永磁直流電機的優(yōu)化設計

1、永磁直流電機的優(yōu)化設計 Nady Boules(通用研究實驗室, 沃倫 ，邁阿密,) 摘要 提出適用于永磁直流電機的設計最優(yōu)化數(shù)學模型。這種模型，結合電機的電磁特性和物理變量，可用于計算電機的電樞反應參數(shù)、電刷壓降特性和鐵心的磁性飽和參數(shù)。本文提出各種變量的轉換方法，使模型可廣發(fā)的適用對各種不同型號的永磁直流電機。在計算機程序嵌入該模型后，程序能夠有系統(tǒng)地確定電機的最優(yōu)化設計參數(shù)。 本文介紹了這種最優(yōu)化方法和計算機程序的邏輯結構。列舉了一個例子來論證這個程序能夠用于優(yōu)化電機的設計。1 緒論 在今天科學的快速發(fā)展更換中，通過大容量和高速性的現(xiàn)代計算機使最優(yōu)化技術在工程運用中作為一個重要的手段。最

2、優(yōu)化技術廣發(fā)的運用在許多工程部分和系統(tǒng)中，尤其近來被運用到電機的設計方面1-7。在許多商業(yè)應用中，永磁直流電機發(fā)揮巨大的作用。在今天激烈競爭的時代，遇到一個給定操作要求和約束的條件下，有能力去選擇一個理想的參數(shù)設計對這類永磁直流電機來說是非常重要的。本文介紹了一種合適此類電機的優(yōu)化設計方法。這種方法取代了電機的一些參變量，比如電樞直徑，導體數(shù)，其他規(guī)格化量后的導體區(qū)域。規(guī)格化量后的初始變量可以很容易用于不同等級的電機中。本文通過揭漏和解釋設計變量的函數(shù)（目標函數(shù)），比如電機的重量，體積，效率作為一個函數(shù)，建立一個數(shù)學模型表達這個函數(shù)的最優(yōu)化特性。這個模型運用二維磁場分析法來獲得一個精確的磁路閉

3、環(huán)解決方法8。在給定電機的要求和設計約束后，這個模型嵌入到計算機程序中合并一起做為優(yōu)化的手段來有效的找到電機的最優(yōu)化設計參數(shù)。介紹了最優(yōu)化技術和程序的邏輯結構。通過一個例子，以電機的空間和熱量為約束，比較優(yōu)化前后現(xiàn)有電機的最大效率，可以論證這個程序的有效性。2 最優(yōu)化問題公式表達對于任何設計問題，幾個可能的對比設計都必須要有，以滿足設計場合中不同的要求和設計約束。這些設計可以叫做可行性設計或者可接受性設計。最優(yōu)化設計是一種可接受性設計，在某種意義上它必須是最好的。它們可以是以最小的重量，尺寸，成本，最大的效率，或者前面這些的整體融合為一起做為優(yōu)化目標。由于當描述電機的性能和約束的函數(shù)有非線性和

4、不可微分性，最優(yōu)化問題的公式構成做為非線性，非梯度來約束最小化問題。這樣公式可以規(guī)定如下。從開始，尋找設計變量： -最小化 (1)服從約束： ， i =0,1,2,3 (2)此處：為設計優(yōu)化矢量，里面的元素為設計優(yōu)化參量； 為初始值的設計矢量；為目標函數(shù)，描述優(yōu)化設計的品質特性；為約束函數(shù)，描述設計的限制條件。 當做為優(yōu)化問題，程序會尋找出上述電機設計問題的一個最優(yōu)解須包括兩個幾基本步驟。(1)在這些設計變量的術語中建立一個數(shù)學模型描述電機的目標函數(shù)和約束函數(shù)；(2)在遇到制定的要求和約束后，有效的運用最優(yōu)化技術找出目標函數(shù)的最小值。接下來的部分，運用到永磁直流電機的步驟還需要討論。設計優(yōu)化的

5、約束函數(shù)，描述設計的限制條件。3 數(shù)學模型數(shù)學模型包含一些公式來描述電路和一些電機設計公式中的磁路。圖1 蓄電池-電動機的等效電路圖Fig.1 Equivalent circuit of the motor-battery system.A 電氣電路 電動機的電氣電路問題一般用圖1的等效方程來表示，電動機的電源（電池）通常由設計者指定了。因此，電路的電路電壓為，自身內阻為，從電池連接到電動機的導線內阻為，在電池-電動機等效模型當中，這個是可以看作不變的參量。電動機的描述包括反向電動勢，電動機內阻，和通過電刷的壓降，可以集中的用一個等效方程來表示： (3) (4) 單獨的,電刷觸點的壓降跟許多因

