柱體錐體臺(tái)體的表面積與體積

1、 柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積教學(xué)目標(biāo) 1.了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式（不要求記憶），提高學(xué)生的空間想象能力和幾何直觀能力，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，增加學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.2.掌握簡(jiǎn)單幾何體的體積與表面積的求法，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化、化歸以及類比的能力.重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積和體積計(jì)算公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)：表面積和體積計(jì)算公式的應(yīng)用.教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1.在過(guò)去的學(xué)習(xí)中，我們已經(jīng)接觸過(guò)一些幾何體的面積和體積的求法及公式，哪些幾何體可以求出表面積和體積？（引導(dǎo)學(xué)生回憶，互相交流，教師歸類）幾何體的表面積等于它的展開(kāi)圖的面積，那么，柱體、錐體、

2、臺(tái)體的側(cè)面展開(kāi)圖是怎樣的？你能否計(jì)算？思路2.被譽(yù)為世界七大奇跡之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲爾鐵塔落成前的四千多年的漫長(zhǎng)歲月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生產(chǎn)工具很落后的中古時(shí)代，埃及人是怎樣采集、搬運(yùn)數(shù)量如此之多，每塊又如此之重的巨石壘成如此宏偉的大金字塔，真是一個(gè)十分難解的謎.胡夫大金字塔是一個(gè)正四棱錐外形的建筑，塔底邊長(zhǎng)230米，塔高146.5米，你能計(jì)算建此金字塔用了多少石塊嗎？提出問(wèn)題 在初中，我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了正方體和長(zhǎng)方體的表面積，以及它們的展開(kāi)圖（圖1），你知道上述幾何體的展開(kāi)圖與其表面積的關(guān)系嗎？ 正方體及其展開(kāi)圖(1) 長(zhǎng)方體及其展開(kāi)圖(2)

3、圖1棱柱、棱錐、棱臺(tái)也是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，它們的展開(kāi)圖是什么？如何計(jì)算它們的表面積？如何根據(jù)圓柱、圓錐的幾何結(jié)構(gòu)特征，求它們的表面積？聯(lián)系圓柱、圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖，你能想象圓臺(tái)側(cè)面展開(kāi)圖的形狀，并且畫(huà)出它嗎？如果圓臺(tái)的上、下底面半徑分別是r,r，母線長(zhǎng)為l，你能計(jì)算出它的表面積嗎？圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積之間有什么關(guān)系？活動(dòng)：學(xué)生討論和回顧長(zhǎng)方體和正方體的表面積公式.學(xué)生思考幾何體的表面積的含義，教師提示就是求各個(gè)面的面積的和.讓學(xué)生思考圓柱和圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀.學(xué)生思考圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖的形狀.提示學(xué)生用動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)看待這個(gè)問(wèn)題.討論結(jié)果：正方體、長(zhǎng)方體是由多個(gè)平面圖形圍成的幾何體，

4、它們的表面積就是各個(gè)面的面積的和.因此，我們可以把它們展成平面圖形，利用平面圖形求面積的方法，求立體圖形的表面積.棱柱的側(cè)面展開(kāi)圖是平行四邊形，其表面積等于圍成棱柱的各個(gè)面的面積的和；棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖是由多個(gè)三角形拼接成的，其表面積等于圍成棱錐的各個(gè)面的面積的和；棱臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是由多個(gè)梯形拼接成的，其表面積等于圍成棱臺(tái)的各個(gè)面的面積的和.它們的表面積等于側(cè)面積與底面積的和，利用它們的側(cè)面展開(kāi)圖來(lái)求得它們的側(cè)面積，由于底面是圓面，其底面積直接應(yīng)用圓的面積公式即得.其中，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是矩形，圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形. 我們知道，圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形（圖2）.如果圓柱的底面半徑為r,母線長(zhǎng)

