求極值與最值的方法

1、求極值與最值的方法1 引言在當前的數(shù)學教育中，求初等函數(shù)的極值與最值占有比較重要的位置，由于其解法靈活，綜合性強，能力要求高，故而解決這類問題，要掌握各數(shù)學分支知識，能綜合運用各種數(shù)學技能，靈活選擇合理的解題方法。下面我們將要介紹多種求初等函數(shù)的極值和最值的方法。2 求函數(shù)極值的方法極值定義：設函數(shù)在的某鄰域內有定義，且對此鄰域內任一點，均有，則稱是函數(shù)的一個極大值；同樣如果對此鄰域內任一點，均有，則稱是函數(shù)的一個極小值。函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點，稱為極值點。2.1 求導法判別方法一：設在點連續(xù)，在點的某一空心鄰域內可導。當 x由小增大經過時，如果：(1)由正變

2、負，那么是極大值點；(2)由負變正，那么是極小值點；(3)不變號，那么不是極值點。 判別方法二：設在點處具有二階導數(shù),且,。(1)如果，則在點取得極大值；(2)如果，則在點取得極小值。判別方法三：設在點有n階導數(shù)，且，則：（1）當為偶數(shù)時，在取極值，有時，在取極大值，若時，在取極小值。（2）當為奇數(shù)時，在不取極值。求極值方法：（1）求一階導數(shù)，找出導數(shù)值為0的點（駐點），導數(shù)值不存在的點，及端點；（2）判斷上述各點是否極值點例 1 求函數(shù)的極值。解法一 ： 因為的定義域為,且,令，得駐點,；在內，在內，,為函數(shù)的極大值。解法二： 因為的定義域為， 且,。令,得駐點,。又因為,所以，為極大值。,

3、所以為極小值例 2 求函數(shù)的極值解 因為的定義域為,且在上連續(xù)，所以，當時,不存在,所以為的可能極值點在內,；在內,在處取得極大值。例3 求函數(shù)的極值。解 令，得駐點，且，但>0 所以有極小值0.2.2 利用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值“乘數(shù)法”所得到的點只是可能是極值點，到底是否是極值點要依據(jù)拉格朗日函數(shù)F的二階微分符號來判斷。例4 求函數(shù)在條件下的極值。解 先求令得駐點為又由，=故為即的極大值點，此時2.3 不等式求極值應用n個正數(shù)的算術平均數(shù)大于等于n個正數(shù)的幾何平均數(shù)這個基本不等式來處理，基本不等式是，。例5 當為何值，函數(shù)取得極值。分析：函數(shù)解析式中被開方數(shù)含自變量的兩項與倒數(shù)相聯(lián)

4、系，嘗試用算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)的關系來處理。解式子兩邊都是非負數(shù)，分別去算術平均根，得此時2.4 利用二次方程判別式的符號來求初等函數(shù)的極值例6 若，試求函數(shù)的極值。解，帶入得 即這個關于的二次方程要有實根，則要即 （2）解關于的二次不等式得：顯然，求函數(shù)的極值，相當于求或 （3） 的極值。由（2）得 （4）這個關于的二次方程要有實數(shù)根，必須即解此關于的二次不等式，得。所以的極大值是3，極小值為。2.5 利用標準量代換法求函數(shù)極值求某些有多個變量的條件極值時，我們可以選取某個與這些變量有關的量做標準量，稱其余為比較量，然后將比較量用標準量與另外選取的輔助量表示出來，這樣就將其變?yōu)檠芯繕藴柿颗c

5、輔助量間的關系了。如果給定條件是幾個變量之和的形式，一般設這幾個量的算術平均數(shù)為標準量。例7 設，求的極小值。解 取為標準量，令，則（、為任意實數(shù)），從而有（等號當且僅當=即時成立）。所以的極小值為。2.6 配方法對于解析式中主體部分為二次三項式的函數(shù)，一般都可以用此方法，中學大部分求極值的問題都是采用這用方法。例8 求函數(shù)的極值。分析：不難看出函數(shù)的解析式中分母是以為主元的二次三項式，則可以用配方法來解決這道題。解 令，則，取極大值的條件是取最小值，取極小值的條件是取最大值；取最大值 則的極小值為； 則的極大值為。2.7 柯西不等式求初等函數(shù)的極值柯西不等式的一般形式為：對任意的實數(shù)及有或，

6、其中等號當且僅當時成立。例9 已知為正常數(shù)，且,求的極小值。解 利用柯西不等式，得等號成立的當且僅當時；即 時，于是再由柯西不等式，等號成立也是當且僅當時。 從而， 于是的極小值是。3 求初等函數(shù)最值的方法3.1 判別式法 若函數(shù)可化成一個系數(shù)含有的關于的二次方程:。在時,由于為實數(shù),則有,由此可以求出所在的范圍,確定函數(shù)的最值。例10 實數(shù)滿足,設,則的值為_。 解 由題意知, ,故又是方程的兩個實根.解得，即3.2 函數(shù)的單調性法 當自變量的取值范圍為一區(qū)間時，常用單調性法來求函數(shù)的最值。若函數(shù)在整個區(qū)間上是單調的,則該函數(shù)在區(qū)間端點上取到最大值或最小值。若函數(shù)在整個區(qū)間上不是單調的 ，則

