概率與概率分布單元基礎(chǔ)知識(shí)總結(jié)

1、第六章 概率與概率分布*【學(xué)習(xí)目的與要求】通過本章學(xué)習(xí)，要求了解在深刻理解隨機(jī)事件、隨機(jī)變量和概率分布等概念的基礎(chǔ)上，熟練掌握幾種常用隨機(jī)變量性質(zhì)、特點(diǎn)及其概率分布規(guī)律，尤其是正態(tài)分布的性質(zhì)及應(yīng)用；明確大數(shù)定理和中心極限定理的意義?！緦W(xué)習(xí)重點(diǎn)和難點(diǎn)】概率的定義幾種常用的概率分布及應(yīng)用大數(shù)定律和中心極限定理的意義概率的基本運(yùn)算和概率分布及應(yīng)用【課堂講授內(nèi)容】概率分布是統(tǒng)計(jì)推斷的基礎(chǔ)。概率分布與統(tǒng)計(jì)推斷之間的聯(lián)系紐帶是抽樣分布。當(dāng)我們掌握了概率分布及大數(shù)定理和中心極限定理之后，就能理解某個(gè)樣本的抽取是隨機(jī)的，作為其反映數(shù)量特征的樣本指標(biāo)就是隨機(jī)變量，而隨機(jī)變量的概率分布是理解抽樣分布的關(guān)鍵。第一節(jié)

2、 隨機(jī)變量及其概率分布一、隨機(jī)變量的概念所謂隨機(jī)變量，就是隨機(jī)試驗(yàn)的定量描述。如果一個(gè)變量在隨機(jī)試驗(yàn)中可以取得不同的數(shù)值，這些數(shù)值在試驗(yàn)前無法確定，而對(duì)于一次具體的試驗(yàn)它的取值又是確定的，則稱這樣的變量為隨機(jī)變量。 隨機(jī)變量用大寫字母X、Y、Z等表示，其具體取值常用小寫字母x、y、z來表示。隨機(jī)變量具有兩個(gè)特點(diǎn)：一是取值的隨機(jī)性，即事先不能確定取哪個(gè)值；二是取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性，即隨機(jī)變量取值的可能性大小(概率)是完全可以確定的。隨機(jī)變量按其取值情況可以分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量?jī)深?。如果一個(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值都可以逐個(gè)列舉出來，則稱這樣的隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量。如果一個(gè)隨機(jī)變量的可能

3、取值不能一一列出，而是取某一區(qū)間的全部數(shù)值，則稱這樣的變量為連續(xù)隨機(jī)變量。二、隨機(jī)變量的概率分布隨機(jī)變量X的所有可能取值與其對(duì)應(yīng)的概率P（X）構(gòu)成的概率分布規(guī)律，叫做隨機(jī)變量的概率分布。（一）離散型隨機(jī)變量的概率分布分布列設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為 取這些值的概率分別為：，則稱 （k=1，2，3，）為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布列。用表格直觀表示如下：XP由概率的性質(zhì)可知，任一分布都必須滿足以下兩個(gè)條件：（1）01 k=1，2，3， （2）對(duì)于離散隨機(jī)變量X，稱為X的分布函數(shù)。（二）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布由于連續(xù)型隨機(jī)變量的取值是某個(gè)區(qū)間，無法一一列舉，因此不能用分布列來描述這類隨機(jī)

4、變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。通常我們用數(shù)學(xué)函數(shù)的形式或分布函數(shù)的形式來描述。若函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：（1）（2），則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)。稱為連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。 易見，分布函數(shù)具有下列性質(zhì)：， 為非降函數(shù)，即若，則第二節(jié) 隨機(jī)變量的數(shù)字特征之所以稱期望，是因?yàn)閷?duì)未來的不確定的數(shù)求平均數(shù)。一、隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望或均值，是反映隨機(jī)變量集中趨勢(shì)的一種重要統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，一般用E（X）或來表示，其又分為：離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望： （當(dāng)X的取值有限時(shí)） （當(dāng)X的取值無限時(shí)）注意：實(shí)際上就是X的各個(gè)可能取值以其概率為權(quán)數(shù)的加權(quán)算術(shù)平均值。連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望：數(shù)學(xué)期望

