曲線積分與曲面積分1

1、曲線積分與曲面積分曲線積分1 計算曲線積分, 其中是,.解 曲線參數(shù)化. 曲線是一條折線. 要分段計算. 以為參數(shù).=2 計算曲線積分, 其中是曲面與的交線.解 代入化簡被積函數(shù). 曲面和的交線是一個圓. 坐標原點到平面的距離等于, 于是這個圓的半徑等于, 周長等于. 又因為曲線是曲面和的交線, 所以上所有點滿足球面方程. 代入, 得=3 計算曲線積分, 其中是雙紐線.解 曲線參數(shù)化. 奇偶對稱性. 選極角為參數(shù). 利用奇偶對稱性. 計算在第一象限的部分, 則, 代入公式, 得=4 計算曲線積分, 其中是曲面與的交線.解 輪換對稱性. 代入化簡被積函數(shù). 因為曲線關(guān)于平面及都對稱, 所以結(jié)論：

2、 設(shè)分段光滑曲線關(guān)于軸對稱, 將它從左到右定向記作. 是它的位于右半平面的部分. 又設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 且滿足, , 則=, . 5. 計算曲線積分, 其中是圓周的正向.解 曲線參數(shù)化. 將,代入, 得6. 計算曲線積分, 其中是由曲線和圍成的區(qū)域的邊界的正向.解 曲線參數(shù)化. 奇偶對稱性. 不考慮方向, 曲線關(guān)于軸對稱, 被積函數(shù)關(guān)于變量是偶函數(shù), 用奇偶對稱性, 有. 被積函數(shù)關(guān)于變量是偶函數(shù), 曲線和在右半平面的部分分別記作和, 則=+兩段曲線具有不同的表達式, 需分別計算. 計算在上的積分時, 以為參數(shù); 計算在上的積分時, 以極角為參數(shù). 代入公式, 得=+=格林公式1. 計算曲線積分

3、, 其中是由曲線, , 圍成區(qū)域的正向邊界.解 用格林公式計算. 根據(jù)格林公式, 有=用二重積分的換元法. 令, 則區(qū)域變成平面上的矩形. 雅可比行列式, 代入公式, 得=2. 計算曲線積分, 其中是曲線上從點到點的弧.解 添加一段弧成閉路, 用格林公式計算.添加x軸上從點到點的直線段, 記它們共同圍成的區(qū)域為, 用格林公式, 得 =3. 計算曲線積分, 其中的正向.解 化簡被積函數(shù), 用格林公式計算. 因為被積函數(shù)在原點沒有定義, 不能直接用格林公式. 將曲線方程代入被積函數(shù)的分母, 得這時可以使用格林公式了. 記, 則4. 設(shè)函數(shù)有連續(xù)的偏導數(shù), 求證: , 其中是圓周的正向.證 用格林公

4、式證明不等式. 用格林公式, 有=.因為區(qū)域關(guān)于直線對稱, 用輪換對稱性, 有=5. 求極限, 其中是圓周的正向.解 用格林公式求極限. 設(shè)圍成的區(qū)域為, 根據(jù)格林公式, 有 6. 設(shè)函數(shù)有連續(xù)導數(shù), 則曲線積分與路徑無關(guān).證 用曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 計算可得, , 滿足曲線積分與路徑無關(guān)的條件.7. 求函數(shù), 使得曲線積分與路徑無關(guān). 解 用曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 根據(jù)曲線積分與路徑無關(guān)的條件, 有, 即. 積分, 得.8. 計算曲線積分, 其中是曲線上從點到點的弧.解 曲線積分與路徑無關(guān). 選擇比較簡單的路徑. 計算可得, 滿足曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 因此, 選擇容易計算的積

5、分路徑: 先從點沿直線到點, 再從點沿直線到點.=+ =9. 計算曲線積分, 其中函數(shù)有連續(xù)導數(shù),點.解 用條件判定曲線積分與路徑無關(guān). 選擇比較簡單的路徑.計算可得, 滿足曲線積分與路徑無關(guān)的條件. 因此, 選擇容易計算的積分路徑: 沿曲線從點到點.10. 計算曲線積分, 其中是包含坐標原點在其內(nèi)部的正向閉曲線. 證 用復連通區(qū)域的格林公式. 選擇比較簡單的閉路. 積分式在坐標原點無意義, 取足夠小, 使得圓周在的內(nèi)部. 因為被積函數(shù)滿足微分方程, 所以在與C之間的區(qū)域上的二重積分等于零. 于是在用多連通區(qū)域的格林公式時, 相當于換成另一條閉路, =11. 驗證是某個函數(shù)的全微分, 并求出一

6、個這樣的函數(shù).解 用全微分的條件. 計算可得, 滿足全微分的條件. 選坐標原點為始點, 則 驗算: .曲面積分結(jié)論1.設(shè)光滑曲面關(guān)于平面對稱, 是在上半空間的部分. 函數(shù)在曲面上連續(xù), 且滿足=, 則.2.設(shè)函數(shù)在光滑曲面上連續(xù), 的面積記作, 則存在點, 使得=.1. 計算曲面積分, 其中是錐面.解 向坐標平面投影. 向平面的投影區(qū)域為. . 用計算公式, 得=2. 計算曲面積分, 其中是.解 奇偶對稱性. 曲面關(guān)于平面和平面對稱, 因此. 3. 計算曲面積分, 其中是球面解 輪換對稱性.因為球面關(guān)于平面和都對稱, 所以=于是, =結(jié)論 設(shè)光滑有向曲面關(guān)于平面對稱, 函數(shù),在上連續(xù), 且, , , 則. 4. 計算曲面積分, 其中是錐面的下側(cè).解 向坐標平面投影. 奇偶對稱性. 曲面關(guān)于平面對稱, 被積函數(shù)關(guān)于是偶函數(shù), 于是. 5. 計算曲面積分, 其中是圓錐面, 的下側(cè).解 輪換對稱性. 曲面關(guān)于平面對稱, 用輪換對稱性, 得 =于是 =06. 計算曲面積分, 其中是柱面, , 的右側(cè).解 向坐標平面的投影是曲線弧. 因為曲面在