易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)

1、易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)    指導(dǎo)老師：宋躍武 梁軍   李大偉，何安娜，任婧康    摘要：為了最大限度地減少單罐質(zhì)量、提高材料利用率、降低生產(chǎn)成本。本文根據(jù)易拉罐實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)，按照數(shù)學(xué)建模問題的要求，分別給出正圓柱體易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)和上部為圓臺(tái)下部為圓柱時(shí)易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)；然后，給出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的的最優(yōu)設(shè)計(jì), 這個(gè)設(shè)計(jì)用料最省、外觀精美和手握舒適。關(guān)鍵詞：目標(biāo)函數(shù)條件極值易拉罐厚度單罐重量 Optimal Design for the Shape and Size of Can

2、  LI Dawei, HE Anna, REN Jingkang     Instructor：SONG Yuewu, Liang Jun（Sanjiang University，Jiangsu Nanjing 210012 ,China)  Abstract: For the decreasing in the weight of a can and the increasing in the avail of material and the reducing in the cost of productio

3、n, the optimal design for the shape and size of can is present in this paper. Firstly, the optimum design for the cylinder can is present by according to its measuring data and the demands of mathematical modeling. Secondly, the optimum design for the can of circular truncated top and columnar botto

4、m is also present. Finally, the optimal design for the shape and size of can is proposed, and the superiorities of the proposed design in the avail of material and the handsome of form and the comfortable of handclasp are testified.  Keywords: Target function; Conditional extremum; Can thi

5、ckness; Can weight 1 概述如何在易拉罐生產(chǎn)中最大限度地減輕單罐質(zhì)量，提高材料利用率，降低生產(chǎn)成本，是企業(yè)追求的重要目標(biāo)。易拉罐的形狀和尺寸為何值時(shí)，才能最大限度的節(jié)省材料？這是一個(gè)條件極值問題，也就是在滿足易拉罐體積為355毫升的條件下，求易拉罐重量的最小值問題。由于易拉罐各部位承受的壓力不同，所以不同部位的材料厚度也不同。本文就是按照下列要求給出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)：（）取一個(gè)飲料量為355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可樂飲料罐，測(cè)量認(rèn)為驗(yàn)證模型所需要的數(shù)據(jù)，例如易拉罐各部分的直徑、高度，厚度等，并把數(shù)據(jù)列表加以說明。（）設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體。

6、什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸，例如說，半徑和高之比，等等。（3）設(shè)易拉罐的中心縱斷面如右圖所示，即上面部分是一個(gè)正圓臺(tái)，下面部分是一個(gè)正圓柱體。什么是它的最優(yōu)設(shè)計(jì)？其結(jié)果是否可以合理地說明你們所測(cè)量的易拉罐的形狀和尺寸。（4）利用對(duì)所測(cè)量的易拉罐的洞察和想象力，做出關(guān)于易拉罐形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 問題分析易拉罐的形狀和尺寸的最優(yōu)設(shè)計(jì)是一個(gè)決策問題，需要綜合考慮多方面的因素，首先是在容積不變的情況下，罐體材料盡量少。由于易拉罐內(nèi)側(cè)面和上下底面所受壓力的不同，所以不同位置的厚度也不同。問題一，我們?nèi)∫粋€(gè)355毫升的可口可樂飲料罐，要想測(cè)量各部分

7、的尺寸盡量精確，首先要了解易拉罐的生產(chǎn)過程，找出各部分尺寸的變化規(guī)律，再進(jìn)行實(shí)際測(cè)量。問題二，設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓柱體，怎樣設(shè)計(jì)能使用料最少？首先我們想到如果易拉罐的各壁厚度相同時(shí)，用料與罐子的表面積成正比，只要求得表面積最小時(shí)，半徑與高之比，就能將問題解決。但實(shí)際測(cè)得各面的厚度并不相同，不過制罐材料的體積仍然是可求的，體積最小時(shí)的半徑與高就是最省料的尺寸。問題三，設(shè)易拉罐是一個(gè)正圓臺(tái)與正圓柱體的組合，求在滿足約束條件V=355ml 的前提下，以制罐用鋁量最小為目標(biāo)函數(shù)。問題四，體積一定的幾何形體中，球體的表面積最小。我們想到將這一性質(zhì)運(yùn)用到易拉罐的設(shè)計(jì)中去，但由于球體不方便運(yùn)輸和擺放，我們把上

