B´交OM于P，交ON于Q，則點P、點Q即為所求，此時四邊形APQB周長的 最小值即為線段AB和A´B´的長度之和；理由：AB長為定值，由基本模型將PA轉(zhuǎn)化為PA´,將QB轉(zhuǎn)化為QB´，當(dāng)A´、P、Q、B´四點共線時，PA´+PQ+ QB´的值最小，即PA+PQ+ QB的值最小.5.搭橋模

11、型 已知：如圖，直線mn,A、B分別為m上方和n下方的定 點，（直線AB不與m垂直）要求：在m、n之間求作垂線段PQ，使得AP+PQ+BQ最小. 分析：PQ為定值，只需AP+BQ最小，可通過平移，使P、Q“接頭”，轉(zhuǎn)化為基本模型解：如圖，將點A沿著平行于PQ的方向，向下平移至點A，使得AA=PQ，連接AB交直線n于點Q，過點Q作PQn，交直線m于點P，線段PQ即為所求，此時AP+PQ+BQ最小.理由：易知四邊形QPAA為平行四邊形，則QA=PA，當(dāng)B、Q、A三點共線時，QA+BQ最小，即AP+BQ最小，PQ長為定值，此時AP+PQ+BQ最小.6. 已知：如圖，定點A、B分布于直線l兩側(cè)，長度為

12、a (a為定值)的線段PQ在l上移動（P在Q左邊） 要求：確定PQ的位置，使得AP+PQ+QB最小分析：PQ為定值，只需AP+QB的值最小，可通過平移，使P、Q“接頭”，轉(zhuǎn)化為基本模型解：將點A沿著平行于l的方向，向右移至A´，使AA´=PQ=a,連接A´B交直線l于點Q，在l上截取PQ=a（P在Q左邊），則線段PQ即為所求，此時AP+PQ+QB的最小值為A´B+PQ，即A´B+a理由：易知四邊形APQA´為平行四邊形，則PA=QA´，當(dāng)A´、Q、B三點共線時，QA´+QB最小，即PA+QB最小，又PQ長

13、為定值此時PA+PQ+QB值最小.7. 已知：如圖，定點A、B分布于直線l的同側(cè)，長度a(a為定值)的線段PQ在l上移動（P在Q左邊）要求：確定PQ的位置，使得四邊形APQB周長最小分析：AB長度確定，只需AP+PQ+QB最小，通過作A點關(guān)于l的對稱點，轉(zhuǎn)化為上述模型3解：作A點關(guān)于l的對稱點A´，將點A´沿著平行于l的方向，向右移至A´´，使A´A´´=PQ=a，連接A´´B交l于Q，在l上截取QP=a（P在Q左邊），線段PQ即為所求，此時四邊形APQB周長的最小值為A´´B+AB+

14、PQ，即A´´B+AB+a典型例題2-1如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5，若點M、N分別是線段AC、AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為【分析】符合拓展模型2的特征，作點B關(guān)于AC的對稱點E，再過點E作AB的垂線段，該垂線段的長即BM+MN的最小值，借助等面積法和相似可求其長度.【解答】作點B關(guān)于AC的對稱點E，再過點E作ENAB于N，則BM+MN=EM+MN，其最小值即EN長；AB=10，BC=5，AC=5，等面積法求得AC邊上的高為=2，BE=4，易知ABCENB，代入數(shù)據(jù)解得EN=8即BM+MN的最小值為8【小結(jié)】該類題的思路是通過作對稱，將線段轉(zhuǎn)化，

15、再根據(jù)定理、公理連線或作垂線；可作定點或動點關(guān)于定直線的對稱點，有些題作定點的對稱點易解，有些題則作動點的對稱點易解.典型例題2-2如圖，AOB=60°，點P是AOB內(nèi)的定點且OP=，點M、N分別是射線OA、OB上異于點O的動點，則PMN周長的最小值是（）A B C6 D3【分析】符合拓展模型3的特征；作P點分別關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、OB于M、N，此時PMN周長最小，其值為CD長；根據(jù)對稱性連接OC、OD，分析條件知OCD是頂角為120°的等腰三角形，作底邊上高，易求底邊CD.【解答】作P點分別關(guān)于OA、OB的對稱點C、D，連接CD分別交OA、O

