正弦定理 余弦定理應(yīng)用實(shí)例練習(xí) 含答案

1、課時(shí)作業(yè)3應(yīng)用舉例時(shí)間：45分鐘滿(mǎn)分：100分課堂訓(xùn)練1海上有A、B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B、C間的距離是()A10海里B10海里C5海里 D5海里【答案】D【解析】如圖，A60°，B75°，則C45°，由正弦定理得：BC5.2如圖所示，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，一測(cè)量者在A所在的河岸邊選定一點(diǎn)C，測(cè)出AC的距離為50m，ACB45°，CAB105°后，就可以計(jì)算出A、B兩點(diǎn)的距離為()A50m B50mC25m D.m【答案】A【解析】因?yàn)锳CB45

2、76;，CAB105°，所以ABC30°，根據(jù)正弦定理可知，即，解得AB50m，選A.3從某電視塔的正東方向的A處，測(cè)得塔頂仰角是60°；從電視塔的西偏南30°的B處，測(cè)得塔頂仰角為45°，A，B間距離是35m，則此電視塔的高度是_m.【答案】5【解析】如圖所示，塔高為OC，則OAC60°，AOB180°30°150°，CBO45°，AB35，設(shè)電視塔高度為hm，則OAh，OBh，在AOB中由余弦定理可得AB2OA2OB22OA·OB·cosAOB，即352(h)2h22&#

3、215;h×h×()解得h5.4如圖所示，海中小島A周?chē)?8海里內(nèi)有暗礁，一船正向南航行，在B處測(cè)得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后，在C處測(cè)得小島在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)？【分析】船繼續(xù)向南航行，有無(wú)觸礁的危險(xiǎn)，取決于A到直線BC的距離與38海里的大小，于是我們只要先求出AC或AB的大小，再計(jì)算出A到BC的距離，將它與38海里比較大小即可【解析】在ABC中，BC30，B30°，ACB135°，BAC15°由正弦定理，即：AC60cos15°60cos(45

4、76;30°)60(cos45°cos30°sin45°sin30°)15()，A到BC的距離為dACsin45°15(1)40.98海里>38海里，所以繼續(xù)向南航行，沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)課后作業(yè)一、選擇題(每小題5分，共40分)1已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A北偏東10°B北偏西10°C南偏東10° D南偏西10°【答案】B【解析】如圖所示，ECA40°，F(xiàn)CB60

5、°，ACB180°40°60°80°，ACBC，AABC50°，ABG180°CBHCBA180°120°50°10°.故選B.2某市在“舊城改造”工程中，計(jì)劃在如下圖所示的一塊三角形空地上種植草皮以美化環(huán)境已知這種草皮價(jià)格為a元/m2，則購(gòu)買(mǎi)這種草皮需要()A450a元 B225a元C150a元 D300a元【答案】C【解析】S×20×30×sin150°×20×30×150(m2)，購(gòu)買(mǎi)這種草皮需要150a元，故

6、選C.3有一長(zhǎng)為10m的斜坡，傾斜角為75°.在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯拢ㄟ^(guò)加長(zhǎng)坡面的方法將它的傾斜角改為30°，則坡底要延長(zhǎng)的長(zhǎng)度(單位：m)是()A5 B10C10 D10【答案】C【解析】如圖，設(shè)將坡底加長(zhǎng)到B時(shí)，傾斜角為30°.在ABB中，利用正弦定理可求得BB的長(zhǎng)度在ABB中，B30°，BAB75°30°45°，AB10m.由正弦定理，得BB10(m)坡底延長(zhǎng)10m時(shí)，斜坡的傾斜角將變?yōu)?0°.4一船以22km/h的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東45°，1小時(shí)30分后航行到B處，在

7、B處看燈塔S在船的南偏東15°，則燈塔S與B之間的距離為()A66 km B132 kmC96 km D33 km【答案】A【解析】如圖，ASB180°15°45°120°，AB22×33，由正弦定理，SB66(km)5據(jù)新華社報(bào)道，強(qiáng)臺(tái)風(fēng)“珍珠”在廣東饒平登陸臺(tái)風(fēng)中心最大風(fēng)力達(dá)到12級(jí)以上，大風(fēng)降雨給災(zāi)區(qū)帶來(lái)嚴(yán)重的災(zāi)害，不少大樹(shù)被大風(fēng)折斷某路邊一樹(shù)干被臺(tái)風(fēng)吹斷后，樹(shù)尖與地面成45°角，樹(shù)干也傾斜，與地面成75°角，樹(shù)干底部與樹(shù)尖著地處相距20米，則折斷點(diǎn)與樹(shù)干底部的距離是()A.米 B10米C.米 D20米【答案

