步步高大一輪復(fù)習(xí)講義高三數(shù)學(xué)54平面向量應(yīng)用舉例

1、§5.4平面向量應(yīng)用舉例1向量在平面幾何中的應(yīng)用平面向量在平面幾何中的應(yīng)用主要是用向量的線(xiàn)性運(yùn)算及數(shù)量積解決平面幾何中的平行、垂直、平移、全等、相似、長(zhǎng)度、夾角等問(wèn)題(1)證明線(xiàn)段平行或點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用共線(xiàn)向量定理：ab_.(2)證明垂直問(wèn)題，常用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)ab_.(3)求夾角問(wèn)題，利用夾角公式cos _ (為a與b的夾角)2平面向量與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的交匯平面向量作為一種運(yùn)算工具，經(jīng)常與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)結(jié)合，當(dāng)平面向量給出的形式中含有未知數(shù)時(shí)，由向量平行或垂直的充要條件可以得到關(guān)于該未知數(shù)的關(guān)系式在此基礎(chǔ)上，可以求解有關(guān)函數(shù)、不等式、三角

2、函數(shù)、數(shù)列的綜合問(wèn)題此類(lèi)問(wèn)題的解題思路是轉(zhuǎn)化為代數(shù)運(yùn)算，其轉(zhuǎn)化途徑主要有兩種：一是利用平面向量平行或垂直的充要條件；二是利用向量數(shù)量積的公式和性質(zhì)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1向量兼具代數(shù)的抽象與嚴(yán)謹(jǐn)和幾何的直觀，向量本身是一個(gè)數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物在利用向量解決問(wèn)題時(shí)，要注意數(shù)與形的結(jié)合、代數(shù)與幾何的結(jié)合、形象思維與邏輯思維的結(jié)合2要注意變換思維方式，能從不同角度看問(wèn)題，要善于應(yīng)用向量的有關(guān)性質(zhì)解題1平面上有三個(gè)點(diǎn)A(2，y)，B，C(x，y)，若，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡方程為_(kāi)2河水的流速為2 m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10 m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為_(kāi)3已知A、B是以C為圓心，半徑為的圓上

3、兩點(diǎn)，且|，則·等于() A B. C0 D.4某人先位移向量a：“向東走3 km”，接著再位移向量b：“向北走3 km”，則ab表示()A向東南走3 km B向東北走3 kmC向東南走3 km D向東北走3 km題型一應(yīng)用平面向量的幾何意義解題例1平面上的兩個(gè)向量，滿(mǎn)足|a，|b，且，a2b24.向量xy (x，yR)，且a22b221.(1)如果點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，求證：；(2)求|的最大值，并求此時(shí)四邊形OAPB面積的最大值探究提高本題是一道典型的考查向量幾何意義的應(yīng)用問(wèn)題求解第(2)問(wèn)的難點(diǎn)就是如何利用第(1)問(wèn)的結(jié)論來(lái)解決新的問(wèn)題，突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵主要是從設(shè)點(diǎn)M為線(xiàn)段A

4、B的中點(diǎn)入手，借助條件及第(1)問(wèn)的結(jié)論，去探究|的最大值等問(wèn)題 已知非零向量與滿(mǎn)足·0且·，則ABC為()A三邊均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等邊三角形 D等邊三角形題型二平面向量與解析幾何的綜合問(wèn)題例2已知平面上一定點(diǎn)C(2,0)和直線(xiàn)l：x8，P為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作PQl，垂足為Q，且·0.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；(2)若EF為圓N：x2(y1)21的任一條直徑，求·的最小值探究提高本題是平面向量與解析幾何的綜合性問(wèn)題，涉及向量數(shù)量積的基本運(yùn)算，數(shù)量積的求解以及軌跡、直線(xiàn)和圓、直線(xiàn)和橢圓中的最值等問(wèn)題，該題的難點(diǎn)是向量條件的轉(zhuǎn)化與應(yīng)用，破

5、解此問(wèn)題應(yīng)從向量的坐標(biāo)運(yùn)算入手，這也是解決解析幾何問(wèn)題的基本方法坐標(biāo)法在解題過(guò)程中應(yīng)該注意結(jié)合向量的有關(guān)運(yùn)算技巧，先化簡(jiǎn)后運(yùn)算 已知圓C：(x3)2(y3)24及點(diǎn)A(1,1)，M是圓C上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段MA的延長(zhǎng)線(xiàn)上，且2，求點(diǎn)N的軌跡方程 題型三向量在解三角形中的應(yīng)用例3已知在銳角ABC中，兩向量p(22sin A，cos Asin A)，q(sin Acos A,1sin A)，且p與q是共線(xiàn)向量(1)求A的大小；(2)求函數(shù)y2sin2Bcos取最大值時(shí)，B的大小探究提高向量與三角函數(shù)的結(jié)合往往是簡(jiǎn)單的組合如本題中條件通過(guò)向量給出，通過(guò)向量的平行得到一個(gè)等式，這時(shí)向量的使命便告完