5、為l，那么圓柱的底面面積為r2,側(cè)面面積為2rl.因此，圓柱的表面積S=2r2+2rl=2r(r+l). 圖2 圖3 圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形（圖3）.如果圓錐的底面半徑為r,母線長(zhǎng)為l，那么它的表面積S=r2+rl=r(r+l).點(diǎn)評(píng)：將空間圖形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面圖形問(wèn)題，是解決立體幾何問(wèn)題基本的、常用的方法.圓臺(tái)的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇環(huán)（圖4），它的表面積等于上、下兩個(gè)底面的面積和加上側(cè)面的面積，即S=(r2+r2+rl+rl).圖4圓柱、圓錐、圓臺(tái)側(cè)面積的關(guān)系： 圓柱和圓錐都可以看作是圓臺(tái)退化而成的幾何體.圓柱可以看作是上下底面全等的圓臺(tái)，圓錐可看作是上底面退化成一點(diǎn)的圓臺(tái)，觀察它們的側(cè)面積

6、，不難發(fā)現(xiàn)：S圓柱表=2r(r+l)S圓臺(tái)表=(r1l+r2l+r12+r22)S圓錐表=r(r+l).從上面可以很清楚地看出圓柱和圓錐的側(cè)面積公式都可以看作由圓臺(tái)側(cè)面積公式演變而來(lái).提出問(wèn)題 回顧長(zhǎng)方體、正方體和圓柱的體積公式，你能將它們統(tǒng)一成一種形式嗎？并依次類比出柱體的體積公式？ 比較柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式：V柱體=Sh(S為底面積，h為柱體的高)； V錐體=(S為底面積，h為錐體的高)；V臺(tái)體=h(S,S分別為上、下底面積，h為臺(tái)體的高).你能發(fā)現(xiàn)三者之間的關(guān)系嗎？柱體、錐體是否可以看作“特殊”的臺(tái)體？其體積公式是否可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式？活動(dòng)：讓學(xué)生思考和討論交流長(zhǎng)方

7、體、正方體和圓柱的體積公式.讓學(xué)生類比圓柱、圓錐和圓臺(tái)的表面積的關(guān)系？討論結(jié)果：棱長(zhǎng)為a的正方體的體積V=a3=a2a=Sh；長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬和高分別為a,b,c，其體積為V=abc=(ab)c=Sh；底面半徑為r高為h的圓柱的體積是V=r2h=Sh，可以類比，一般的柱體的體積也是V=Sh，其中S是底面面積，h為柱體的高.圓錐的體積公式是V=(S為底面面積，h為高)，它是同底等高的圓柱的體積的.棱錐的體積也是同底等高的棱柱體積的,即棱錐的體積V= (S為底面面積，h為高).由此可見(jiàn)，棱柱與圓柱的體積公式類似，都是底面面積乘高；棱錐與圓錐的體積公式類似，都是底面面積乘高的. 由于圓臺(tái)（棱臺(tái)）是由圓

8、錐（棱錐）截成的，因此可以利用兩個(gè)錐體的體積差，得到圓臺(tái)（棱臺(tái)）的體積公式V=(S+S)h,其中S，S分別為上、下底面面積，h為圓臺(tái)（棱臺(tái)）高.注意：不要求推導(dǎo)公式，也不要求記憶.柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體.因此柱體、錐體可以看作“特殊”的臺(tái)體.當(dāng)S=0時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)殄F體的體積公式;當(dāng)S=S時(shí)，臺(tái)體的體積公式變?yōu)橹w的體積公式，因此，柱體、錐體的體積公式可以看作臺(tái)體體積公式的“特殊”形式. 柱體和錐體可以看作由臺(tái)體變化得到，柱體可以看作是上、下底面相同的臺(tái)體，錐體可以看作是有一個(gè)底面是一個(gè)點(diǎn)的臺(tái)體，因此很容易得出它們之間的體積關(guān)系,如圖5

