2019屆上海市延安中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試題(解析版)

1、第1 1頁(yè)共 1515 頁(yè)2019 屆上海市延安中學(xué)高三三模數(shù)學(xué)試題一、單選題11 1 .x 1是x -xA A .充分不必要2的()條件C C 充要D D .既不充分也不B B. 必要不充分必要【答案】B B【解析】利用充分條件、必要條件與集合包含關(guān)系之間的等價(jià)關(guān)系，即可得出?！驹斀狻?設(shè)P：x 1對(duì)應(yīng)的集合是A ( ,1)，由x2解得x 0且x 1x1q：x2對(duì)應(yīng)的集合是B , 1 U 1,0，所以Bn A，x1故x 1是x 2的必要不充分條件，故選 B B。x【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件、必要條件的判斷方法一一集合關(guān)系法。設(shè)A x x p，B x x q，如果A B，則p是q的充分條件；

2、如果AnB則p是q的充分不必要條件；如果B A，則P是q的必要條件；如果Bn A，則P是q的必要不充分條件。/ 11 1、22 2.已知無(wú)窮等比數(shù)列an的公比為 2 2,且im()，貝ya1a3a2n 13/ 111、im( )()na2a4a2n124A .-B.C C.1D D.333【答案】A A【解析】 依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式，先求出首項(xiàng)印，再求出a2，利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?！驹斀狻?1因?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列an的公比為 2 2，則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為 。an2第2 2頁(yè)共 1515 頁(yè)(x 1)22x 1，則f(1) g(1)()B B. 0 0【答案】C C【解析】先根

3、據(jù)奇偶性，求出f (x) g(x)的解析式，令【詳解】【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用?！敬鸢浮緼 A1由lim(11-)2有，a12，解得a12，所以a24,nda3a2n1311431nim(丄1丄)41丄1，故選 A Aona2a432n34【點(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。3 3 .設(shè) f(x)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x) g(x)即可求出。因?yàn)?f(x)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),f(x)g(x) (x 1)22x1,用x替換x，得f ( x) g( x)1)22x 1,化簡(jiǎn)得f(x) g(x) (x 1

4、)22即f (x) g(x)2x1(x 1)2令x 1，所以f (1) g(1)200故選 C Co4 4.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為 2 2,uiuv的動(dòng)點(diǎn)，并滿(mǎn)足AED為邊BC的中點(diǎn),E、F分別為邊AB、AC上uuv2 CF，則 DfDfDF7的取值范圍是(B B.(1C. -,0D D.(,0第3 3頁(yè)共 1515 頁(yè)【解析】建立平面直角坐標(biāo)系,求出直線AB : y . 3( x1)，AC: y ,3(x 1)設(shè)出點(diǎn)E(m,、3(m 1), F(n, ,3(niuruuu1)，通過(guò)|AE| 2 |CF |，找出m與n的關(guān)系.通過(guò)數(shù)量積的二次函數(shù)，禾U用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，求出其值域，即為

5、DE DF的取值范圍.【點(diǎn)睛】第 3 3 頁(yè)共 1515 頁(yè)【詳解】 以 D D 為原點(diǎn)，BCBC 所在直線為X軸，ADAD 所在直線為y軸建系，設(shè)A(0,、.3),B( 1,0),C(1,0)，則直線AB:y .3(x 1),AC : y 3( x 1)設(shè)點(diǎn)E(m, ,3(m 1),F(n, ,3(n1)，1 m0,0n1uuu-UUL、3(n所以AE(m, 3m), CF (n 1,1)uuuUUUO22由| AE |2|CF|得m24(n 1)2，即m2(n 1),LujurUULT721所以DEDF mn 3(m 1)(n 1)4n27n 34(n 4)2丄8 16172由1 m2(n

6、1)0及0 n 1，解得n 1，由二次函數(shù)y 4(n)281 1iuur rnr1 1的圖像知，y -,-_，所以DEDF的取值范圍是2，花故選 A A .【點(diǎn)睛】本題主要考查解析法在向量中的應(yīng)用，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的運(yùn)用.二、填空題5 5 不等式VT7 1的解集為_(kāi)【答案】1,2)【解析】通過(guò)平方，將無(wú)理不等式化為有理不等式求解即可。【詳解】由X 11得0 x 11，解得1 x 2,所以解集是1,2)?！军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)理不等式的解法。6 6.點(diǎn)(2,1)到直線3x 4y 0的距離為_(kāi)【答案】2 2【解析】直接根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求出?！驹斀狻?3 2 1 41依據(jù)點(diǎn)到直線的距離公

