極坐標(biāo)下的二維動(dòng)力學(xué)建模

1、極坐標(biāo)下的二維動(dòng)力學(xué)建模當(dāng)探測(cè)器沿橢圓軌道自由飛行到近月點(diǎn)時(shí)，月球?qū)ζ湟ψ饔眠h(yuǎn)大于地球以及其它星體攝動(dòng)的影響，故可以忽略地球和其它星體的影響。在研究探測(cè)器相對(duì)于月球運(yùn)動(dòng)時(shí)，探測(cè)器的尺寸又遠(yuǎn)小于它和中心引力體的距離，所以可視其為質(zhì)點(diǎn)。月球可以近似視為球形，而探測(cè)器的體積遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于月球的體積，故可把探測(cè)器看成質(zhì)量集中在中心的質(zhì)點(diǎn)。忽略月球自轉(zhuǎn)。假設(shè)探測(cè)器的軟著陸在同一個(gè)平面內(nèi)，建立如圖。的月心極坐標(biāo)系，取月心o為極坐標(biāo)圓點(diǎn)，oy經(jīng)過(guò)近月點(diǎn)A，ox與oy垂直，r為探測(cè)器到月心距離，F(xiàn)為制動(dòng)的推力，為推力方向與or垂線的夾角；是oy和or的夾角。 圖。月心平面極坐標(biāo)系根據(jù)牛頓第二定律，可得:式中M為月

2、球質(zhì)量，m為登月艙的質(zhì)量，r為月心到登月艙的距離矢量，F(xiàn)為推力的矢量， G為萬(wàn)有引力系數(shù)。令,將方程。寫成探測(cè)器軟著路軌道平面內(nèi)的分量形式，則探測(cè)器的運(yùn)方程變?yōu)椋河忠驗(yàn)閤=rsiny=rcos整理后得到又因?yàn)閞為位置矢量，v為or方向上的速度，是oy和or的夾角，為探測(cè)器圍繞月心的角速度。所以，r=v,=，結(jié)合，C為制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)比沖。可得到探測(cè)器在極坐標(biāo)下的二維動(dòng)力學(xué)建模為：模型改進(jìn)直角坐標(biāo)系下軟著陸三維動(dòng)力學(xué)建模由于月球的自轉(zhuǎn)和太陽(yáng)系其他星球?qū)μ綔y(cè)器的萬(wàn)有引力的影響，所以探測(cè)器的軟著陸的過(guò)程并不是始終保持在同一平面內(nèi)，下面將在直角坐標(biāo)系下建立探測(cè)器軟著陸三維動(dòng)力學(xué)模型。 月心慣性坐標(biāo)系oxyz

3、 ，月心為原點(diǎn)，月球赤道面為參考平面，ox軸指向月球赤道相對(duì)于白道的升交點(diǎn)，oy軸指向月球自轉(zhuǎn)角速度方向， oz軸按右手坐標(biāo)系確定。再定義月固坐標(biāo)系oxLyLzL，坐標(biāo)原點(diǎn)同樣在月心，以月球赤道面為參考平面，oxL軸指向赤道面與起始子午面的交線方向，oyL指向月球自轉(zhuǎn)角速度方向，ozL軸按右手原則確定。Ax1y1z1為原點(diǎn)在探測(cè)器質(zhì)心的軌道坐標(biāo)系， Ax1指向從月心到探測(cè)器的延伸線方向，Ax1垂直 Ay1指向運(yùn)動(dòng)方向，Az1按右手坐標(biāo)系確定。制動(dòng)發(fā)動(dòng)機(jī)推力F的方向與探測(cè)器縱軸重合，是F與Ay1正向所成角，是F在x1Az1平面上的投影與Ax1軸負(fù)向所成夾角。為Ay1與oy所成夾角，為Ax1在平面

4、xoz的投影與ox正向所成夾角。為由于月球自轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的月固坐標(biāo)系相對(duì)慣性坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)角，不妨假設(shè)初始時(shí)刻月固坐標(biāo)系與慣性坐標(biāo)系重合。顯然有軌道坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣：慣性坐標(biāo)系到月固坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為定義為慣性坐標(biāo)系中探測(cè)器的速度矢量，m為探測(cè)器質(zhì)量，為慣性坐標(biāo)系中月心引力矢量，根據(jù)牛頓第二定律，可以得到探測(cè)器在慣性坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程為：定義R探測(cè)器位置矢量，VL為探測(cè)器在月固坐標(biāo)系中的速度矢量，為月固坐標(biāo)系相對(duì)于慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)角速度。由科氏定律可得：對(duì)式進(jìn)行求導(dǎo)，可以得到探測(cè)器相對(duì)慣性空間的加速度為：根據(jù)科氏定律有：由于月球自轉(zhuǎn)角速度為常值，所以 將以上式子整理后得到：綜合以上敘述，得到探測(cè)器在月固坐標(biāo)系中的運(yùn)動(dòng)方程可以表示為：其中是在月固坐標(biāo)系中投影。月球重力加速度由月心引力加速度與離心加速度組成，其在月固坐標(biāo)系中的投影形式記作：令遠(yuǎn)離月心的方向?yàn)榱Φ恼较?，則有其中L為月球自轉(zhuǎn)角速度， , 和為探測(cè)器速度矢