8、下底改為平面，而由于球體做成的罐子寬度較大不適合抓握，于是又想到將其拉伸，變成橢球體，就形成了類似古代的酒壇子形，我們將其稱為“酒罐”。在本題中 “酒罐”的厚度與實(shí)測(cè)易拉罐一樣（上下底的厚度為0.0275cm , 側(cè)邊的厚度0.011cm）。問題五是根據(jù)我們建模的親身經(jīng)歷，系統(tǒng)的分析了數(shù)學(xué)建模的一般步驟和心得體會(huì)。 模型假設(shè)（1）假設(shè)易拉罐的整個(gè)罐體用料全為鋁，且密度為 。（2）假設(shè)易拉罐的上底和下底的厚度相同。（3）假設(shè)易拉罐的容積為355毫升。（4）由于各種形狀易拉罐的拉環(huán)所用材料量相同，所以我們?cè)谇笾乒抻昧蠒r(shí)，不計(jì)算拉環(huán)的重量。（5）問題四中“酒罐”的厚度與實(shí)測(cè)易拉罐一樣（“酒

9、罐”的上下底的厚度為0.0275cm , 側(cè)邊的厚度為0.011cm） 模型的建立和求解4.1問題一：355毫升的可口可樂飲料罐的有關(guān)數(shù)據(jù)測(cè)量 4.1.1 易拉罐的制作過程：易拉罐又稱鋁質(zhì)易開蓋兩片罐，主要原料是鋁質(zhì)薄板，制作過程中需要兩片鋁板，成型主要有以下四道工序：沖杯、變薄拉伸、縮口/翻邊、加蓋。   易拉罐的測(cè)量：通過易拉罐的制作過程，我們知道上下底的圓臺(tái)側(cè)面是拉伸、縮口形成的，厚度并不均勻。為了建模的方便，我們將其簡(jiǎn)化，假定其厚度均勻，并在多個(gè)位置多次測(cè)量求平均值，得到以下的測(cè)量數(shù)據(jù)：右圖(圖1)為：355毫升易拉罐中心縱斷面圖   

10、                            表1：355毫升易拉罐的實(shí)測(cè)尺寸（單位：cm）并得到以下結(jié)論：1、易拉罐的側(cè)面是規(guī)則的圓柱體，而罐底和罐蓋的形狀不規(guī)則。2、上下底面的厚度相同。3、下底面是一個(gè)向內(nèi)凹的拱形，可以加大下底面的抗壓性。4、上部圓臺(tái)的傾角大于下部圓臺(tái)的傾角，因?yàn)橄虏繄A臺(tái)是由一整塊的鋁制薄板沖壓得

11、到，而上部的圓臺(tái)在加蓋時(shí)要與蓋子咬合，傾角不能太小。4.2問題二：正圓柱體易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)4.2.1  符號(hào)約定： 一個(gè)易拉罐的重量易拉罐圓柱側(cè)面厚度易拉罐上下底面厚度 易拉罐的體積 圓柱的高度圓柱的底面半徑4.2.2  模型的建立與求解：由于容積固定，可以用變量代換將變量減少，從而求出面積最小時(shí)的半徑與高的關(guān)系。我們的重點(diǎn)問題就是研究在易拉罐的各部分厚度不同的前提下，易拉罐的高和直徑之比為何值時(shí)能使得易拉罐的重量最小。我們以實(shí)測(cè)的易拉罐的各面厚度為依據(jù)，即 = =0.0110cm,  = =0.0275cm。4.2.2.1  易拉罐側(cè)面厚度與

12、上下底面厚度相同：定理一：當(dāng)制罐材料厚度相同時(shí)，易拉罐的高度與底面直徑相等時(shí)，制造時(shí)所消耗的鋁皮面積最小。在本題中，V=355ml ，計(jì)算得到當(dāng)r=3.8372cm ，h=7.6744cm 時(shí)用鋁量最省。即直徑和高相等時(shí)，單罐的耗鋁量最小。4.2.2.2 易拉罐側(cè)面厚度與上下底面厚度不同（上下底厚度為0.0275cm ,側(cè)面的厚度為0.011cm）：準(zhǔn)則一：易拉罐的造價(jià)與易拉罐的重量成正比 根據(jù)以上準(zhǔn)則，我們得到易拉罐的重量 的目標(biāo)函數(shù)為：Min s.t.  要求重量y的最小值，我們進(jìn)行求導(dǎo)，使導(dǎo)數(shù)為零：令 ，解得 ， 則 ，得到 定理二：正圓柱體形易拉罐，高與直徑之比為底面厚度與側(cè)