6、成向量與其他知識(shí)的結(jié)合往往是這種簡(jiǎn)單組合，因此這種題目往往較為簡(jiǎn)單 ABC的三內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊長(zhǎng)分別是a，b，c，設(shè)向量m(ab，sin C)，n(ac，sin Bsin A)，若mn，則角B的大小為_(kāi)5.忽視對(duì)直角位置的討論致誤試題：(12分)已知平面上三點(diǎn)A、B、C，向量(2k,3)，(2,4)(1)若三點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，求實(shí)數(shù)k應(yīng)滿(mǎn)足的條件；(2)若ABC為直角三角形，求k的值學(xué)生解答展示審題視角因和已知，則可得(含k的式子)，若三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則有三點(diǎn)共線(xiàn)；若ABC為直角三角形，則有一個(gè)角為直角，即某兩邊構(gòu)成的角成直角，轉(zhuǎn)化為某兩個(gè)向量垂直，此時(shí)應(yīng)根據(jù)直角頂點(diǎn)不同而進(jìn)

7、行分類(lèi)討論，求得符合條件的k的值規(guī)范解答解(1)由三點(diǎn)A、B、C不能構(gòu)成三角形，得A、B、C在同一條直線(xiàn)上，即向量與平行，4(2k)2×30，解得k.4分(2)(2k,3)，(k2，3)，(k,1)5分ABC為直角三角形，則當(dāng)BAC是直角時(shí)，即·0，2k40，解得k2；7分當(dāng)ABC是直角時(shí)，即·0，k22k30，解得k3或k1；9分當(dāng)ACB是直角時(shí)，即·0，162k0，解得k8.11分綜上得k2，1,3,812分批閱筆記(1)用向量研究平面幾何問(wèn)題，是向量的一個(gè)重要應(yīng)用，也是高考的熱點(diǎn)本題難度不大，屬中檔題(2)本題的錯(cuò)誤非常典型造成錯(cuò)誤的主要原因就是思

8、維定勢(shì)所致第(1)問(wèn)，三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，從構(gòu)成三角形的條件直接否定，轉(zhuǎn)化成求解不等式，從而使問(wèn)題變得復(fù)雜，無(wú)法進(jìn)行下去第(2)問(wèn)，由于思維定勢(shì)，誤認(rèn)為A一定為直角，從而使解答不完整(3)考生書(shū)寫(xiě)格式不規(guī)范，不完整，也是失分的一個(gè)重要因素.方法與技巧1向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)的結(jié)合提供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)問(wèn)題2以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題通過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法3有關(guān)線(xiàn)段的長(zhǎng)度或相等，可以用向量的線(xiàn)性運(yùn)算與向量的模4用向量方法解決

9、平面幾何問(wèn)題的步驟(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系5向量的坐標(biāo)表示，使向量成為解決解析幾何問(wèn)題的有力工具，在證明垂直、求夾角、寫(xiě)直線(xiàn)方程時(shí)顯示出了它的優(yōu)越性，在處理解析幾何問(wèn)題時(shí)，需要將向量用點(diǎn)的坐標(biāo)表示，利用向量的有關(guān)法則、性質(zhì)列出方程，從而使問(wèn)題解決失誤與防范1向量關(guān)系與幾何關(guān)系并不完全相同，要注意區(qū)別例如：向量并不能說(shuō)明ABCD.2構(gòu)造向量解題，構(gòu)造是關(guān)鍵，而向量的構(gòu)造并不是唯一的，要根據(jù)題目進(jìn)行調(diào)整3加強(qiáng)平面向量的應(yīng)用意識(shí)，自覺(jué)地用向量的思想和方法

10、去思考問(wèn)題課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練(時(shí)間：60分鐘)A組專(zhuān)項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練題組一、選擇題1已知平面上直線(xiàn)l的方向向量e，點(diǎn)O(0,0)和A(1，2)在l上的射影分別是O1和A1，則e，其中等于() A. BC2 D22已知O是ABC所在平面上一點(diǎn)，若···，則O是ABC的()A內(nèi)心 B重心C外心 D垂心3已知|a|2|b|，|b|0且關(guān)于x的方程x2|a|xa·b0有兩相等實(shí)根，則向量a與b的夾角是()A BC. D.二、填空題4已知在ABC中，a，b，a·b<0，SABC，|a|3，|b|5，則BAC_.5已知ABO三頂點(diǎn)的坐標(biāo)為A(1，0)，B(0,2

