極坐標與參數(shù)方程知識點總結大全學生版

1、坐標系與參數(shù)方程知識點總結大全一、平面直角坐標系中的坐標伸縮變換設點是平面直角坐標系中的任意一點,在變換： 的作用下,點對應到點 ,稱為平面直角坐標系中的 ,簡稱 .二、極坐標系的概念(1)極坐標系的建立如圖所示,在平面內(nèi)取一個定點,叫做 ,自 引一條射線,叫做 ;再選定一個 單位,一個 單位(通常取弧度)及其正方向(通常取 時針方向),這樣就建立了一個極坐標系.注:極坐標系以角這一平面圖形為幾何背景,而平面直角坐標系以互相垂直的兩條數(shù)軸為幾何背景;平面直角坐標系內(nèi)的點與坐標能建立一一對應的關系,而極坐標系則不可.但極坐標系和平面直角坐標系都是平面坐標系.(2)極坐標設是平面內(nèi)一點,極點與點的

2、距離叫做點的 ,記為;以 為始邊, 為終邊的角叫做點的 ,記為.有序數(shù)對叫做點的 ,記作.一般地,不作特殊說明時,我們認為可取任意實數(shù).特別地,當點在 時,它的極坐標為.和直角坐標不同,平面內(nèi)一個點的極坐標有無數(shù)種表示.如果規(guī)定 ,那么除 外,平面內(nèi)的點可用唯一的極坐標表示;同時,極坐標表示的點也是唯一確定的.3.極坐標和直角坐標的互化(1)互化背景:把直角坐標系的原點作為極點,軸的正半軸作為極軸,并在兩種坐標系中取相同的長度單位,如圖所示:(2)互化公式:設是坐標平面內(nèi)任意一點,它的直角坐標是,極坐標是(),于是極坐標與直角坐標的互化公式如表:點直角坐標極坐標互化公式在一般情況下,由確定角時

3、,可根據(jù)點所在的象限最小正角.4.常見曲線的極坐標方程曲線圖形極坐標方程圓心在極點,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 圓心為,半徑為的圓 過極點,傾斜角為的直線(1) (2) 過點,與極軸垂直的直線 過點,與極軸平行的直線 注:由于平面上點的極坐標的表示形式不唯一,即都表示同一點的坐標,這與點的直角坐標的唯一性明顯不同.所以對于曲線上的點的極坐標的多種表示形式,只要求至少有一個能滿足極坐標方程即可.例如對于極坐標方程點可以表示為等多種形式,其中,只有的極坐標滿足方程.三、參數(shù)方程1.參數(shù)方程的概念 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標都是某個變數(shù)的函數(shù),并且對于的每一個允許值,由

4、方程組 所確定的點都在這條曲線上,那么方程就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)的變數(shù)叫做 ,簡稱 ,相對于參數(shù)方程而言,直接給出點的坐標間關系的方程叫做 .2.參數(shù)方程和普通方程的互化(1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式,一般地可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.(2)如果知道變數(shù)中的一個與參數(shù)的關系,例如,把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系,那么就是曲線的參數(shù)方程,在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使的取值范圍保持一致.注：普通方程化為參數(shù)方程，參數(shù)方程的形式不一定唯一。應用參數(shù)方程解軌跡問題，關鍵在于適當?shù)卦O參數(shù)，如果選用的參數(shù)不同，那么所求得的曲線的參數(shù)方程的

5、形式也不同。3圓的參數(shù)如圖所示，設圓的半徑為，點從初始位置出發(fā)，按逆時針方向在圓上作勻速圓周運動，設，則 .這就是圓心在原點，半徑為的圓的參數(shù)方程，其中的幾何意義是 轉(zhuǎn)過的角度.圓心為，半徑為的圓的普通方程是，它的參數(shù)方程為： 4橢圓的參數(shù)方程以坐標原點為中心，焦點在軸上的橢圓的標準方程為其參數(shù)方程為 ，其中參數(shù)稱為 ；焦點在軸上的橢圓的標準方程是其參數(shù)方程為 ，其中參數(shù)仍為 ，通常規(guī)定參數(shù)的范圍為 注：橢圓的參數(shù)方程中，參數(shù)的幾何意義為橢圓上任一點的 ，要把它和這一點的旋轉(zhuǎn)角區(qū)分開來，除了在四個頂點處，離心角和旋轉(zhuǎn)角數(shù)值可相等外（即在到的范圍內(nèi)），在其他任何一點，兩個角的數(shù)值都不相等。但當時，相應地也有，在其他象限內(nèi)類似。5雙曲線的參數(shù)方程 以坐標原點為中心，焦點在軸上的雙曲線的標準方程為其參數(shù)方程為 ，其中焦點在軸上的雙曲線的標準方程是其參數(shù)方程為 注：以上參數(shù)都是雙曲線上任意一點的 6拋物線的參數(shù)方程 以坐標原點為頂點，開口向右的拋物線的參數(shù)方程為 注：參數(shù)的幾何意義是拋物線上除頂點外的任意一點與原點連線的 7直線的參數(shù)方程 經(jīng)過點，傾斜角為的直線的普通方程是 ，而過，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 .注：直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義：過定點，傾斜角為的直線的參數(shù)方程為 ，其中表示直線上以定點為起點，任一點為終點的有向線段