5、反映了隨機(jī)變量X可能取值的平均水平，是刻畫隨機(jī)變量性質(zhì)的一個(gè)重要特征。數(shù)學(xué)期望具有如下重要性質(zhì)：（1）設(shè)C是常數(shù)，則E（C）=C；（2）設(shè)C是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則E（CX）=CE（X）；（3）設(shè)為n個(gè)隨機(jī)變量，則有（4）設(shè)X和Y為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則E（XY）=E（X）E（Y）二、隨機(jī)變量的方差隨機(jī)變量的方差是用來反映隨機(jī)變量取值的離散程度的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，它是每一個(gè)隨機(jī)變量取值與其期望值的離差平方的期望值。一般用D（X）或2表示，方差的平方根叫標(biāo)準(zhǔn)差，一般用表示。其計(jì)算公式為：D（X）=EXE（X） 2可簡(jiǎn)化為：D（X）=E（X2）E（X） 2離散型隨機(jī)變量：連續(xù)型隨機(jī)變量：方差和標(biāo)準(zhǔn)差反

6、映了隨機(jī)變量X的可能取值在其均值周圍的分散程度。方差具有以下幾個(gè)重要性質(zhì)：（1）設(shè)C為常數(shù)，則D（C）=0（2）設(shè)C是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則D（CX）=C2D（X）；（3）設(shè)為n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有第三節(jié) 幾種重要的離散型概率分布一、二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布是最重要的概率分布之一，它是從著名的貝努里試驗(yàn)中推導(dǎo)出來的。所謂貝努里試驗(yàn)，是指只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。如果貝努里試驗(yàn)在相同條件下重復(fù)n次，并且各次的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相互獨(dú)立，則這樣的系列試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)。在每個(gè)特定的n重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)成功的概率為p（p值不變），失敗的概率為q=1p，則成功次數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它的可能取值

7、是0，1，2，n。可以求出隨機(jī)變量X的分布列為： k=1，2，3，n。這種概率分布便稱為二項(xiàng)分布。這里是在n次試驗(yàn)中成功次數(shù)的組合數(shù)，其計(jì)算公式為：二項(xiàng)分布列中的是對(duì)應(yīng)于k值的每一種組合出現(xiàn)的概率。當(dāng)一個(gè)隨機(jī)變量X的分布為二項(xiàng)分布時(shí)，就稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作Xb（n，p）。二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 根據(jù)二項(xiàng)分布，不僅可以知道隨機(jī)變量概率分布的全貌，而且還可以推算出隨機(jī)變量在某一區(qū)間取值的概率：（1）事件A至多出現(xiàn)m次的概率為：（2）事件A至少出現(xiàn)m次的概率為：（3）事件A出現(xiàn)的次數(shù)不小于h不大于m的概率為：（4）事件A恰好出現(xiàn)m次的概率為：二、兩點(diǎn)分布在一次貝努里試驗(yàn)中，成

8、功的次數(shù)X是只可能取0和1兩個(gè)值的離散隨機(jī)變量，它的分布列為P（X=1）=p ，P（X=0）=q這種概率分布稱為兩點(diǎn)分布。注意：兩點(diǎn)分布實(shí)際上是二項(xiàng)分布的一個(gè)特例，即b（1，p），它的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 二項(xiàng)分布在抽樣推斷中，成數(shù)及其方差的計(jì)算依據(jù)。三、泊松分布若隨機(jī)變量X具有如下分布列： k=1，2，3， （其中0，e=2.7183是個(gè)常數(shù)）則稱X服從參數(shù)為泊松分布。泊松分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 在=np恒定的情況下，當(dāng)n趨于無窮，同時(shí)p趨向于0時(shí)，二項(xiàng)分布趨向于泊松分布。這個(gè)結(jié)論表明，當(dāng)n很大，p很小時(shí)，有如下的近似公式： 其中=np，通常當(dāng)n20，p0.05時(shí)，就可采用該