6、素有關，比如電刷得材料，彈簧壓力，電刷通過的電流密度，換向邊緣速率，周圍的工作環(huán)境等等。在變量的運用中，有這么多的影響因素，電刷的壓降特性近可能的用一個函數(shù)來表述這么多重要的影響因素，電刷的類型，名稱，電刷的電流密度由電刷的制造商給定9。這些非線性新因素構成的壓降如圖2所示，通過附錄的公式條可以描述這個電機的模型。這個電池-電動機系統(tǒng)的等效電路方程可以描述為： (5)圖2 電刷壓降特性Fig.2 Brush voltage contact dropB 磁場電路電機的反向電動勢如(3)所示，對稱于總的有效磁感應線穿過轉子和連接電樞繞組。此場電路的磁阻決定了這個磁感應的大小。因為低的磁導率，有缺口

7、場的機械當中，電磁感應線在磁體間不是徑向的穿過氣隙。本文分析二維磁場的分布情況，和用集成元法逼近去計算磁場電路有點不準確。而運用有限元法，雖然很精確，但是很耗費時間，因此沒有一種很合適的方法來優(yōu)化這個結果。在文獻8中的作者基于二維磁場分析給出了一種封閉的剖面計算，提供了精度性和加速收斂的優(yōu)化方法。這個模型只用于分析磁鐵和氣隙間的區(qū)域，對比圖3和圖4，改變了氣隙長度從到，計算齒槽效應和飽和效應。當： (6)式中：是通常的卡特系數(shù)；是飽和系數(shù)，定義為總的電機磁動勢除以空氣氣隙磁動勢，總的電機磁動勢包括整個磁電路磁動勢和氣隙磁動勢。 (7)式中:和都是磁動勢需要磁力線分別的穿過磁路的鐵表面和氣隙部分

8、。圖3 四極永磁直流電機的截面Fig.3 Section in a four-pole permanent magnet dc motor圖4 電機磁路的分析模型Fig.4 Analytical model of the magnetic circuit圖5 氣隙磁密大概的波形分布空載、總的電樞Fig.5 Approximate flux density waveforms in the air gap -no load, - armature, -total.在圖5中，給出了空載運行下電機的磁密波形分布的大致形狀，接近矩形分布。運用文獻8提出的計算模型，提出在電樞表面空載狀態(tài)下磁密最大值的計

9、算表達式： (8)此處： (9)和 (10)在圖5給出的矩形磁密波形分布中，電樞所感應出來的磁力線同樣給出說明，并疊加在近似線性的電樞磁密分布上。因此，在永磁體下合成的磁密是，不在是恒定的，面向永磁體的齒槽效應會帶來多樣的磁密總量。而集成元法逼近用于分析磁路，這些齒槽和其余的鐵片會帶來磁動勢，必不可缺少的，和隨后而來的磁飽和率，知道，改變氣隙長度，那么通過(6)、(8)式就可以計算。由于磁鐵感應的非線性，這個計算需要一步步迭代獲得，文獻8有相關解釋。C. 性能等效方程式下列方程式是基于電機的電路，磁場，和幾何模型的相互聯(lián)系來描述電機的性能。電機的電磁功率是由(3)式電機的反向電動勢所長生的，而

10、電樞電流，是由(3)(5)所確定。例如： (11)繞組電流密度決定電樞繞組的熱負荷： (12)電流面密度： (13)電機軸上的輸出功率： (14)式中：為為鐵損耗；為摩擦損耗和繞組損耗。電機的輸入功率： (15)式中： = 銅損耗 = (16) = 碳刷壓降 = (17)電機的效率表達式： (18)除電機的性能之外，制定了目標函數(shù)需要的評價電機體積和重量，可以容易地得到電機的實際尺寸。這些計算將不會給出了簡明扼要。 D.設計變量與參數(shù)定量描述永磁直流電動機1）用于電機的迭片結構、定子框架、永磁鐵、碳刷等材料； 2）電機的結構，比如電機的極對數(shù)、繞組的連接方式（疊繞組或者波繞組）；3）電機的幾何

