2019-2020學(xué)年福建省三明市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁共 1717 頁2019-2020 學(xué)年福建省三明市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題、單選題1 1 .已知直線I的傾斜角為45，則I的斜率為（）A A . 3B B.1C C. 2D D . 323【答案】B B【解析】直接根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系得到答案 【詳解】k tan tan 1. .4故選：B. .【點(diǎn)睛】本題考查了傾斜角和斜率，屬于簡單題 2 2.已知 i i 為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù) -2L-2L = =（）1 iA A.1 iB B. 1 1 i iC C. 1 1 i iD D. 1 1 i i【答案】A A【解析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解，得到答案 【詳解】2i 1 i1 i

2、，故選 A.A.1 i 1 i【點(diǎn)睛】關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題13 3 .計(jì)算3083( ( ) )277211A A .B B.C C.D D .3323【答案】D D【解析】直接計(jì)算得到答案【詳解】130A31 2 1. .由復(fù)數(shù)的運(yùn)算，可得復(fù)數(shù)2i1 i本題主要考查了復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算,其中解答中熟記的除法運(yùn)算方法,準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的第2 2頁共 1717 頁2733故選：D. .【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)幕的計(jì)算，屬于簡單題 4 4以1,2為圓心且過原點(diǎn)的圓的方程為 （）2A A X 1y 22話B B 2x 1y 22、522 22 -C C x1y 25D D x 1y 2

3、5【答案】 C C【解析】設(shè)圓方程為x 12y 22r2，代入點(diǎn)0,0，計(jì)算得到答案【詳解】設(shè)圓方程為X 12y 22r2，代入點(diǎn)0,0得到r5,即圓方程為X 12y 225. .故選：C. .【點(diǎn)睛】本題考查了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力5 5 雙曲線x22y_41的漸近線方程為（) )11AyxB B.yxC C y 2xD D y y 4x4x42【答案】 C C【解析】根據(jù)漸近線公式直接得到答案 . .【詳解】2雙曲線X21的漸近線方程為：y 2x. .4故選：C. .【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程，屬于簡單題 1 126 6函數(shù) y y - - x x 的圖象大致是（）

4、x x第3 3頁共 1717 頁【答案】D D得到答案. .【詳解】對比圖象知：D滿足條件 故選：D. .【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求單調(diào)區(qū)間，函數(shù)圖像的識別，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用 7 7.若x, y,，且xsin x ysin y 0，則下列不等式一定成立的是 （）2 2A A.x yB B.xyC C.x yD D.x y【答案】D D【解析】 設(shè)函數(shù)f x xsinx，函數(shù)為偶函數(shù)，求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，變換得到f x f y，得到答案 1【解析】求導(dǎo)得到y(tǒng)-122xx2x31x2，得到函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷圖象1 1212x31訂2x31y y _ _ X X ,y

5、22x2，取y20得到xx xxxx故函數(shù)在0,上單調(diào)遞減，在,0上單調(diào)遞減，在2113上單調(diào)遞2C C .i13第4 4頁共 1717 頁【詳解】第5 5頁共 1717 頁設(shè)函數(shù)f x xsinx,函數(shù)為偶函數(shù)，則f x sinx xcosx 0在0,上恒成2即函數(shù)在0,上單調(diào)遞增，在一,0上單調(diào)遞減 22xsinx ysin y 0，即f x f y，根據(jù)單調(diào)性知x y. .故選：D. .【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)單調(diào)性解不等式，構(gòu)造函數(shù)f x xsinx是解題的關(guān)鍵【詳解】故選：B. .【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系求參數(shù)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力8 8 .已知直線I:

6、2與圓O：x24有交點(diǎn)，若k的最大值和最小M ,m，則log|t|logr,m的值為（B B. 0 0【答【解根據(jù)直線和圓相交得到kt t1 k22，整理得到t24k22 22t k t 40，根據(jù)韋達(dá)定理得到t2Mm2t 4，計(jì)算得到答案 直線I:tt 2即kx y kt t0與圓O：y24有交點(diǎn),kt1 k22整理得到t2 24 k 2t kt24當(dāng)不等式取等號時,k對應(yīng)最大值和最小值，此時Mmt24t24故logh| M logNmlogjq Mm logt1 0第6 6頁共 1717 頁、多選題第 5 5 頁共 i7i7 頁2 29 9 .已知方程mx ny 1m, n R，則（）A