13、面厚度之比時(shí)，用料最節(jié)省，價(jià)格最低。當(dāng)我們考慮到各面材料差異時(shí)，將問題一中的測(cè)量數(shù)據(jù)帶入計(jì)算公式，側(cè)面厚度 ，上下底面厚度 ，得到 ， 14.1364cm時(shí)易拉罐的重量最輕。實(shí)際測(cè)得的  ， 。由于現(xiàn)實(shí)的易拉罐不是絕對(duì)的圓柱體，它的上下部還有一個(gè)圓臺(tái)，所以實(shí)際值和理論值有所差別是可以接受的。這樣就能解釋為什么易拉罐的高與底面直徑的比值在2左右了。 4.3問題三：易拉罐的縱斷面上部為圓臺(tái)，下部為圓柱時(shí)的最優(yōu)設(shè)計(jì)4.3.1 符號(hào)約定：?jiǎn)蝹€(gè)易拉罐的重量鋁的密度圓臺(tái)的體積圓臺(tái)的垂直高度圓臺(tái)的上底面半徑圓臺(tái)的斜高圓臺(tái)的側(cè)面積圓柱的側(cè)面積 圓臺(tái)的傾斜角圓柱的體積圓柱的高度右圖(圖2)圓

14、柱的底面半徑易拉罐的體積圓柱側(cè)面厚度圓柱底面的厚度（圓臺(tái)頂部的厚度）4.3.2模型的分析：易拉灌的中心縱斷面如圖2所示，為了求解的方便，我們將其分割為一個(gè)正圓臺(tái)和一個(gè)正圓柱分別求其體積和面積。右圖(圖2)為：上部為圓臺(tái)，下部為圓柱時(shí)的易拉罐易拉罐的縱斷面上部為正圓臺(tái)，下部為正圓柱，它的形狀是由, 四個(gè)變量決定的。我們要解決的問題就是如何確定這四個(gè)變量的值，使得易拉罐的重量y最小。4.3.3模型的建立和求解:我們要求一個(gè)飲料罐最省，就是要求易拉罐重量y最小，所以得到以下目標(biāo)函數(shù)，并寫出目標(biāo)函數(shù)和約束條件：Min s.t. 由于公式比較復(fù)雜，并不能直接通過理論求解來確定這四個(gè)變量。我們采用了計(jì)算機(jī)

15、編程搜索的方法來確定變量的值。為了編程容易實(shí)現(xiàn)，我們對(duì)變量的范圍作了一些限制，其中 ，而 ， ， 的值我們給一個(gè)較大的范圍，再用計(jì)算機(jī)編程搜索。4.3.4  模型的結(jié)果上式中有, 四個(gè)變量，我們將實(shí)測(cè)的已知數(shù)據(jù)代入以上目標(biāo)函數(shù)，用MATLAB編程搜索得到容積為355毫升的飲料罐，使用材料最少時(shí)，各部分尺寸如下表：表2：圓臺(tái)加圓柱時(shí)的最優(yōu)尺寸將以上最優(yōu)尺寸代入用料量的公式，得到最少用料為3.9065克。我們將優(yōu)化的尺寸與現(xiàn)實(shí)測(cè)量的尺寸相對(duì)比，列表如下： 表3： 假設(shè)的易拉罐與實(shí)測(cè)尺寸的對(duì)比由上表的對(duì)比發(fā)現(xiàn)，模型的上底面半徑、圓臺(tái)的傾斜角與實(shí)際測(cè)量的尺寸相差甚遠(yuǎn)，其他的尺寸相差

16、不大。造成這一結(jié)果的原因之一是易拉罐的凈含量為355毫升，而易拉罐的實(shí)際容積大于355毫升。模型中圓臺(tái)的傾斜角和上底面半徑都很小，導(dǎo)致上底面只有針尖大小，顯然是不能用于現(xiàn)實(shí)中的。這是由于上底面的厚度比圓臺(tái)側(cè)面厚度要大，增大圓臺(tái)側(cè)面的面積，就能減小上底面的面積，從而節(jié)省材料。但是現(xiàn)實(shí)生活中圓臺(tái)的傾斜角過小，翻邊、加蓋的工序難以完成，并且上底面太小使用也不方便，所以此模型要想運(yùn)用，還應(yīng)該改進(jìn)。 4.4 問題四：對(duì)易拉罐形狀和尺寸的重新設(shè)計(jì)4.4.1 符號(hào)約定：“酒罐”的體積 橢球上端的體積橢球上半端體積與半徑為r高 的圓柱體的體積之和半徑為r高 的圓柱體的體積“酒罐”的重量鋁的密度橢球的