8、】A【解析】設(shè)樹(shù)干底部為O，折斷點(diǎn)為P，樹(shù)尖著地處為M，如圖，OPM中，P180°MO180°45°75°60°，由正弦定理得，PO.6甲船在B島的正南A處，AB10km，甲船以4 km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們航行的時(shí)間是()A.min B.hC21.5min D2.15h【答案】A【解析】如圖，設(shè)經(jīng)過(guò)x小時(shí)時(shí)距離為s，則在BPQ中，由余弦定理知：PQ2BP2BQ22BP·BQ·cos120°，即s2(104x)2(

9、6x)22(104x)×6x×()28x220x100.當(dāng)x時(shí)，s2最小，此時(shí)xhmin.7一艘船以4km/h的速度與水流方向成120°角的方向航行，已知河水流速為2km/h，則經(jīng)過(guò)h，該船實(shí)際航程為()A2km B6kmC2km D8km【答案】B【解析】如圖，|2，|4，AOB120°，A60°，|2.經(jīng)過(guò)h，該船的航程為2×6(km)8如圖，ABC是簡(jiǎn)易遮陽(yáng)棚，A、B是南北方向上的兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽(yáng)光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽(yáng)棚ABC與地面所成的角為()A75° B60&

10、#176;C50° D45°【答案】C【解析】如圖，作CE平面ABD于點(diǎn)E，則CDE是太陽(yáng)光線與地面所成的角，即CDE40°，延長(zhǎng)DE交直線AB于點(diǎn)F，連接CF，則CFD是遮陽(yáng)棚與地面所成的角，設(shè)為.要使SABD最大，只需DF最大在CFD中，.DF.CF為定值，當(dāng)50°時(shí)，DF最大二、填空題(每小題10分，共20分)9如圖在山腳A測(cè)得山頂P的仰角為，沿傾斜角為的斜坡向上走a米到B，又測(cè)得山頂P的仰角為，則山高為_(kāi)【答案】m【解析】在PAB中，已知BAP，APB，ABa，由正弦定理可得PA，在RtPAQ中，PQPAsin.10一只螞蟻沿東北方向爬行xcm后

11、，再向右轉(zhuǎn)105°爬行20cm，又向右轉(zhuǎn)135°，這樣繼續(xù)爬行可回到出發(fā)點(diǎn)處，那么x_.【答案】【解析】如圖ABC中，A45°15°60°，B45°30°75°，ACB45°，由正弦定理知，x.三、解答題(每小題20分，共40分解答應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)11A、B是海平面上的兩個(gè)點(diǎn)，相距800 m，在A點(diǎn)測(cè)得山頂C的仰角為45°，BAD120°，又在B點(diǎn)測(cè)得ABD45°，其中D是點(diǎn)C到水平面的垂足，求山高CD.【分析】如圖，由于CD平面ABD，CAD45&

12、#176;，所以CDAD.因此，只需在ABD中求出AD即可【解析】在ABD中，BDA180°45°120°15°，由，得AD800(1)(m)CD平面ABD，CAD45°CDAD800(1)2 186(m)答：山高CD為2 186 m.12如圖，一輛汽車(chē)從O點(diǎn)出發(fā)，沿海岸一條直線公路以100千米/小時(shí)的速度向東勻速行駛，汽車(chē)開(kāi)動(dòng)時(shí)，在O點(diǎn)南偏東方向距O點(diǎn)500千米且與海岸距離為300千米的海上M處有一快艇，與汽車(chē)同時(shí)出發(fā)，要把一件重要的物品遞送給這輛汽車(chē)的司機(jī)，問(wèn)快艇至少必須以多大的速度行駛，才能把物品遞送到司機(jī)手中？并求快艇以最小速度行駛時(shí)方向與OM所成的角【分析】根據(jù)題意畫(huà)出示意圖如圖所示在MON中，利用余弦定理得到速度v關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，然后利用二次函數(shù)求最值【解析】如圖所示，設(shè)快艇從M處以v千米/小時(shí)的速度出發(fā)，沿MN方向航行，t小時(shí)后與汽車(chē)相遇在MON中，MO500，ON100t，MNvt，設(shè)MON，由題意得sin，則cos.由余弦定理，得MN2OM2ON22OM·ON·cos，即v2t250021002