11、)，O(0,0)，P(x，y)是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足·0，·0，則·的最小值為_(kāi)6已知i，j分別是x，y軸上的單位向量，一動(dòng)點(diǎn)P與M(1,1)連結(jié)而成的向量與另一向量n4i6j垂直，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是_. 三、解答題7如圖，在等腰直角三角形ABC中，ACB90°，CACB，D為BC的中點(diǎn)，E是AB上的一點(diǎn)，且AE2EB.求證：ADCE.8已知點(diǎn)P(0，3)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)Q在y軸的正半軸上，點(diǎn)M滿(mǎn)足·0，當(dāng)點(diǎn)A在x軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程B組專(zhuān)項(xiàng)能力提升題組一、選擇題1平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(2)·()0，則

12、ABC的形狀是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D等邊三角形2. 如圖，ABC的外接圓的圓心為O，AB2，AC3，BC，則·等于()A. B.C2 D33設(shè)D、E、F分別是ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且2，2，2，則與()A反向平行 B同向平行C互相垂直 D既不平行也不垂直二、填空題4在ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，若··1，那么c_.5在四邊形ABCD中，(1,1)，則四邊形ABCD的面積為_(kāi)6給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)若xy，其中x，yR，則xy的

13、最大值是_三、解答題7. 如右圖，在RtABC中，已知BCa，若長(zhǎng)為2a的線(xiàn)段PQ以點(diǎn)A為中點(diǎn)，問(wèn)與的夾角取何值時(shí)·的值最大？并求出這個(gè)最大值8已知向量a(cos 23°，cos 67°)，向量b(cos 68°，cos 22°)(1)求a·b；(2)若向量b與向量m共線(xiàn)，uam，求u的模的最小值答案要點(diǎn)梳理1(1)ab(b0)x1y2x2y10 (2)a·b0x1x2y1y20(3)基礎(chǔ)自測(cè)1.y28x (x0)22 m/s3.A4.B題型分類(lèi)·深度剖析例1(1)證明因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，所以.所以(xy).

14、(2)解設(shè)點(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，則由，知|1.又由(1)及a22b221，得|2|222222a22b21.所以|1.故P，O，A，B四點(diǎn)都在以M為圓心、1為半徑的圓上，所以當(dāng)且僅當(dāng)OP為圓M的直徑時(shí)，|max2. 這時(shí)四邊形OAPB為矩形，則S四邊形OAPB|·|ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)，四邊形OAPB的面積最大，最大值為2.變式訓(xùn)練1D例2解(1)設(shè)P(x，y)，則Q(8，y)由·0，得|PC|2|20，即(x2)2y2(x8)20，化簡(jiǎn)得1.所以點(diǎn)P在橢圓上，其方程為1.(2)因·()·()()·()()2221，P是橢圓1上的任意一點(diǎn)，設(shè)

15、P(x0，y0)，則有1，即x16，又N(0,1)，所以2x(y01)2y2y017(y03)220.因y02，2，所以當(dāng)y02時(shí)，2取得最小值(21)2134，(此時(shí)x00)，故·的最小值為124.變式訓(xùn)練2解設(shè)M(x0，y0)、N(x，y)由2得(1x0,1y0)2(x1，y1)，點(diǎn)M(x0，y0)在圓C上，(x03)2(y03)24，即(32x3)2(32y3)24.x2y21.所求點(diǎn)N的軌跡方程是x2y21.例3解(1)pq，(22sin A)(1sin A)(cos Asin A)(sin Acos A)0，sin2A，sin A，ABC為銳角三角形，A60°.(

16、2)y2sin2Bcos2sin2Bcos2sin2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos(2B60°)1cos 2Bcos 2Bcos 60°sin 2Bsin 60°1cos 2Bsin 2B1sin(2B30°)，當(dāng)2B30°90°，即B60°時(shí)，函數(shù)取最大值2.變式訓(xùn)練3課時(shí)規(guī)范訓(xùn)練A組1D2.D3.D4.150°5.362x3y10 (x1) 7證明··|2···|2|cos 90°|2cos 45°|2cos 45

17、76;|2|20，即ADCE.8解設(shè)M(x，y)，A(a,0)，Q(0，b) (b>0)，則(a,3)，(xa，y)，(x，by)由·0，得a(xa)3y0.由，得(xa，y)(x，by)把a(bǔ)代入，得3y0，整理得yx2.動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是yx2.B組1B2.B3A4. 5. 627解，·0.，·()·()····a2··a2·()a2·a2a2cos .故當(dāng)cos 1，即0，即與同向時(shí)，·最大，最大值為0.8解(1)a·bcos 23°·cos 68°cos 67°·cos 22°cos 23