7、A 當(dāng)mn 0時，方程表示橢圓B B 當(dāng)mn 0時，方程表示雙曲線C C .當(dāng)m 0時，方程表示兩條直線D D .方程表示的曲線不可能為拋物線【答案】BDBD【解析】根據(jù)橢圓，雙曲線，拋物線的定義依次判斷每個選項(xiàng)得到答案【詳解】A.A. 取m n 1，此時表示圓，錯誤；B.B. 當(dāng)mn 0時，方程表示焦點(diǎn)在x軸或y軸上的雙曲線，正確；C C 當(dāng)m 0,n 0時，方程不成立，錯誤；D.D.方程表示的曲線不含有一次項(xiàng)，故不可能為拋物線，正確；故選：BD. .【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓，雙曲線，拋物線的定義，意在考查學(xué)生對于圓錐曲線的理解1010 如圖，在長方體ABCD AiBiCiDi中，AB 5，A

8、D 4，AA3，以直線DA，C C .點(diǎn)A關(guān)于直線BDi對稱的點(diǎn)為0,5,3D D .點(diǎn)C關(guān)于平面ABBiAi對稱的點(diǎn)為8,5,0【答案】ACDACD【解析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于直線，點(diǎn)關(guān)于平面的對稱法則，依次判斷每個選項(xiàng)得到答案 【詳解】 根據(jù)題意知：點(diǎn)Bi的坐標(biāo)為4,5,3,A正確；B的坐標(biāo)為4,5,0,Ci坐標(biāo)為0,5,3,故點(diǎn)Ci關(guān)于點(diǎn)B對稱的點(diǎn)為8,5, 3,B錯y軸、z z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 （）占八Ci關(guān)于點(diǎn)B對稱的點(diǎn)為5,8, 3第8 8頁共 1717 頁誤；點(diǎn)A關(guān)于直線BDi對稱的點(diǎn)為G 0,5,3,C正確;點(diǎn)C 0,5,0關(guān)于平面ABB1A1對稱的點(diǎn)為8,5,0,

9、D正確;故選：ACD. .【點(diǎn)睛】 本題考查了空間中的對稱問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力1111.下列說法正確的是（）x R，使得x2x 10;D應(yīng)為充分不必要條件，得到答案【詳解】A.A.命題若 x x y y 且x y，則x y”為真命題，正確；B.B. 逆命題是：若 a a 1 1，則直線ax y 10與直線x ay 20平行，即x y 10和x y 20平行，正確；C.C.若P:x R，使得x2x 10，則P:x R，使得x2x 10,C錯誤；D.D.x x y In x 1”是x 1,”的充分不必要條件，錯誤；故選：AB. .【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假判斷，逆命題，特稱

10、命題的否定，充要條件，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力 x 31212 .已知函數(shù)f x e x，則以下結(jié)論正確的是 （）A A 命題若 x xy y 且x y，則y”為真命題B B.若直線axy 10與直線ay 20平行，則 a a 1 1 ”的逆命題是真命題C C 若PR，使得x2x0,則P:x R，使得x2x 10XIn x 1”是“x1,”的充要條件【答ABAB【解依次判斷每個選項(xiàng)：判斷知A正確；根據(jù)平行的性質(zhì)知B正確；C選項(xiàng)應(yīng)為第9 9頁共 1717 頁B正確;x則g x e x x 2，故函數(shù)在0,上單調(diào)遞增，在2,0上單調(diào)遞減,4在,2上單調(diào)遞增，且g 2-2. .e4畫出函數(shù)圖象，如

11、圖所示：當(dāng)0 k時有 3 3 個交點(diǎn). .e綜上所述：存在實(shí)數(shù)k，使得方程f x kx有4個實(shí)數(shù)解，D正確；A A f X在R上B B f log52 f e2f InC C.方程f x1有實(shí)數(shù)解個實(shí)數(shù)解【答案】BCDBCDD D 存在實(shí)數(shù)k,使得方程f X kx有4【解析】求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性得到A錯誤；判斷o iog521e 1,ln 1得到B正確；根據(jù)f 327e1得到C正確；構(gòu)造函數(shù)exx2，畫出函數(shù)圖象知D正確，得到答案 【詳x 2e 3x故函數(shù)在上單調(diào)遞減,3,上單調(diào)遞增，A錯誤;0 log521e21,ln1，根據(jù)單調(diào)性知f Iog52In,kx, 易知當(dāng)27e故方程f x1有實(shí)

12、數(shù)解,C正確;0時成立，當(dāng)x 0時，k2，設(shè)g x第1010頁共 1717 頁故選：BCD. .71 1V 1T-4 3 -2 -1012K-1【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，比較函數(shù)值大小，方程解的個數(shù)，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用. .三、填空題1313已知直線l:x 2y 1 0，則過點(diǎn)1,2且垂直于I的直線方程為 _【答案】2x y 40【解析】根據(jù)垂直得到k 2,計(jì)算直線方程得到答案 【詳解】直線1:x 2y 10,則k11，根據(jù)垂直知k 2,2故直線方程為y 2x 12，即2x y 40. .故答案為：2x y 40. .【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)垂直求直線方程，意在考查學(xué)生的計(jì)

