有限單元法基本思想原理數(shù)值計(jì)算過程

1、 有限單元法學(xué)習(xí)報告 在對力學(xué)問題分析求解過程中，方法可以概括為兩種方法，一種為解析法，對具體問題具體分析，通過一定的推導(dǎo)用具體的表達(dá)式獲得解答，由于實(shí)際工程中結(jié)構(gòu)物的復(fù)雜性，此方法在處理工程問題是十分困難的；另一種是數(shù)值法，有限元法是其中一種方法，其數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，物理概念清晰，又采用矩陣形式表達(dá)基本公式，便于計(jì)算機(jī)編程，因此在工程問題中獲得廣泛的應(yīng)用。 有限元法基本原理是，將復(fù)雜的連續(xù)體劃分為簡單的單元體；將無限自由度問題化為有限自由度問題，因?yàn)閱卧w個數(shù)是有限的；將偏微分方程求解問題化為有限個代數(shù)方程組的求解問題。通常以位移為基本未知量，通過虛功原理和最小勢能原理來求解。 基本思想是先化整

2、為零，即離散化整體結(jié)構(gòu)，把整體結(jié)構(gòu)看作是由若干個通過結(jié)點(diǎn)相連的單元體組成的整體；再積零為整，通過結(jié)點(diǎn)的平衡來建立代數(shù)方程組，最后計(jì)算出結(jié)果。 我將采用最簡單的三結(jié)點(diǎn)三角形為基本單元體，解決彈性力學(xué)中的平面問題為例，解釋有限單元法的基本原理、演示數(shù)值計(jì)算過程和一般性應(yīng)用結(jié)論。一、離散化 解決平面問題時，主要單元類型包括三角形單元（三結(jié)點(diǎn)、六結(jié)點(diǎn)）和四邊形單元（四結(jié)點(diǎn)矩形、四結(jié)點(diǎn)四邊形、八結(jié)點(diǎn)四邊形）等。選用不同的單元會有不同的精度，劃分的單元數(shù)越多，精度越高，但計(jì)算量也會越大。因此在邊界曲折，應(yīng)力集中處單元的尺寸要小些，但最大與最小單元的尺寸倍數(shù)不宜過大。 在集中力作用點(diǎn)及分布力突變的點(diǎn)宜選為結(jié)

3、點(diǎn)，不同厚度，不同材料不能劃分在同一單元中。三角形單元以內(nèi)角接近60°為最好。充分利用對稱性與反對稱性。2、 單元分析 將一個單元上的所有未知量用結(jié)點(diǎn)位移表示，并將分布在單元上的外力等效到結(jié)點(diǎn)上。 1、位移函數(shù)選?。?根據(jù)有限元法的基本思路，將連續(xù)體離散為有限的單元集合后，此時單元體滿足連續(xù)性、均勻性、各向同性、完全線彈性假設(shè)。單元與單元之間通過結(jié)點(diǎn)連接并傳遞力，位移法（應(yīng)用最廣）以結(jié)點(diǎn)位移i=(ui vi)T為基本未知量，以離散位移場代替連續(xù)位移場。單元體內(nèi)的位移變化可以用位移函數(shù)（位移模式）來表示，因?yàn)橛邢拊治鏊媒Y(jié)果是近似結(jié)果，為了保證計(jì)算精度和收斂性，x位移函數(shù)應(yīng)盡可能反應(yīng)

4、物體中的真實(shí)位移，即滿足完備性和連續(xù)性的要求： 位移模式必須能反映單元的剛體位移。 位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變。 位移模式應(yīng)盡可能反應(yīng)位移的連續(xù)性。設(shè)三角形單元三個結(jié)點(diǎn)編號為i、j、m。平面三角形單元位移函數(shù)選取為u=1+2x+3y v=4+5x+6y可以寫成的形式，反映了單元的剛體平動，反映了單元的剛體轉(zhuǎn)動，滿足完備性和連續(xù)性的要求。采用插值法由單元結(jié)點(diǎn)位移列陣e=T計(jì)算1、2、3、4、5、6.，求出位移d=u（x，y), v（x，y）。6個未知量,6個代數(shù)方程,得de=Ne de=T式中Ni=(ai+bix+ciy)/2A，ai=bi= -ci=（i、j、m輪換）A為三角形面積，為避

5、免A<0，i、j、m按逆時針排列。N為形函數(shù)矩陣，形函數(shù)Ni的性質(zhì)有：Ni（xi，yi）=1 Ni（xj，yj）=0 Ni（xm，ym）=0Ni（x，y）+Nj（x，y）+Nm（x，y）=1可推出三個形函數(shù)中，兩個是獨(dú)立的，反映了剛體平移。 令z=Ni，在直接坐標(biāo)系中畫出Ni、Nj、Nm的函數(shù)圖形是以Ni（xi，yi）=1為高的四面體，所以結(jié)點(diǎn)位移影響單元的位移場，單元的位移場是線性分布的，相鄰單元在公共邊上的位移是連續(xù)的，單元相鄰邊的位移只取決于單元相鄰公共邊上的結(jié)點(diǎn)而與其他結(jié)點(diǎn)無關(guān)，無論以哪個單元計(jì)算相鄰邊的位移，結(jié)果一定相同。 形函數(shù)Nie決定了單元內(nèi)的位移模式，反映了i結(jié)點(diǎn)位移對

