時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系

1、基礎(chǔ)過關(guān)第4課時(shí) 直線與圓錐曲線的位置關(guān)系1直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，常用研究方法是將曲線方程與直線方程聯(lián)立，由所得方程組的解的個(gè)數(shù)來決定，一般地，消元后所得一元二次方程的判別式記為，>0時(shí)，有兩個(gè)公共點(diǎn)，0時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn)，<0時(shí)，沒有公共點(diǎn)但當(dāng)直線方程與曲線方程聯(lián)立的方程組只有一組解（即直線與曲線只有一個(gè)交點(diǎn)）時(shí)，直線與曲線未必相切，在判定此類情形時(shí)，應(yīng)注意數(shù)形結(jié)合（對(duì)于雙曲線，重點(diǎn)注意與漸近線平行的直線，對(duì)于拋物線，重點(diǎn)注意與對(duì)稱軸平行的直線）2直線與圓錐曲線的交點(diǎn)間的線段叫做圓錐曲線的弦設(shè)弦AB端點(diǎn)的坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2),直線AB的斜率為k，則：AB=或

2、：利用這個(gè)公式求弦長時(shí)，要注意結(jié)合韋達(dá)定理當(dāng)弦過圓錐曲線的焦點(diǎn)時(shí)，可用焦半徑進(jìn)行運(yùn)算3中點(diǎn)弦問題：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)是橢圓上不同的兩點(diǎn)，且x1x2，x1x20，M(x0，y0)為AB的中點(diǎn)，則 兩式相減可得即 對(duì)于雙曲線、拋物線，可得類似的結(jié)論典型例題例1. 直線yax1與雙曲線3x2y21相交于A、B兩點(diǎn)(1) 當(dāng)a為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線的同一支上？當(dāng)a為何值時(shí)，A、B兩點(diǎn)分別在雙曲線的兩支上？(2) 當(dāng)a為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？解： 消去y(1) 聯(lián)立 (3a2)x22ax20 顯然a23，否則方程只有一解，于是直線與雙曲線至多一個(gè)交點(diǎn)若交點(diǎn)A、B在雙曲線

3、同支上，則方程滿足：a(，)(，)若A、B分別在雙曲線的兩支上，則有：a(，)(2) 若以AB為直徑的圓過點(diǎn)O，則OAOB，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)由于x1x2，x1x2y1y2(ax11)(ax21)a(x1x2)a2x1x21a2·a·11OAOB x1x2y1y20 1a±1此時(shí)0，符合要求變式訓(xùn)練1：已知直線y(a1)x1與曲線y2ax恰有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的值.解：聯(lián)立方程為(1) 當(dāng)a0時(shí)，此時(shí)方程組恰有一組解 (2) 當(dāng)a0時(shí)，消去x得 若0，即a1方程變?yōu)橐淮畏匠?，y10，方程組恰有一組解 若0，即a1，令0得1，解得a此時(shí)直線與曲線

4、相切，恰有一個(gè)公共點(diǎn)，綜上所述知，當(dāng)a0，1，時(shí)，直線與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)例2. 已知雙曲線方程2x2y22.(1) 求以A(2,1)為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線方程；(2) 過點(diǎn)B(1,1)能否作直線l，使l與所給雙曲線交于Q1、Q2兩點(diǎn)，且點(diǎn)B是弦Q1Q2的中點(diǎn)？這樣的直線l如果存在，求出它的方程；如果不存在，說明理由解：(1)即設(shè)的中點(diǎn)弦兩端點(diǎn)為，則有關(guān)系又據(jù)對(duì)稱性知，所以是中點(diǎn)弦所在直線的斜率，由、在雙曲線上，則有關(guān)系兩式相減是： 所求中點(diǎn)弦所在直線為，即(2)可假定直線存在，而求出的方程為，即方法同(1)，聯(lián)立方程，消去y,得然而方程的判別式，無實(shí)根，因此直線與雙曲線無交點(diǎn)，這一矛盾說

5、明了滿足條件的直線不存在變式訓(xùn)練2：若橢圓的弦被點(diǎn)（4，2）平分，則此弦所在直線的斜率為（ ）A2 B2 C D 解：D例3. 在拋物線y24x上恒有兩點(diǎn)關(guān)于直線ykx3對(duì)稱，求k的取值范圍解法一：設(shè)、關(guān)于直線對(duì)稱，直線方程為，代入得，設(shè)、，中點(diǎn)，則 點(diǎn)在直線上，代入，得，即解得解法二：設(shè)，關(guān)于對(duì)稱，中點(diǎn)，則相減得：，則 在拋物線內(nèi)部，化簡(jiǎn)而得，即，解得變式訓(xùn)練3：設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)P（2，1）的直線l與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，又知點(diǎn)P恰為AB的中點(diǎn)，則 .解：8例4. 已知橢圓1(a為常數(shù)，且a>1)，向量(1, t) (t >0)，過點(diǎn)A(a, 0)且以為方向向量的直線

6、與橢圓交于點(diǎn)B，直線BO交橢圓于點(diǎn)C（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1) 求t表示ABC的面積S( t )；(2) 若a2，t, 1，求S( t )的最大值CAOBxy解：(1) 直線AB的方程為：yt(xa)，由 得 y0或y 點(diǎn)B的縱坐標(biāo)為 S(t)SABC2SAOB|OA|·yB(2) 當(dāng)a2時(shí)，S(t) t，1， 4t24當(dāng)且僅當(dāng)4t，t時(shí)，上式等號(hào)成立. S(t)2即S(t)的最大值S(t)max2變式訓(xùn)練4：設(shè)橢圓C：的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，過點(diǎn)A作垂直于AF的直線交橢圓C于另外一點(diǎn)P，交x軸正半軸于點(diǎn)Q， 且 （1）求橢圓C的離心率； （2）若過A、Q、F三點(diǎn)的圓恰好與直線l： APQFOxy相切，求橢圓C的方程. 解：設(shè)Q（x0，0），由F（-c，0）A（0，b）知2分設(shè)，得因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓上，所以整理得2b2=3ac，即2（a2c2）=3ac，,故橢圓的離心率e由知，于是F（a，0）， QAQF的外接圓圓心為（a，0），半徑r=|FQ|=a所以，解得a=2，c=1，b=，小結(jié)歸納所求橢圓方程為小結(jié)歸納1判斷直線與圓錐曲線的位置關(guān)系時(shí)，注意數(shù)形結(jié)合；用判別式的方法時(shí)，若所得方程二次項(xiàng)的系數(shù)有參數(shù)，則需考慮二次項(xiàng)系數(shù)為零的情況2涉及中點(diǎn)弦的問題有兩種