7、把該區(qū)間分成各個小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個區(qū)間上是單調的，再求出各個小區(qū)間上的最值，從而可以得到整個區(qū)間上的最值。例11 求函數(shù)的最小值和最大值。解 先求定義域，由 得 又 ，故當，且增加時，增大，而減小.于是是隨著的增大而減小，即在區(qū)間上是減函數(shù)，所以 , 3.3 均值不等式法 均值不等式:設是個正數(shù),則有,其中等號成立的條件是。運用均值不等式求最值,必須具備三個必要條件,即一正二定三等,缺一不可?！罢笔侵父黜椌鶠檎龜?shù),這是前提條件；“定”是指各項的和或積為定值；“等”是等號成立的條件。 例12 設，,記中最大數(shù)為M,則M的最小值為多少？解 由已知條件得 設中的最小數(shù)為,則M= 由已知條件知

8、, ,于是所以, ,且當時, ,故的最小值為,從而M的最小值為注:在用均值不等式求函數(shù)的最值時,往往需要配合一定的變形技巧,才可以把問題轉化成求不等式的問題。3.4 換元法用換元法求函數(shù)最值,就是根據(jù)函數(shù)表達式的特點,把某一部分看作一個整體或用一個新變元來代替,達到化繁難為簡易,化陌生為熟悉,從而使原問題得解。換元法通常有三角代換和代數(shù)代換兩種。例13 正數(shù)滿足，其中為不相等的正常數(shù)，求的最小值。解 令則 當且僅當，即時上式取等號.故3.5 幾何法 某些二元函數(shù)最值問題具有圖形背景,這時我們可以將所給函數(shù)表達式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達式,再利用幾何圖形,對函數(shù)最值作出直觀的說明和解釋。根

9、據(jù)函數(shù)所表示的幾何意義,我們可以將函數(shù)分為以下幾種:3.5.1 可視為直線斜率的函數(shù)的最值例14 求函數(shù)的最小值。解 令,則且，于是問題轉化為:當點在上半個單位圓上運動時,求與的連線的斜率的最值(如圖).顯然,當點與點重合時,直線的斜率最小,此時.當直線與上半個單位圓相切時,直線的斜率最大. 設,則直線的方程為直線與上半個單位圓相切 解得 (舍去)或綜上可得,直線的斜率的最值為: ， ， 3.5.2 可視為距離的函數(shù)的最值例15 函數(shù)的最大值是_。解 將函數(shù)式變形,得 可知函數(shù)的幾何意義是：在拋物線上的點分別到點和點的距離之差,現(xiàn)求其最大值.由知，當在的延長線上處時，取得最大值3.5.3 可視

10、為曲線截距的函數(shù)的最值例16 求函數(shù)的最大值。解 令,則,且.則問題轉化為:當點在單位圓上運動時,求雙曲線族 (視為常數(shù))在軸上的截距的最大值.當時,由方程得 , 由此可知:當時, ;當時, 此雙曲線族有公共的漸進線和,有公共的中心由此不難得出,當雙曲線族與單位圓切于點 時,縱截距取得極大值 ，而,故所求縱截距的極大值就是最大值.因此,所求函數(shù)的最大值為3.6 構造方差法設個數(shù)據(jù)的平均數(shù)為,則其方差為顯然（當且僅當時取等號）。應用這一公式，可簡捷、巧妙地解決一些試題的最值問題。這種方法適用的范圍很廣，可以用來求函數(shù)的最值，也可以用來求某一字母的最值以及求某一代數(shù)式的最值。例17 確定最大的實數(shù)

11、，使得實數(shù)滿足： , 解 由已知得 , , 的方差 解得 .故的最大值為 解法二：不妨設，則由已知,即 得 又的方差是即,由此判定,解得,即,亦即.故的最大值為3.7 復數(shù)法 用復數(shù)的方法解函數(shù)的最值,就是運用復數(shù)的模以及絕對不等式的性質來解題。 復數(shù)的模的不等式 ： 例18 求函數(shù)的最小值。解 令則 其中,當且僅當時,上述不等式取等號.由兩個復數(shù)相等的條件可求得, 當時,函數(shù) 3.8 導數(shù)法 設函數(shù)在上連續(xù)，在上可導，則在上的最大值和最小值為在內的各極值與，中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數(shù)的最值,以及利用其他方法很難求的函數(shù)似的最值,通常都用該方法。導數(shù)法往往就是最簡便的方法,應該引起足夠重視。例19 求函數(shù),的最大值和最小值。解