11、構造，其中包括轉子的迭片結構，定子外形框架和永磁鐵，電樞繞組和換向器。  電機材料和外形構造的選擇后，通常這些只有有限的變化，往往是決定某一特定的基礎上應用的可用性，成本和以往的經(jīng)驗。因此，這些數(shù)量被認為是不變的，在設計優(yōu)化進程，并將被稱為參數(shù)。應該指出的是，這個問題的公式表達式和優(yōu)化程序，通過重新分配他們新的定值和重復優(yōu)化過程后，使電機的結構模型進行有界差分。這樣的結果計算可以減少許多變量，并有相當簡化的問題。所有的優(yōu)化技術要求，提供一個初始值為設計變量（要素） 。體積和重量，這可以很容易地獲得汽車物理尺寸。這些計算將不會給出了簡明扼要。由于一些設計變量，如電樞直徑，一些導線，并指

12、揮領域，不同的范圍廣泛，根據(jù)機器評級和外加電壓，有時很難猜出合理的初始值為這些變數(shù)。因此，在制定這一問題，這些變數(shù)所取代其他形式的正?；跏贾悼梢院苋菀椎亟⑦m用于各種機器評級。詳細推導的轉變給出變量B部分附錄。因此，一套新的變數(shù)被定義為 (19)這些初始值： (20)代表一個合理的起點，不論電機的尺寸和電源電壓。對于每一個確定的變量，極間距是通過求解第六階多項式方程： (21)在多項式系數(shù)是函數(shù)變量載體所界定的(19)。該解決方案得到反復使用牛頓的方法。一旦眾所周知，電樞直徑可確定： (21)導體截面是通過結合(A8)和(A10)作為 (22)從(A8)可以得知導體總數(shù)： (23)所有其他機

13、器尺寸和客觀和約束功能現(xiàn)在可以得到的。E設計約束約束方程為，定義為式(2)，是可計算的表達式代表施加約束電機的設計。一些設計約束來自業(yè)績或行為的要求。例如，電池冷安培（共同國家評估）在汽車應用樹立了一個上限手搖馬達電流。此外，退磁安培開始輪流在設定的下限，以高度的磁鐵，以避免長期消磁的磁鐵。該類型的保溫和運作模式（連續(xù)或間歇）確定最大允許電流密度等其他制約因素，如最高機直徑或長度，最低氣隙長度，限制范圍的設計變量，由于空間，制造或經(jīng)濟上的考慮。4. 優(yōu)化BLEM的求解在一些非線性設計的文獻里羅列出很多有用的技術方法，其中有系統(tǒng)地尋找目標函數(shù)的最小值。非線性，不具有可微分性質的函數(shù)來描述電機的性

14、能和約束，建議使用間接的方法約束優(yōu)化目標，比如“順序無約束最極小化技術”(補償函數(shù)）10 。這些技術的使用使原始約束難題轉換成為一個無約束難題，這可以解決使用直接搜索方法只需要目標函數(shù)的一個值，而不是其他的衍生出來的問題。SUMT的主要思想是增加一個目標函數(shù)約束的術語，而由干擾約束的程度或消失來決定，如果約束函數(shù)得到滿足的話。因此，這一術語被稱為補償函數(shù)，有時被稱為“補償函數(shù)技術。 ”補償函數(shù)有序的以這樣一種方式：以連續(xù)無約束問題的最優(yōu)解去逼近約束函數(shù)的最優(yōu)解。有許多的補償函數(shù)公式的制定，其中有所謂的“外部補償函數(shù)”可被挑選。在數(shù)學術語角度來說，轉換化的無約束的問題都可以表達如下。 從開始，找

15、到設計的，比如： (25)此處：=懲罰無限制目標函數(shù)= (26) for =0 for R為罰因子（積極參數(shù)）。圖6說明這種方法背后的邏輯性。實線代表初始目標函數(shù)，這是(在這種情況下)眾多車用起動電機的設計參數(shù)(Em/Eb)中以電機的體積作為一個目標函數(shù)的。而虛線代表電流密度函數(shù)，最大的約束電流密度為33A/mm2。很顯然，第1點是無約束的極小化體積量，極小化體積量滿足電流密度函數(shù)的約束應當是在第2點，此點處于可行和不可行領域的邊界之間。補償無約束目標函數(shù)的極小化隨著r的逐漸增加，而收斂到求解結果。從圖6很明顯的看出來，如果r是選擇足夠大，的極小值點將會與第2點一致。但是，如果r是非常大的選擇