17、表面積“酒罐”側(cè)面的面積“酒罐”上底面或下底面的面積“酒罐”側(cè)面的厚度“酒罐”上底面或下底面的厚度4.4.2 模型的分析查資料知道體積一定的幾何形體中，球體的表面積最小。所以我們想到將球體的這一特性運(yùn)用到易拉罐的設(shè)計(jì)中去，但由于球體不方便運(yùn)輸和擺放，我們把上下底改為平面，而由于罐體中間部位要適合人的手握，將球體拉長(zhǎng)變細(xì)，我們想到使用橢球體，類似古代的酒壇子，我們將其稱為“酒罐”。在本題中 “酒罐”的厚度與實(shí)測(cè)易拉罐一樣（“酒罐”的上下底的厚度為0.0275cm , 側(cè)邊的厚度為0.011cm）    把橢圓曲線 繞Z軸旋轉(zhuǎn)360度形成的橢球體方程為 ，再截去上下兩

18、個(gè)頂端就構(gòu)成了我們要的“酒罐”。具體見圖3圖3 “酒罐”的大致形狀圖我們知道，易拉罐的造價(jià)與易拉罐的重量成正比，所以我們要確定a,c,r的值使易拉罐的重量最小。4.4.3 模型的建立通過分析知道，這是非線性規(guī)劃問題，列出目標(biāo)函數(shù)和約束方程：通過程序計(jì)算我們看出當(dāng)r=0 ，a=c=4.3924cm時(shí)目標(biāo)函數(shù)y取最小， 克。在這里我們考慮到實(shí)用性，對(duì)罐頂半徑做了一定的限制，對(duì)罐身的寬度也做了一定的規(guī)定，使得新設(shè)計(jì)的罐子材料省，符合人體力學(xué)的要求，大小適中，使用方便。Min s.t. r，a，c的范圍是我們根據(jù)實(shí)際情況給出大概的取值區(qū)間，再由計(jì)算機(jī)進(jìn)行多次模擬縮小區(qū)間范圍最終確定。4.4.4 模型的

19、求解:通過計(jì)算機(jī)編程計(jì)算，我們認(rèn)為下表中的三種尺寸是比較合適的。表4：優(yōu)化的酒罐形易拉罐 以上三種易拉罐的形狀和尺寸是在各變量約束條件下，用計(jì)算機(jī)編程搜索得到，在綜合考慮用料的節(jié)省，各種年齡的人手握的舒適性，開口的大小方便飲用，我們認(rèn)為A型酒罐的設(shè)計(jì)最優(yōu)。因?yàn)榈谝?，A罐的寬度和高度比例適中，外型比較精巧，一般成人手握直徑為47厘米的物體時(shí)比較輕松，A罐最粗的地方直徑為6.52cm，手握在最粗處的下部時(shí)，可以更省力。第二，A罐開口半徑為2cm，有足夠的空間加蓋、加拉環(huán)，也可制成全開蓋（類似八寶粥）。第三，用料比其他的罐子都要節(jié)省。跟問題三中上部是正圓臺(tái)下部是正圓柱的易拉罐的用料相比，節(jié)

20、省了12.47%。4.4.5 模型的改進(jìn)：在上面的模型中，我們?cè)O(shè)計(jì)的“酒罐”，已綜合考慮了用料節(jié)省，外觀精美和手握的舒適性。對(duì)于上面的模型，我們并沒有考慮到罐內(nèi)氣體對(duì)罐壁的壓力，根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)，可以知道易拉罐由于受到過大的內(nèi)部壓力時(shí)罐底會(huì)鼓出，這樣“酒罐”就不能放平，所以我們還要對(duì)底面進(jìn)行拱形優(yōu)化，就像拱橋可以增加抗壓性的原理一樣?！熬乒蕖痹趥?cè)面的厚度其實(shí)應(yīng)該不一樣。由于側(cè)面為底面分擔(dān)了部分壓力，上下底面的厚度可以適當(dāng)減小，而當(dāng)罐體上下面同時(shí)被擠壓時(shí)，罐壁中間部分可能會(huì)爆裂，所以側(cè)面最鼓的地方，壁厚應(yīng)該最大，以保護(hù)罐體不會(huì)輕易變形。上面的模型中我們進(jìn)行了簡(jiǎn)化，使側(cè)面的厚度取同樣的值。其次就是罐的上底面與罐壁的銜接處要加厚，以免被氣壓沖裂。這就是我們的模型需要改進(jìn)的地方（見圖7）。圖7新設(shè)計(jì)的“酒罐”中心縱斷面5 結(jié)束語由于易拉灌的主要原料為鋁質(zhì)薄板，降低鋁板的消耗是降低易拉罐生產(chǎn)成本的主要措施，而減薄鋁板的厚度，降低單罐所耗用的鋁板重量是降低易拉罐成本的重要技術(shù)手段。但是減小鋁板厚度的同時(shí)，要利用形狀的變化減小內(nèi)部壓強(qiáng)。以上的模型中，易拉罐的形狀和尺寸的優(yōu)化設(shè)計(jì)外觀精美：合理的利用易拉罐的外表面，使其擁有優(yōu)