有理數(shù)混合運(yùn)算簡(jiǎn)便算法與技巧

1、有理數(shù)的計(jì)算方法與技巧有理數(shù)運(yùn)算是代數(shù)入門的重點(diǎn)，又是難點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運(yùn)算的基礎(chǔ)，怎樣突破這一難點(diǎn)，除了要正確理解概念和掌握運(yùn)算法則外，還必須熟練有理數(shù)運(yùn)算的一些技巧和方法，一定要正確運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律，從而使復(fù)雜問(wèn)題變得較簡(jiǎn)單。一、四個(gè)原則：整體性原則： 乘除混合運(yùn)算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運(yùn)算按正負(fù)數(shù)分類，分別統(tǒng)一計(jì)算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開(kāi)，分別統(tǒng)一計(jì)算。 簡(jiǎn)明性原則：計(jì)算時(shí)盡量使步驟簡(jiǎn)明，能夠一步計(jì)算出來(lái)的就同時(shí)算出來(lái)；運(yùn)算中盡量運(yùn)用簡(jiǎn)便方法，如五個(gè)運(yùn)算律的運(yùn)用。 口算原則：在每一步的計(jì)算中，都盡量運(yùn)用口算，口算是提高運(yùn)算率的重要方法之一，習(xí)慣于口算，有

2、助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。分段同時(shí)性原則： 對(duì)一個(gè)算式，一般可以將它分成若干小段，同時(shí)分別進(jìn)行運(yùn)算。二、運(yùn)算技巧歸類組合：運(yùn)用交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計(jì)算，如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等。例：計(jì)算：(0.5)(3) + 2.75(7)解法一：(0.5)(3) + 2.75(7) = (0.5 + 2.75) + (37) = 2.254=2 解法二：(0.5)(3) + 2.75(7) =0.5 + 3+ 2.757= (3 + 27 ) + (0.5 + + 0.75 )=2評(píng)析：解法一是小數(shù)與小數(shù)相結(jié)合，解法二整數(shù)與整數(shù)結(jié)合，這樣解決了

3、既含分?jǐn)?shù)又含小數(shù)的有理數(shù)加減運(yùn)算問(wèn)題同學(xué)們遇到類似問(wèn)題時(shí)，應(yīng)學(xué)會(huì)靈活選擇解題方法湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。將相加可得整數(shù)的數(shù)放在一起進(jìn)行運(yùn)算(其中包括互為相反數(shù)相加)，可以降低解題難度，提高解題效率例：計(jì)算：分析：本題六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個(gè)互為相反數(shù)，有兩個(gè)相加和為整數(shù)，故可用“湊整”法。解：原式例：計(jì)算：19299399949999解：19299399949999=201300140001500001= (20300400050000)4= 543204= 54316分解：將一個(gè)數(shù)分解成幾個(gè)數(shù)和的形式,或分解為它的因數(shù)相乘的形式。例：計(jì)算

4、：解：原式 例：計(jì)算：。解：原式 例：計(jì)算2005×1001×解：2005×= (20041)×(10021)×= (20031001)()=1003評(píng)析：對(duì)于這些題目結(jié)構(gòu)復(fù)雜，長(zhǎng)度較大的數(shù)，用常規(guī)的方法不易解決解這類問(wèn)題要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找出拆項(xiàng)規(guī)律，靈活巧妙地把問(wèn)題解決約簡(jiǎn)：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡(jiǎn)。例：計(jì)算：解：原式倒序相加：利用運(yùn)算律，改變運(yùn)算順序,簡(jiǎn)化計(jì)算。例：計(jì)算解：設(shè)，把等式右邊倒序排列，得將兩式相加，得即，所以A=4005所以原式4005裂項(xiàng)相消法:凡是帶有省略號(hào)的分?jǐn)?shù)加減運(yùn)算，可以用這種方法例： 解：應(yīng)用關(guān)系式

5、來(lái)進(jìn)行“拆項(xiàng)”。原式正逆用運(yùn)算律：正難則反, 逆用運(yùn)算定律以簡(jiǎn)化計(jì)算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac在運(yùn)算中可簡(jiǎn)化計(jì)算而反過(guò)來(lái)，ab+ac=a(b+c)同樣成立，有時(shí)逆用也可使運(yùn)算簡(jiǎn)便。在處理有理數(shù)的數(shù)字運(yùn)算中，若能根據(jù)題目所顯示的結(jié)構(gòu)、關(guān)系特征，對(duì)此加以靈活變形，便可巧妙地逆用分配律，使解題簡(jiǎn)潔明快例：計(jì)算：17.48×37174.8×1.98.74×88解：17.48×37174.8×1.98.74×88 =17.48×37(17.48×10)×1.917.48×44=17.48

6、15;3717.48×1917.48×44= 17.48×(371944)= 1748評(píng)析：很明顯，靈活變形，逆用分配律，減少了運(yùn)算量，提高了解題效率變序在有理數(shù)的運(yùn)算中，適當(dāng)改變運(yùn)算順序，有時(shí)可以減少運(yùn)算量，在具體運(yùn)算過(guò)程中，技巧是恰到好處地運(yùn)用交換率、結(jié)合律和分配律等運(yùn)算律簡(jiǎn)化運(yùn)算例：計(jì)算：解：原式 。例：計(jì)算：4()()6解：4()()6 = 4()()6= 46()()= 11()= 10評(píng)析： 在運(yùn)算前，首先觀察、分析參與運(yùn)算的數(shù)的特征、排列順序等，適當(dāng)交換一下各數(shù)的位置，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算、快速解題的目的 同步練習(xí)題1： 1. 計(jì)算：2. 已知0為數(shù)軸的原點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為1、2，設(shè)P1為AB的中點(diǎn)，P2為AP1的中點(diǎn)，P100為P99的中點(diǎn)，求P1，P2，P3，P100所對(duì)應(yīng)的各數(shù)之和。3. 計(jì)算：（分析：本題六個(gè)數(shù)中有兩個(gè)是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個(gè)互為相反數(shù)，有兩個(gè)相加和為整數(shù)，故可用“湊整”法。）4. 求和 （分析：由加法交換律和結(jié)合律將分母相同的數(shù)結(jié)合相加，可改變?cè)椒彪y的計(jì)算。）5. 計(jì)算： 同步練習(xí)題2： 1. 計(jì)算：2. 計(jì)算：3. 計(jì)算：4. 計(jì)算：同步練習(xí)題1參考答案：1. 解法1 ：原式解法2：原式2. 解：設(shè)對(duì)應(yīng)的數(shù)為所以，3. 解：原式4. 解：原