7、式，點(diǎn)(2,1)到直線3x 4y 0的距離為2=2。V34丄16第5 5頁(yè)共 1515 頁(yè)本題主要考查點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用。27 7在(X2)6的二項(xiàng)展開(kāi)式中，所有項(xiàng)的系數(shù)的和為 _X【答案】1 12【解析】設(shè)f(x) (x2-)6，令X 1，f (1)的值即為所有項(xiàng)的系數(shù)之和。X【詳解】2設(shè)f (x) (X2)6，令X 1，X所有項(xiàng)的系數(shù)的和為f (1)=(1-2)61?！军c(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開(kāi)式所有項(xiàng)的系數(shù)的和的求法一賦值法。一般地,對(duì)于f(x) (ax b)n，展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)之和為f (1)，注意與 二項(xiàng)式系數(shù)之和”區(qū)分。8 8 若復(fù)數(shù)z 1 3i(i是虛數(shù)單位)，則z(Z 1

8、0)_【答案】30i【解析】直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】QZ=1 3i，z(Z 10)(1 3i)(1 3i 10)30i【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.9 9 .已知一個(gè)圓錐的底面積和側(cè)面積分別為9 9 和15，則該圓錐的體積為 _【答案】1212【解析】依據(jù)圓錐的底面積和側(cè)面積公式，求出底面半徑和母線長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理求 出圓錐的高，最后利用圓錐的體積公式求出體積?！驹斀狻俊军c(diǎn)睛】設(shè)圓錐的底面r，母線長(zhǎng)為I，高為h，所以有r29rl 15解得h I2r2、52324故該圓錐的體積為V二212r h -3412。3第6 6頁(yè)共 1515 頁(yè)101

9、0 從 2 2、3 3、5 5、7 7、1111、1313 這六個(gè)質(zhì)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率本題主要考查圓錐的底面積、側(cè)面積和體積公式的應(yīng)用。第7 7頁(yè)共 1515 頁(yè)(結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示)15,枉取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件有(2,32,3), (2,52,5),【點(diǎn)睛】 本題主要考查古典概型的概率求法?！敬鸢浮縤 i【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域， 將直線進(jìn)行平移，利用z 2x可求出目標(biāo)函數(shù)的最大值。【詳解】由z 2x y，得y 2x z，作出可行域，如圖所示:0 x 1c，解得 ，代入直線z 2x y，得z0y 1【點(diǎn)睛】【答案】【解析】15依據(jù)古典概型的計(jì)算公式,分

10、別求 任取兩個(gè)數(shù)”和 任取兩個(gè)數(shù)，和是質(zhì)數(shù)”的事件數(shù),計(jì)算即可。【詳解】(2,11(2,11 )共 3 3 個(gè)，所以任取兩個(gè)數(shù),這兩個(gè)數(shù)的和仍是質(zhì)數(shù)的概率是31P15 5。1111滿(mǎn)足線性的約束條件x的目標(biāo)函數(shù)z 2x y的最大值為2本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題的解法平移法。1212 .設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且對(duì)任意正整數(shù)n,都有an02n0,則Sn2任取兩個(gè)數(shù)”的事件數(shù)為n C6y的幾何意義,2x z,由圖像知，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，截距最小,此時(shí)z z 取得最大值。平移直線y第8 8頁(yè)共 1515 頁(yè)第9 9頁(yè)共 1515 頁(yè)ai【答案】【解析】 利用行列式定義，得到an與Sn的關(guān)系，

11、賦值n 1，即可求出結(jié)果?！驹斀狻縜n02nSn2n Sn2nan(Sn2n) 10,令n得a1(a12)0，解得a1【點(diǎn)睛】本題主要考查行列式定義的應(yīng)用。1313 .若關(guān)于x的不等式log1(4 0，設(shè)t2x1,4t， 由函數(shù)y4t在1,上遞減,1所以-4t 1 t【點(diǎn)睛】3，故實(shí)數(shù)的取值范圍是本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及恒成立問(wèn)題的常規(guī)解法分離參數(shù)法。1414 .已知一組數(shù)據(jù)1, 1 1, 0 0,2,x的方差為1010,則x【答案】【解析】 依據(jù)方差公式列出方程，解出即可.【詳解】0 0,x的平均數(shù)為乙上5所以22510第1010頁(yè)共 1515 頁(yè)第1111頁(yè)共 1515 頁(yè)解得x

