高中數(shù)學(xué)選修23基礎(chǔ)知識歸納排列組合概率問題

1、高中數(shù)學(xué)選修2-3基礎(chǔ)知識歸納（排列組合、概率問題）一基本原理1加法原理：做一件事有n類辦法，則完成這件事的方法數(shù)等于各類方法數(shù)相加。2乘法原理：做一件事分n步完成，則完成這件事的方法數(shù)等于各步方法數(shù)相乘。注：做一件事時，元素或位置允許重復(fù)使用，求方法數(shù)時常用基本原理求解。二排列：從n個不同元素中，任取m（mn）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為。四處理排列組合應(yīng)用題1.明確要完成的是一件什么事（審題）  有序還是無序   分步還是分類。2解排列、組合題的基本策略（1）兩種思路： &#

2、160;   直接法：     間接法：對有限制條件的問題，先從總體考慮，再把不符合條件的所有情況去掉。這是解決排列組合應(yīng)用題時一種常用的解題方法。分類處理：當(dāng)問題總體不好解決時，常分成若干類，再由分類計(jì)數(shù)原理得出結(jié)論。           注意：分類不重復(fù)不遺漏。即：每兩類的交集為空集，所有各類的并集為全集。（3）分步處理：與分類處理類似，某些問題總體不好解決時，常常分成若干步，再由分步計(jì)數(shù)原理解決。在處理排列組合問題時，常常既要分類

3、，又要分步。其原則是先分類，后分步。（4）兩種途徑：元素分析法；位置分析法。3排列應(yīng)用題：（1）窮舉法（列舉法）：將所有滿足題設(shè)條件的排列與組合逐一列舉出來；(2) 特殊元素優(yōu)先考慮、特殊位置優(yōu)先考慮；例1. 電視臺連續(xù)播放6個廣告，其中含4個不同的商業(yè)廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有          種不同的播放方式（結(jié)果用數(shù)值表示）.   解：分二步：首尾必須播放公益廣告的有種；中間4個為不同的商業(yè)廣告有種，從而應(yīng)當(dāng)填48. 從而應(yīng)填48例2.

4、 6人排成一行，甲不排在最左端，乙不排在最右端，共有多少種排法？解一：間接法：即解二：（1）分類求解：按甲排與不排在最右端分類.（3）相鄰問題：捆邦法：對于某些元素要求相鄰的排列問題，先將相鄰接的元素“捆綁”起來，看作一“大”元素與其余元素排列，然后再對相鄰元素內(nèi)部進(jìn)行排列。 （4）全不相鄰問題，插空法：某些元素不能相鄰或某些元素要在某特殊位置時可采用插空法.即先安排好沒有限制條件的元素，然后再將不相鄰接元素在已排好的元素之間及兩端的空隙之間插入。（5）順序一定，除法處理。先排后除或先定后插解法一：對于某幾個元素按一定的順序排列問題，可先把這幾個元素與其他元素一同進(jìn)行全排列，然后用總 

5、0;      的排列數(shù)除于這幾個元素的全排列數(shù)。即先全排，再除以定序元素的全排列。解法二：在總位置中選出定序元素的位置不參加排列，先對其他元素進(jìn)行排列，剩余的幾個位置放定序的元       素，若定序元素要求從左到右或從右到左排列，則只有1種排法；若不要求，則有2種排法；例.有4個男生，3個女生，高矮互不相等，現(xiàn)將他們排成一行，要求從左到右，女生從矮到高排列，有多少   種排法？分析一：先在7個位置上任取4個位置排男生，有種排法.剩余的3個位置排女生，因要求“從矮

6、到高”，       只有1種排法，故共有·1=840種.（6）“小團(tuán)體”排列問題采用先整體后局部策略 對于某些排列問題中的某些元素要求組成“小團(tuán)體”時，可先將“小團(tuán)體”看作一個元素與其余元素排      列，最后再進(jìn)行“小團(tuán)體”內(nèi)部的排列。（7）分排問題用“直排法”把元素排成幾排的問題，可歸納為一排考慮，再分段處理。（8）數(shù)字問題（組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù)）能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是偶數(shù)；不能被2整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是奇數(shù)。能被3整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3