16、B于M、N，如圖，則MP=MC，NP=ND，OP=OD=OC=，BOP=BOD，AOP=AOC，PN+PM+MN=ND+MN+NC=DC，COD=BOP+BOD+AOP+AOC=2AOB=120°，此時PMN周長最小，作OHCD于H，則CH=DH，OCH=30°，OH=OC=， CH=OH=，CD=2CH=3即PMN周長的最小值是3；故選：D【小結(jié)】根據(jù)對稱的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)OCD是頂角為120°的 等腰三角形，是解題的關(guān)鍵，也是難點.典型例題2-3如圖，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，AB交y軸于點D，AD=2，OC=6，A

17、=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點P為線段EF上的動點，PMx軸于點M點，點E與E關(guān)于x軸對稱，連接BP、EM（1）請直接寫出點A坐標(biāo)為 ，點B坐標(biāo)為 ；（2）當(dāng)BP+PM+ME的長度最小時，請求出點P的坐標(biāo).【分析】（1）解直角三角形求出OD，BD的長即可解決；（2）符合“搭橋模型”的特征；首先證明四邊形OPME是平行四邊形，可得OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME的長度最小，此時P點為直線OB與EF的交點，結(jié)合OB的解析式可得P點坐標(biāo)；【解答】（1）在RtADO中，A=60°，AD=2，OD=2tan60°

18、=2，A（2，2），四邊形ABCO是平行四邊形，AB=OC=6，DB=62=4，B（4，2）（2）如圖，連接OPEF垂直平分線段OD，PMOC，PEO=EOM=PMO=90°，四邊形OMPE是矩形，PM=OE=，OE=OE，PM=OE，PMOE，四邊形OPME是平行四邊形,OP=EM，PM是定值，PB+ME=OP+PB的值最小時，BP+PM+ME的長度最小，當(dāng)O、P、B共線時，BP+PM+ME的長度最小，直線OB的解析式為y=x，P（2，）【小結(jié)】求沒有公共端點的兩條線段之和的最小值，一般通過作對稱和平移（構(gòu)造平行四邊形）的方法，轉(zhuǎn)化為基本模型.典型例題2-4如圖所示，在平面直角坐標(biāo)

19、系中，RtAOB的頂點坐標(biāo)分別為A（2，0），O（0，0），B（0，4），把AOB繞點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到COD（1）求C、D兩點的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A、B、D三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上取兩點E、F（點E在點F的上方），且EF=1，使四邊形ACEF的周長最小，求出E、F兩點的坐標(biāo)【分析】符合拓展模型7的特征，通過作對稱、平移、連線，可找出E、F點，結(jié)合直線的解析式和拋物線的對稱軸可解出E、F坐標(biāo).【解答】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：OC=OA=2，OD=OB=4,C點的坐標(biāo)是（0，2），D點的坐標(biāo)是（4，0），（2）設(shè)所求拋物線的解析式為y=ax2+

20、bx+c， 4a-2b+c=0由題意，得 16a+4b+c=0 c=4解得a=-12，b=1，c=4，所求拋物線的解析式為y=-12x²+x+4；（3）只需AF+CE最短，拋物線y=-12x²+x+4的對稱軸為x=1，將點A向上平移至A1（2，1），則AF=A1E，作A1關(guān)于對稱軸x=1的對稱點A2（4，1），連接A2C，A2C與對稱軸交于點E，E為所求，可求得A2C的解析式為y=-14x+2，當(dāng)x=1時，y=74，點E的坐標(biāo)為(1, 74)，點F的坐標(biāo)為(1,34)【小結(jié)】解決此類題的套路是“對稱、平移、連線”；其中，作對稱和平移的順序可互換.變式訓(xùn)練2-1幾何模型：條件