9、近似公式。四、超幾何分布設(shè)一批產(chǎn)品共N件，其中有M件不合格，從中任意取出n件，其中不合格品數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量，它的可能取值是0，1，2，min（n，N），可以導(dǎo)出X的分布列為： k=1，2，3，min（n，N）這種概率分布稱為超幾何分布。超幾何分布的數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 和 其中為產(chǎn)品的不合格率。當(dāng)N很大，n相對(duì)較小時(shí)，超幾何分布近似于二項(xiàng)分布。即用二項(xiàng)分布來近似計(jì)算超幾何分布的各項(xiàng)概率，可以簡(jiǎn)化計(jì)算。第四節(jié) 幾種重要的連續(xù)型概率分布 一、正態(tài)分布如果連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為：，-x+則稱X服從參數(shù)為，的正態(tài)分布，記作XN（，），其中為隨機(jī)變量的均值，為隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差。根據(jù)概率密度函數(shù)的

10、定義，可以求得隨機(jī)變量X的正態(tài)分布函數(shù)為： -x+特別當(dāng)=0，=1時(shí)，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N（0，1）。此時(shí)X的密度函數(shù)記為：，x+ 分布函數(shù)記為：，x+正態(tài)分布的概率密度函數(shù)曲線的特點(diǎn)（1），即整個(gè)密度曲線都在軸的上方；（2）曲線的圖形是一個(gè)單峰鐘型曲線，它相對(duì)于直線對(duì)稱。（3）曲線在處達(dá)到最高點(diǎn)，往正負(fù)兩個(gè)方向下降，無限逼近軸。這條曲線與軸之間的面積等于1。而且，曲線下在與之間的面積為0.6826，在與之間的面積為0.9545，在與之間的面積為0.9973。（4）曲線的陡緩程度完全由決定，越大，曲線越平緩，越小，曲線越陡峭；正態(tài)分布的數(shù)學(xué)性質(zhì)（1）若X服從正態(tài)分布，則對(duì)任意常

11、數(shù)a（a0），b，Z=a+bX也服從正態(tài)分布；（2）若X、Y皆服從正態(tài)分布，且相互獨(dú)立，則對(duì)任意的常數(shù)a、b（a、b不全為0），則Z=aX+bY也服從正態(tài)分布。根據(jù)正態(tài)分布的數(shù)學(xué)性質(zhì)，任何一個(gè)一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。設(shè)XN（，2 ），則Z=（X）/N（0，1）將一般正態(tài)分布轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，通過查表，就可以解決正態(tài)分布的概率計(jì)算問題。一般地，設(shè)XN（， 2 ），ab則有：二項(xiàng)分布的正態(tài)近似：二項(xiàng)分布B（n，p），當(dāng)n很大，p和q都不太小時(shí)，不能用泊松分布近似計(jì)算。理論研究表明，當(dāng)n很大，而0p1是一個(gè)定值時(shí)，二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布N（np，npq）

12、。二、分布設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，· · · ，Xn皆服從N（0，1）分布，且相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量X=Xi2 所服從的分布稱為分布。其數(shù)學(xué)期望和方差分別為： 分布可用于方差估計(jì)和檢驗(yàn)，以及非參數(shù)統(tǒng)計(jì)中擬合優(yōu)度檢驗(yàn)和獨(dú)立性檢驗(yàn)等。三、t分布設(shè)隨機(jī)變量XN（0，1），Y，且X和Y相互獨(dú)立，則隨機(jī)變量的分布稱為自由度為n的t分布。其數(shù)學(xué)期望和方差分別為： t分布可用于總體方差未知時(shí)正態(tài)總體均值的估計(jì)和檢驗(yàn)，以及線性回歸模型中回歸系數(shù)的顯著性檢驗(yàn)等。第五節(jié) 大數(shù)定律與中心極限定理一、大數(shù)定律大數(shù)定律是指在隨機(jī)試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)的結(jié)果不同，但是大量重復(fù)試驗(yàn)出現(xiàn)結(jié)果的平均值卻幾乎