13、算能力1414 為迎接2022年北京冬奧會，短道速滑隊(duì)組織甲、乙、丙等6名隊(duì)員參加選拔賽，比賽結(jié)果沒有并列名次 記 甲得第一名”為P,乙得第一名”為q,丙得第一名”為r, 若P q是真命題，p r是真命題，則得第一名的是 _ . .【答案】乙【解析】根據(jù)P q是真命題，P或q為真命題，r為假命題，p為真命題，得到答案. .【詳解】因?yàn)榈谝幻挥幸粋€，所以由P q是真命題，可得命題P與命題q有且只有一個為真命題，則r必為假命題，第1111頁共 1717 頁又因?yàn)閜 r是真命題，則p為真命題，故P為假命題，故q為真命題. .第1212頁共 1717 頁故答案為：乙 【點(diǎn)睛】本題考查了邏輯推理和命題

14、的判斷，意在考查學(xué)生的邏輯推理能力321515 .已知f x是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x 0時，f X 2x 3x a，則f 2_;曲線y f x在點(diǎn)2, f 2處的切線方程為 _【答案】412x y 20 032的解析式為f X 2x 3x,求導(dǎo)得到切線方程【詳解】f x是定義在R上的奇函數(shù)，貝y f 02 2 1616 1212即12x y 200. .故答案為：4;12x y 20 0. .【點(diǎn)睛】 本題考查了函數(shù)的奇偶性，求函數(shù)值，函數(shù)的切線方程，意在考查學(xué)生對于函數(shù)知識的綜合應(yīng)用4為C的一個焦點(diǎn)，若tan PFQ -,QF 5 PF，則雙曲線C的離心率為3【答案】、2【解析】如圖所示：

15、連接PF1,QF1，根據(jù)對稱性知PF1QF為平行四邊形，計(jì)算得到【解析】根據(jù)奇函數(shù)得到a0，計(jì)算 f f 2 21616 12124，求得X 0時當(dāng)x 0時，x 0,故fx2x33x22x33x2f x 6x26x,f212，故切線方12 x 21616 .設(shè)過原點(diǎn)的直線與雙曲線2yb21 a 0,b0交于P,Q兩個不同點(diǎn),第1313頁共 1717 頁P(yáng)F15a2PFa一，利用余弦定理計(jì)算得到答案2【詳如圖所示：連接PF1,QF1，根據(jù)對稱性知PF1QF為平行四邊形第1414頁共 1717 頁e 2. .故答案為：2. .本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力 四、解答題

16、1717 .已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z 2 i 4 2i i. .(1)(1)求復(fù)數(shù) z z 的模z；若z mz n 1 3i(m,n R,z是 z z 的共軛復(fù)數(shù))，求m和n的值. .m 0【答案】(1)5(1)5 ; (2)(2). .n 3【解析】(1 1)化簡得到z 4 3i，計(jì)算模長得到答案 (2 2)化簡得到4 4m n 3 3m i 1 3i，計(jì)算得到答案 【詳解】(1)(1)因?yàn)閦 2 i 4 2i i，所以z 2 i 4i 24 3i，則z x/42325. .tan PFQ4，則cosPFQ3- cos5F1PFQF |PF5 PF,PFiPF 2a，故|PFi5a，pFi根

17、據(jù)余弦定理：4c225a2a25aa222 23， 化簡得到c22a2， 故z 4 3i,z 4 3i，所以z mz n 4 3i m 4 3i n 1 3i,4 4mn 1,m 0即4 4m n 3 3m i1 3i，所以解得3 3m3,n 3【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的計(jì)算，模長,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力 2x,x 0r r小1818 .已知函數(shù)f x且f f 21. .logax, x 0(1)(1)求實(shí)數(shù)a的值；當(dāng)x 2,2時，求f x的值域. .【答案】(1)4(1)4; (2)(2),1. .【解析】(1 1)代入數(shù)據(jù)直接計(jì)算得到答案 (2 2)分別計(jì)算x 2,0和x 0,2的值域，綜合

18、得到答案【詳解】(1)(1)f2221,故f f 21 1fl0ga，令lOga1-1，解得a 44444當(dāng)x2,0時，-xf x 2區(qū)間2,0上單調(diào)遞增，所以fx -,1;4當(dāng)x0,2時,f f x xl0gl0g4x x 區(qū)間0,2上單調(diào)遞增，所以f x1,2，綜上，當(dāng)x 2,2時，函數(shù)f x的值域是,1. .【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)值求參數(shù)，分段函數(shù)的值域，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力 1919 .已知動點(diǎn)P在y軸的右側(cè)，且點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離比它到點(diǎn)F 1,0的距離小1. .(1)(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；設(shè)斜率為1且不過點(diǎn)M 1,2的直線交C于A, B兩點(diǎn)，直線MA,MB的斜率分別為K,