21、：如圖1，A，B是直線l同旁的兩個定點問題：在直線l上確定一點P，使PA+PB的值最小方法：作點A關(guān)于直線l的對稱點A，連接AB交l于點P，即為所求.（不必證明）模型應(yīng)用：（1）如圖2，已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點A（0，1）和B（2，1），P為x軸上一動點，則當(dāng)PA+PB的值最小是點P的橫坐標(biāo)是 ，此時PA+PB= （2）如圖3，正方形ABCD的邊長為4，E為AB的中點，P是AC上一動點，連接BD，由正方形對稱性可知，B與D關(guān)于直線AC對稱連接ED交AC于P，則PB+PE的最小值是 （3）如圖4，在菱形ABCD中，AB=10，DAB=60°，P是對角線AC上一動點，E，F(xiàn)分別是線段A

22、B和BC上的動點，則PE+PF的最小值是 （4）如圖5，在菱形ABCD中，AB=6，B=60°，點G是邊CD邊的中點，點EF分別是AG，AD上的兩個動點，則EF+ED的最小值是 變式訓(xùn)練2-2 如圖，矩形ABCD中，AD=15，AB=10，E為AB邊上一點，且 DE=2AE，連接CE與對角線BD交于F；若P、Q分別為AB邊 和BC邊上的動點，連接EP、PQ和QF；則四邊形EPQF周長 的最小值是_.變式訓(xùn)練2-3如圖，已知直線l1l2，l1、l2之間的距離為8，點P到直線l1的距 離為6，點Q到直線l2的距離為4，PQ=4，在直線l1上有一動點A，直線l2上有一動點B，滿足ABl2，

23、且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=變式訓(xùn)練2-4如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直角梯形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA=AB=2，OC=3，過點B作BDBC，交OA于點D將DBC繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)，角的兩邊分別交y軸的正半軸、x軸的正半軸于點E和F（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式；（2）當(dāng)BE經(jīng)過（1）中拋物線的頂點時，求CF的長；（3）在拋物線的對稱軸上取兩點P、Q（點Q在點P的上方），且PQ=1，要使四邊形BCPQ的周長最小，求出P、Q兩點的坐標(biāo) 中考真題1. 要在街道旁建奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使A、B到

24、它的距離之和最短？小聰以街道為x軸，建立了如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，A點坐標(biāo)為（0，3），B點坐標(biāo)為（6，5），則A、B兩點到奶站距離之和的最小值是 2.如圖，矩形ABOC的頂點A的坐標(biāo)為（4，5），D是OB的中點，E是OC上的一點，當(dāng)ADE的周長最小時，點E的坐標(biāo)是（）A（0，）B（0，）C（0，2）D（0，）3.如圖，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，動點P滿足SPAB=S矩形ABCD，則點P到A、B兩點距離之和PA+PB的最小值為（）ABC5D4.已知拋物線y=x2+1具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點到定點F（0，2）的距離與到x軸的距離始終相等，如圖，點M的坐標(biāo)為（，3），P是拋物

25、線y=x2+1上一個動點，則PMF周長的最小值是（）A3B4C5D6 5.如圖，點A（a，3），B（b，1）都在雙曲線y=上，點C，D，分別是x軸，y軸上的動點，則四邊形ABCD周長的最小值為（）ABC D6.如圖，在RtABC中，C=90°，AC=3，BC=4，D、E分別是AB、BC邊上的動點，則AE+DE的最小值為（）ABC5D7.如圖，RtABC中，BAC=90°，AB=3，AC=6，點D，E分別是邊BC，AC上的動點，則DA+DE的最小值為8.如圖，等腰ABC的底邊BC=20，面積為120，點F在邊BC上，且BF=3FC，EG是腰AC的垂直平分線，若點D在EG上運動