6、單元內(nèi)任意點(diǎn)位移的貢獻(xiàn)率。 2、根據(jù)幾何方程用單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變： T B為幾何矩陣B可寫為分塊矩陣B=（Bi Bj Bm）T,Bi=，B內(nèi)所有元素與x，y無關(guān)，所以該單元內(nèi)應(yīng)變是常量，反映單元的常量應(yīng)變，滿足完備性和連續(xù)性的要求，這是一種常應(yīng)變單元。 3、根據(jù)物理方程用單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)力： D為彈性矩陣 S為應(yīng)力矩陣S=DB中，每一個元素都是常數(shù)，所以的每一個分量與單元內(nèi)x，y位置無關(guān)，這是一種常應(yīng)力單元。因?yàn)樵谌Y(jié)點(diǎn)三角形單元中，位移函數(shù)中含有坐標(biāo)的一次項(xiàng)，其誤差為，而應(yīng)力、應(yīng)變是常量，其誤差為，比位移精度低。 4、根據(jù)虛功原理用單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元結(jié)點(diǎn)力 單元在結(jié)點(diǎn)處受力，單

7、元會發(fā)生變形，因此單元在結(jié)點(diǎn)處所受到的力與單元結(jié)點(diǎn)位移肯定有關(guān)系。單元間通過結(jié)點(diǎn)的相互作用成為整體，因此每一單元的受力位移關(guān)系找出來，整體的受力位移關(guān)系也就出來了。記單元節(jié)點(diǎn)力為T，單元結(jié)點(diǎn)虛位移為單元內(nèi)應(yīng)力為T， 單元內(nèi)虛應(yīng)變T根據(jù)虛功原理，可得因?yàn)锽、D中元素都是常數(shù)，K=BTDBtA為單元剛度矩陣。K為6行6列矩陣可寫為，表示j結(jié)點(diǎn)處發(fā)生y方向的單位位移時所引起的i結(jié)點(diǎn)處x方向的結(jié)點(diǎn)力。不同類型不同形式的單元，只有彈性矩陣D和幾何矩陣B不同，計(jì)算子塊矩陣的公式相同，平面問題中，影響剛度矩陣K的只有幾何矩陣B。K的性質(zhì)有：K中每個元素表示個單元結(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時所引起的結(jié)點(diǎn)力。K

8、為對稱矩陣。單元做剛體位移時，單元內(nèi)不產(chǎn)生應(yīng)變應(yīng)力，結(jié)點(diǎn)力為0，所以K中每行每列元素之和為0，所以，所以只根據(jù)無法求得唯一解。5、 根據(jù)虛功等效原則計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)力根據(jù)有限元的基本方法，單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移、應(yīng)變、應(yīng)力等最終都要用結(jié)點(diǎn)位移來表示，所以作用在物體上的外力也要用結(jié)點(diǎn)位移表示。為了計(jì)算等效結(jié)點(diǎn)力，在任意的虛位移上，使原載荷與等效載荷虛功相等。設(shè)外力為，結(jié)點(diǎn)虛位移為，則任意點(diǎn)虛位移為，等效節(jié)點(diǎn)載荷為,有 （集中力）同理得（面力），（體力）。3、 整體分析 將結(jié)構(gòu)的所有單元通過結(jié)點(diǎn)連接起來，形成一個整體的離散結(jié)構(gòu)以代替實(shí)際的連續(xù)體，以形成以結(jié)點(diǎn)位移為未知量的整體結(jié)構(gòu)的有限元代數(shù)方程組，最后求得結(jié)點(diǎn)位移。對結(jié)點(diǎn)受力分析：結(jié)點(diǎn)受到與之相關(guān)的單元給它的反作用力和外載荷的等效結(jié)點(diǎn)力，這兩組力坐標(biāo)軸方向相反，所以應(yīng)該相等，即，設(shè)有n個結(jié)點(diǎn)，每個結(jié)點(diǎn)建立兩個方向的方程，不考慮外界約束時，共2n個方程，2n個未知量（），為了建立這個代數(shù)方程組，建立整個彈性體的結(jié)點(diǎn)力和結(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系式，K（2n×2n）為整理剛度矩陣，為整體結(jié)點(diǎn)位移列陣，F(xiàn)L整體結(jié)點(diǎn)載荷列陣。為了求整體剛度矩陣，要找到它與已求得的單元剛度矩陣的關(guān)系，在整體中對結(jié)點(diǎn)編碼，設(shè)整體剛度矩陣中某元素為Kij，意為j個結(jié)點(diǎn)在x或y方向發(fā)生位移引起i個結(jié)點(diǎn)x或y方向的結(jié)點(diǎn)力，找到同時用到i與j結(jié)點(diǎn)的單元，并用與之對應(yīng)的單元剛度