7、的倍數(shù)；能被9整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是9的倍數(shù)。能被4整除的數(shù)的特征：末兩位是4的倍數(shù)。能被5整除的數(shù)的特征：末位數(shù)是0或5。能被25整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)是25，50，75。能被6整除的數(shù)的特征：各位數(shù)字之和是3的倍數(shù)的偶數(shù)。4.組合應(yīng)用題：（1）“至少”“至多”問題用間接排除法或分類法:1.從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同的取法共有解析1：逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同的取法共有種.解析2：至少要甲型和乙 型電視機(jī)各一臺可分兩種情況：甲型1臺乙型2臺；甲型2臺乙型1臺；故不同的取法有種.（

8、2）“含”與“不含” 用間接排除法或分類法:2從5名男生和4名女生中選出4人去參加辯論比賽（1）如果4人中男生和女生各選2人，有    種選法； （2）如果男生中的甲與女生中的乙必須在內(nèi)，有   種選法； （3）如果男生中的甲與女生中的乙至少要有 1人在內(nèi)，有 種選法； （4）如果4人中必須既有男生又有女生，有           種選法5分組問題：均勻分組：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以組數(shù)的階乘。即除法處理。非均勻分組：分步取，得組合

9、數(shù)相乘。即組合處理?；旌戏纸M：分步取，得組合數(shù)相乘，再除以均勻分組的組數(shù)的階乘。6分配問題：定額分配：（指定到具體位置）即固定位置固定人數(shù)，分步取，得組合數(shù)相乘。隨機(jī)分配：（不指定到具體位置）即不固定位置但固定人數(shù)，先分組再排列，先組合分堆后排，注意平均分堆除以均勻分組組數(shù)的階乘。7隔板法：不可分辨的球即相同元素分組問題五 二項(xiàng)式定理3.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用求二項(xiàng)展開式中的任何一項(xiàng)，特別是常數(shù)項(xiàng)：變量的指數(shù)為0、有理項(xiàng)：指數(shù)為整數(shù)；證明整除或求余數(shù)；利用賦值法證明某些組合恒等式；近似計(jì)算。4.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)：5區(qū)分（1）某一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與系數(shù)項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是不同的兩個概念，但當(dāng)二項(xiàng)式的兩

10、個項(xiàng)的系數(shù)都為1時，系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。展開式中的系數(shù)就是二項(xiàng)式系數(shù)。（2）二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)與系數(shù)最大項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是中間項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)求法：設(shè)第k+1項(xiàng)的系數(shù)最大，由不等式組求k。再求第k+1項(xiàng)值。系數(shù)的絕對值最大的項(xiàng)二項(xiàng)展開式的系數(shù)絕對值最大項(xiàng)的求法，設(shè)第r+1項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大,則此項(xiàng)系數(shù)的絕對值必不小于它左、右相鄰兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值，即由求r注意：二項(xiàng)展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)及系數(shù)最小的項(xiàng)的求法:先求系數(shù)的絕對值最大項(xiàng)第r+1項(xiàng)，然后再求第r+1項(xiàng)的符號，若這一項(xiàng)的系數(shù)符號為正，則它為展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)；若這一項(xiàng)的系數(shù)符號為負(fù)，則它為展開式中系數(shù)最小的項(xiàng)（3）二項(xiàng)展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)和與

11、各項(xiàng)系數(shù)和應(yīng)用“賦值法”可求得二項(xiàng)展開式中各項(xiàng)系數(shù)和即令式子中變量為1。注意：（1）二項(xiàng)展開式的各項(xiàng)系數(shù)絕對值的和相當(dāng)于的各項(xiàng)系數(shù)的和。即令原式中的x=-1即可。  （2）審題時要注意區(qū)分所求的是項(xiàng)還是第幾項(xiàng)？求的是系數(shù)還是二項(xiàng)式系數(shù)？六事件分類七對某一事件概率的求法：八.離散型隨機(jī)變量 1.在的射擊、產(chǎn)品檢驗(yàn)等例子中，對于隨機(jī)變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量2.離散型隨機(jī)變量的分布列一般的,設(shè)離散型隨機(jī)變量X可能取的值為X取每一個值(i=1,2,）的概率 ，則稱表為離散型隨機(jī)變量X 的概率分布，簡稱分布列性質(zhì)： &#

12、160;           一般地，離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個范圍內(nèi)各個值的概率之和。公式：期望或平均數(shù)、均值 E(X)             方差:說明（1）數(shù)學(xué)期望的一個特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平   (2)的算術(shù)平方根為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，        (3)隨機(jī)變量的方差與