16、，函數(shù)將變得非常陡峭，很難取到極小值。這就是為什么該方法叫做有序極小化函數(shù)，它是以r取一個適中的值開始，然后r逐步增加，最后取到極小值。簡單的模塊框圖如圖7所示r逐漸更新的步驟順序。把r0的值先輸入到程序當中去，然后通過“極小化單變量的方法”11尋找無約束目標函數(shù)的極小值。正如名字所指的那樣，該方法變更設計變量，在一個循環(huán)下，一次改變一個變量。r2>r1圖6 “外補償函數(shù)”技術的例子Fig.6 Example illustrating the “exterior penalty function” technique.開始初始化變量r=r0開始，極化小所有約束函數(shù)都滿足？停 止Yr=ar

17、N圖7 簡單的模塊框圖Fig.7 Simplified block diagram.根據(jù)： (27)式中：是一個循環(huán)命令的單位向量， =(1,0,0,0), = (0,l,0,0,0);和為可自由挑選的可正、可負的步長，比如： (28)表1 電機參數(shù)的優(yōu)化參數(shù)單位實際電機優(yōu)化設計定子外徑mm84.084.0迭片長度mm36.636.6轉子外徑mm54.163.1轉子槽數(shù)1015定子極數(shù)24重量kg1.081.23有效效率%5772這種收斂的搜尋采用加速的極小化步長方法，此方法的步長長度CY的選擇在一個給定特別的方向上可給函數(shù)帶來最大的縮減量，這個理論的背景給定見參考文獻11.5. 數(shù)值計算 驗

18、證這種有效的方法是，對涉及電機的體積空間和熱力學約束問題，通過檢測優(yōu)化的電機設計與原機設計的最大有效功率的比較。電機的輸出要求是： 輸出功率P=154W，額定轉速n=3250 r/min，端電壓V=12V。既然有效的優(yōu)化常常趨向導致設計的參變量存在可能極大化的尺寸，而減少損耗，那就必須有足夠的空間約束電機的定子外徑、轉子工作長度，這樣才能等效于實際的電機結構，因此： 最大定子外徑Dsout=84mm； 最大迭片長度Ls=36.6mm。同樣，對實際的電機要有個正確的比較關系。在電樞繞組當中要有全負荷的電流密度，這樣可以決定電機的熱負荷大小，被用來等效實際電機的約束最大值。因此，最大電流密度為15

19、.32 A/mm2。為了避免交換性問題，這個交換性區(qū)域應當限制在一個小于或等于無控制作用的參數(shù)范圍內： 在設計當中假定的陶瓷永磁體(Allen-Bradley M10)，同樣與現(xiàn)有的電機一樣。在原機與優(yōu)化的電機當中，主要的設計區(qū)別由表1羅列的參數(shù)所決定，從表1可以看到電機的有效效率提高了大約28%(72 %相對于57%)，同樣增加了13.8%(1.23 kg相對于1.08 kg)的電機重量和體積。既然最優(yōu)解僅僅是基于有效效率的，那么優(yōu)化得到的4級、15槽的電機要比先前2極、10操的電機發(fā)費更多的錢。盡管如此，在電機總的成本中，成本因素很容易的移入到目標函數(shù)中。6. 結論本文介紹了一種PMDC電

20、機優(yōu)化設計的數(shù)學模型，這個模型利用二維封閉的形式優(yōu)化電機的磁場，結合對電機的電磁物理量、電樞反應的作用、磁路飽和、非線性碳刷電壓降等約束，得到優(yōu)化結果。本文也描述了電機設計變量的轉化和標準化的方法，使其模型能應用于一系列不同等級電機的優(yōu)化設計中。結合精確的和高的計算速度，使模型能夠更好的用于優(yōu)化意圖。這個模型的計算通過優(yōu)化程序來執(zhí)行，可以有系統(tǒng)的決定電機的優(yōu)化設計參數(shù)，比如電機的體積、重量和效率。這種最優(yōu)化技術可以在程序使用中所描繪。并給出一個數(shù)值計算來驗證這個模型的有效性。 參考文獻l R. W. Menziea and G. W. Neal, “Optimization programs

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