19、 k2，求k1k2的值 2【答案】(1)y 4x x 0； (2)0.(2)0.【解析】(1 1)根據(jù)題意知軌跡是拋物線，計(jì)算得到答案(2(2)設(shè)直線AB:y X b b3,Ax%,B X2,y2，聯(lián)立方程，利用韋達(dá) 第 1111 頁共 1717 頁第1616頁共 1717 頁定理得到x12 27 7，x2專，代人計(jì)算得到答案. .【詳解】(1)(1)依題意動點(diǎn)P的軌跡是拋物線(除原點(diǎn))，其焦點(diǎn)為F 1,0，準(zhǔn)線為x設(shè)其方程為y22pxp 0，則21，解得p2,所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程是y24x x 0. .(2)(2)設(shè)直線AB:y,A花畀,B X2,y2,4x,得yx b,2y4b，即y4

20、y4b 0,16 16b0，所以b1,yiy24，因?yàn)閄iX2所以kk2y22y12比144 y24 y124y22% 2y22因此k1k20. .【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程, 定值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力2020 已知四棱錐PABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB/CD,ACIBD O,PB AB2 2，AC PB. .平面ABCD(2)(2)求二面角A PD B的余弦值. .【答案】證明見解析；(2)(2)66第1717頁共 1717 頁【解析】(1 1)證明AC BD,PB AC得到AC平面 PBDPBD，得到證明(2 2)以O(shè)A,OB,OP所在直線分別為x軸，y軸，z z 軸建立空

21、間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面virPAD的法向量為n 1, 2,1，平面PBD的一個法向量m 1,0,0，利用夾角公式 得到答案 【詳解】(1)(1)在等腰梯形ABCD中，OA OB 2，Q AB 2 2，AB2OA2OB2，所以O(shè)A OB，即AC BD，又因?yàn)镻B AC，且BDI PB B，所以AC平面 PBDPBD，又因?yàn)锳C平面ABCD，因此平面PBD平面ABCD. .連接PO，由知，AC平面 PBDPBD，所以AC PO，所以PO、PA20A22，所以PB2PO2OB2，即PO OB，又Q OA OB，以O(shè)A,OB,OP所在直線分別為x軸，y軸，z z 軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A 2,0,0

22、，D 0, 1,0，rP0,0,2，UUUUJIV設(shè)平面PAD的法向量為nx,y,z，因?yàn)镻A 2,0, 2，PD0, 1, 2，需VPA0,口2x 2z0,所以vULiV，即VPD0,y 2z0,令z 1，則x1，y2，所以平面PAD的一個法向量V1,2,1，irQ Q ACAC 平面 PBDPBD， 平面 PBDPBD 的一個法向量m 1,0,0，所以cos m, n所以二面角A PD B的余弦值為 6 6. .6【點(diǎn)睛】m n .6mn v3t第1818頁共 1717 頁本題考查了面面垂直，二面角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力2121 阿基米德(公元前287年一公元前212年)不

23、僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積 已知平面直角坐標(biāo)系2 2xOy中，橢圓C: %爲(wèi)1aa bb 0的面積為2、3,兩焦點(diǎn)與短軸的一個頂點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形(1)(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)(2)過點(diǎn)P 1,0的直線I與C交于不同的兩點(diǎn)代B，求VOAB面積的最大值 【答案】【解析】(1(1)根據(jù)題意計(jì)算得到a 2,b a得到橢圓方程 (2)設(shè)直線|的方程為x my1,聯(lián)立方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到y(tǒng)1y26m3m24y1y293m，表示出43m2【詳解】ab(1)(1)依題意有a2a2、3,2c,b2解得a 2,L 所以橢圓C

24、的標(biāo)準(zhǔn)方程是b 3,2y3(2)(2)由題意直線I的斜率不能為 0 0 ,設(shè)直線I的方程為x myx由方程組x24my 1,y2得3 m21,34 y26my 9設(shè)A X1, y1,B X2, y2,所以y1y26m，y1 y29,3 m24所以所以y1y2y24y1y212 m213m24SVOABOPy1y2(t 1),則m2丄2SVOABt 1,6t3t216_1,3t第1919頁共 1717 頁0恒成立,第2020頁共 1717 頁1 1因?yàn)?3t3t -在1,上單調(diào)遞增，3所以當(dāng)t 1,即m 0時，VOAB面積取得最大值為3. .2【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程， 橢圓內(nèi)三角形面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力 2222 .已知函數(shù)f x In x ax a R. .（1 1）討論f x的單調(diào)性;m的取值范圍. .1m t-根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到取值范圍t【詳解】(1)(1)Q f0,且f x11 axx定義域?yàn)閍,xx當(dāng) a a0 0 時，fx0,f x在0,上單調(diào)遞增，當(dāng)a0時