9、：圖5思路1例1 已知棱長(zhǎng)為a，各面均為等邊三角形的四面體SABC（圖6），求它的表面積.圖6活動(dòng)：回顧幾何體的表面積含義和求法.分析：由于四面體SABC的四個(gè)面是全等的等邊三角形，所以四面體的表面積等于其中任何一個(gè)面面積的4倍.解：先求SBC的面積，過(guò)點(diǎn)S作SDBC，交BC于點(diǎn)D.因?yàn)锽C=a,SD=,所以SSBC=BCSD=.因此，四面體SABC的表面積S=4.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查多面體的表面積的求法.例2 如圖7，一個(gè)圓臺(tái)形花盆盆口直徑為20 cm，盆底直徑為15 cm，底部滲水圓孔直徑為1.5 cm，盆壁長(zhǎng)為15 cm.為了美化花盆的外觀，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂10

10、0個(gè)這樣的花盆需要多少毫升油漆？（取3.14，結(jié)果精確到1毫升，可用計(jì)算器）圖7活動(dòng)：學(xué)生思考和討論如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.只要求出每個(gè)花盆外壁的表面積，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面積等于花盆的側(cè)面積加上底面積，再減去底面圓孔的面積.解：如圖7，由圓臺(tái)的表面積公式得一個(gè)花盆外壁的表面積S=-()21 000(cm2)=0.1(m2).涂100個(gè)這樣的花盆需油漆：0.1100100=1 000（毫升）.答：涂100個(gè)這樣的花盆需要1 000毫升油漆.點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的表面積公式及其應(yīng)用.例3 有一堆規(guī)格相同的鐵制（鐵的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（圖8）共重5.8 kg,已知

11、底面是正六邊形，邊長(zhǎng)為12 mm,內(nèi)孔直徑為10 mm,高為10 mm，問(wèn)這堆螺帽大約有多少個(gè)?（取3.14）圖8活動(dòng)：讓學(xué)生討論和交流如何轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.六角帽表示的幾何體是一個(gè)組合體，在一個(gè)六棱柱中間挖去一個(gè)圓柱，因此它的體積等于六棱柱的體積減去圓柱的體積.解：六角螺帽的體積是六棱柱體積與圓柱體積的差，即V=122610-3.14()2102 956(mm3)=2.956(cm3).所以螺帽的個(gè)數(shù)為5.81 000(7.82.956)252(個(gè)).答：這堆螺帽大約有252個(gè).點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的體積公式及其應(yīng)用.思路2例1 （2007山東煙臺(tái)高三期末統(tǒng)考，理8）如圖11所示，一個(gè)空間

12、幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖為全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角邊長(zhǎng)為1，那么這個(gè)幾何體的體積為（ ）圖11A.1 B. C. D.活動(dòng)：讓學(xué)生將三視圖還原為實(shí)物圖，討論和交流該幾何體的結(jié)構(gòu)特征.分析：根據(jù)三視圖，可知該幾何體是三棱錐，圖12所示為該三棱錐的直觀圖，并且側(cè)棱PAAB，PAAC，ABAC.則該三棱錐的高是PA，底面三角形是直角三角形，所以這個(gè)幾何體的體積為V=.圖12答案：D點(diǎn)評(píng)：本題主要考查幾何體的三視圖和體積.給出幾何體的三視圖，求該幾何體的體積或面積時(shí)，首先根據(jù)三視圖確定該幾何體的結(jié)構(gòu)特征，再利用公式求得.此類題目成為新課標(biāo)高考的熱點(diǎn)，應(yīng)引起重視.例2 圖17所示的幾何體是一棱長(zhǎng)為4 cm的正方體，若在它的各個(gè)面的中心位置上，各打一個(gè)直徑為2 cm、深為1 cm的圓柱形的孔，求打孔后幾何體的表面積是多少?（取3.14）圖17活動(dòng)：因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方體沒(méi)有被打透.這樣一來(lái)打孔后所得幾何體的表面積，等于原來(lái)正方體的表面積，再加上六個(gè)完全一樣的圓柱的側(cè)面積，這六個(gè)圓柱的高為1 cm，底面圓的半徑為1 cm.解：正方體的表面積為166=96（cm2），一個(gè)圓柱的側(cè)面積為211=6.28（cm2），則打孔后幾何體的表面積為966.286=133.68（cm2）.答：幾何體的表面積為133.68 cm2.點(diǎn)評(píng)：本題主