26、，則CDF周長的最小值為9.如圖，菱形ABCD的邊長為6，ABC=120°，M是BC邊的一個三等分點，P是對角線AC上的動點，當(dāng)PB+PM的值最小時，PM的長是（）ABCD 10.如圖，在RtABC中，ACB=90°，AC=6，BC=8，AD平分CAB交BC于D點，E，F(xiàn)分別是AD，AC上的動點，則CE+EF的最小值為（）ABCD611.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)y=（x0）的圖象與邊長是6的正方形OABC的兩邊AB，BC分別相交于M，N 兩點OMN的面積為10若動點P在x軸上，則PM+PN的最小值是（）A6B10C2D212.如圖，ABC中，AC=BC=2，AB

27、=1，將它沿AB翻折得到ABD，則四邊形ADBC的形狀 是 形，P、E、F分別為線段AB、AD、DB上的任意點，則PE+PF的最小值是 13.如圖，已知拋物線y=x2+bx+c與直線y=x+3交于A，B兩點，交x軸于C、D兩點，連接AC、BC，已知A（0，3），C（3，0）（1）求此拋物線的解析式；（2）在拋物線對稱軸l上找一點M，使|MBMD|的值最大，并求出這個最大值；（3）點P為y軸右側(cè)拋物線上一動點，連接PA，過點P作PQPA交y軸于點Q，問：是否存在點P，使得以A，P，Q為頂點的三角形與ABC相似？若存在，請求出所有符合條件的點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由 14.如圖，在四邊形AB

28、CD中，B=C=90°，ABCD，AD=AB+CD（1）用尺規(guī)作ADC的平分線DE，交BC于點E，連接AE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）的條件下，證明：AEDE；若CD=2，AB=4，點M，N分別是AE，AB上的動點，求BM+MN的最小值15.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a0）經(jīng)過點A（1，0），B（3，0），C（0，3）三點（1）求拋物線的解析式及頂點M的坐標(biāo)；（2）連接AC、BC，N為拋物線上的點且在第四象限，當(dāng)SNBC=SABC時，求N點的坐標(biāo)；（3）在（2）問的條件下，過點C作直線lx軸，動點P（m，3）在直線l上，動點Q（m，0）在x軸上，連接PM、PQ、

29、NQ，當(dāng)m為何值時，PM+PQ+QN的和最小，并求出 PM+PQ+QN和的最小值 16.如圖，直線y=5x+5交x軸于點A，交y軸于點C，過A，C兩點的二次函數(shù)y=ax2+4x+c的圖象交x軸于另一點B（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）連接BC，點N是線段BC上的動點，作NDx軸交二次函數(shù)的圖象于點D，求線段ND長度的最大值；（3）若點H為二次函數(shù)y=ax2+4x+c圖象的頂點，點M（4，m）是該二次函數(shù)圖象上一點，在x軸、y軸上分別找點F，E，使四邊形HEFM的周長最小，求出點F，E的坐標(biāo) 17.如圖1，已知拋物線y=（x2）（x+a）（a0）與x軸從左至右交于A，B兩點，與y軸交于點C（1）

30、若拋物線過點T（1，），求拋物線的解析式；（2）在第二象限內(nèi)的拋物線上是否存在點D，使得以A、B、D三點為頂點的三角形與 ABC相似？若存在，求a的值；若不存在，請說明理由（3）如圖2，在（1）的條件下，點P的坐標(biāo)為（1，1），點Q（6，t）是拋物線上的點，在x軸上，從左至右有M、N兩點，且MN=2，問MN在x軸上移動到何處時，四邊形PQNM的周長最?。空堉苯訉懗龇蠗l件的點M的坐標(biāo)18.如圖，對稱軸為直線x=2的拋物線經(jīng)過A（1，0），C（0，5）兩點，與x軸另一交點為B已知M（0，1），E（a，0），F(xiàn)（a+1，0），P是第一象限內(nèi)拋物線上的動點（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)a=1時，求四邊形MEFP的面積的最大值，并求此時點P的坐標(biāo)；（3）若PCM是以點P為頂點的等腰三角形，求a為何值時，四邊形PMEF周長最?。空堈f明理由19.探究：小明在求同一坐標(biāo)軸上兩點間的距離時發(fā)現(xiàn)，對于平面直角