13、總是接近于某個(gè)確定的值的一系列定律的總稱。大數(shù)定律也稱大數(shù)法則。其中最著名的是切貝雪夫大數(shù)定律和貝努里大數(shù)定律。（一）切貝雪夫大數(shù)定律設(shè)隨機(jī)變量X1，X2，相互獨(dú)立，且服從同一分布，它們的數(shù)學(xué)期望E（Xk）=，方差D（Xk）=2（k=1，2，），則對(duì)任意正數(shù)，有：由該定律可知，對(duì)于同一隨機(jī)變量X進(jìn)行n次獨(dú)立觀察，則所有觀察值的平均數(shù)依概率收斂于隨機(jī)變量的期望值。該定律用于抽樣推斷有如下結(jié)論：隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本平均數(shù)將有接近總體平均數(shù)的趨勢(shì)。大數(shù)定律為抽樣推斷中依據(jù)樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)提供了理論基礎(chǔ)，它是我們通過偶然現(xiàn)象，揭示必然性、規(guī)律性的工具。（二）貝努里大數(shù)定律設(shè)n次獨(dú)立試驗(yàn)中

14、，事件A發(fā)生的次數(shù)為m，事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為P，則對(duì)于任意的正數(shù)，有：即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)足夠多時(shí)，“事件A發(fā)生的頻率與事件A的概率之差，就其絕對(duì)值來說，可以充分小”的概率趨于1；也就是說，當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與概率有較大偏差的可能性很小。將該定律用于抽樣推斷有如下結(jié)論：隨著樣本單位數(shù)的增加，樣本成數(shù)（比率）將有接近總體成數(shù)（比率）的趨勢(shì)。這為抽樣推斷中依據(jù)樣本比率估計(jì)總體比率平均數(shù)提供了理論基礎(chǔ)。二、中心極限定理中心極限定理是指在一定條件下，大量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的分布是以正態(tài)分布為極限的一系列定理的總稱。中心極限定理確定了樣本推斷總體的可能性；確定了樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之

15、差的可能范圍；確定了樣本標(biāo)準(zhǔn)差替代總體標(biāo)準(zhǔn)差的可能性。最常用的中心極限定理有：（一）辛欽中心極限定理如果隨機(jī)變量X1，X2，Xn相互獨(dú)立，且服從同一分布，且有有限的數(shù)學(xué)期望和方差 2，則隨機(jī)變量X=Xk/n，在n無限大時(shí)，服從參數(shù)為和2/n 的正態(tài)分布，即n趨于無窮大時(shí)，XN（，2/n）將該定理用于抽樣推斷有如下結(jié)論：不管總體是什么分布，只要其均值和方差存在，當(dāng)樣本單位數(shù)足夠大（一般要大于30個(gè)）時(shí)，樣本平均數(shù)的分布就趨于數(shù)學(xué)期望為，方差為2/n的正態(tài)分布。（二）德棣莫佛拉普拉斯中心極限定理設(shè)n是n次獨(dú)立試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，且事件A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，則當(dāng)n無限大時(shí)，頻率 n/n的

16、分布就趨于數(shù)學(xué)期望為p，方差為pq/n的正態(tài)分布。將該定理用于抽樣推斷有如下結(jié)論：不管總體是什么分布，只要樣本單位數(shù)n足夠大（一般要大于30個(gè)），那么樣本的頻率（成數(shù)）分布就趨于數(shù)學(xué)期望為p，方差為pq/n的正態(tài)分布?！局R(shí)要點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)圖】隨機(jī)變量分布列分布函數(shù)期望方差連續(xù)離散概率分布二項(xiàng)分布二點(diǎn)分布泊松分布超幾何分布正態(tài)分布分布分布逼近大數(shù)定律中心極限定理【隨堂練習(xí)】1一張考卷中有15道單項(xiàng)選擇題，每題4個(gè)備選答案，只有1個(gè)正確答案。試求：答對(duì)5至10題的概率；至少答對(duì)9題的概率；答對(duì)的期望值。2某車間為保證設(shè)備正常工作，要配備適量的維修工。設(shè)各臺(tái)設(shè)備發(fā)生的故障是相互獨(dú)立的，且每臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障的概率都是0.01。試