12、 7或x 8【點(diǎn)睛】本題主要考查方差公式的應(yīng)用.x2y21515 .設(shè)Fi、F2分別為橢圓F:1的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)Fi作斜率為 1 1 的直43【解析】由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)Fi的坐標(biāo)，寫(xiě)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立,【詳解】【點(diǎn)睛】法，注意直線過(guò)焦點(diǎn)，位置特殊，采取合適的弦長(zhǎng)公式，簡(jiǎn)化運(yùn)算。11616.已知關(guān)于x的方程a |sinx| sinx在區(qū)間0,2 上恰有兩個(gè)解，貝U實(shí)數(shù)a的取2值范圍是_3 1【答案】(二丄)2 21【解析】先換元，令t si nx，將原方程轉(zhuǎn)化為att,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研2究?jī)珊瘮?shù)的圖像交點(diǎn)，觀察圖像，即可求出.【詳解】線，交于A、B兩點(diǎn)，貝U | AF2

13、1|BF2| _【答案】32求出弦長(zhǎng),利用定義可得| AF2| BF2| AB4a，進(jìn)而求出| AF2| | BF2|。3x2Xi2y34(xX2由定義有,所以IAF2|1知，焦點(diǎn)Fi( 1,0)，所以直線I2 21)12，即7x 8x 80，設(shè)7，故AB| AF2| | BF2|BF2| 4 22aAB247e(xiX2)4a,32072y y x x 1 1，代入4A(xi, yj, B(X2, y2),1/8、24()277本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)單幾以及直線與橢圓位置關(guān)系中弦長(zhǎng)的求第1212頁(yè)共 1515 頁(yè)1因?yàn)殛P(guān)于x的方程a | si nx|si nx在區(qū)間0,2 上恰有兩個(gè)解，令t

14、si nx,所以21方程a t - t在t 1,0 U 0,1上只有一解，即有2第1313頁(yè)共 1515 頁(yè)求異面直線A1C與直線AD1所成的角的大小;t1t1直線y a與y1,0 U 0,1的圖像有一個(gè)交點(diǎn),綜上實(shí)數(shù)3 1a的取值范圍是(,一). .2 2【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力,方程有解問(wèn)題點(diǎn)問(wèn)題，是常見(jiàn)的轉(zhuǎn)化方式.三、解答題1717 .如圖，在正四棱柱ABCD A1BQ1D1中，已知AB 1,BB12. .第1414頁(yè)共 1515 頁(yè)(2)求點(diǎn)C到平面AB1D1的距離 第1515頁(yè)共 1515 頁(yè)【答案】(1 1)arccos30; (2 2)4. .103uji

15、rujun【解析】(1)建立空間坐標(biāo)系，通過(guò)求向量AC與向量AD1的夾角，轉(zhuǎn)化為異面直線AC與直線AD1所成的角的大小；( (2 2)先求出面AB1D1的一個(gè)法向量，再用點(diǎn)到面的距離 公式算出即可.【詳解】 以A為原點(diǎn)，ABAD，4A所在直線分別為x, y,z軸建系,設(shè)A(0,0,0), C(1,1,2), A(0,0,2), D1(0,1,0)uuuu所以AC(1,1,2), ,AD1(01,uuur uuuurA C AD1uuur uuuu2)uuur uuuu cosA1C,AD1112(2)AC AD16、53010所以異面直線AC與直線AD1所成的角的余弦值為30，異面直線AC與直

16、線AD110所成的角的大小為730arccos10uuuu(2)因?yàn)锳D1(01,2),umrB1D1(1,1,0)，設(shè)(x,y,z)(x,y,z)是面ABD的一個(gè)法向量,所以有vnvnuuuvAD1uuuu/B1D12z1,z，故n (1,1丄),2uuuu又DC(10,2)，所以點(diǎn)【點(diǎn)睛】本題主要考查意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.1818 某市計(jì)劃在一片空地上建一個(gè)集購(gòu)物、餐飲、娛樂(lè)為一體的大型綜合園區(qū)，如圖,已知兩個(gè)購(gòu)物廣場(chǎng)的占地都呈正方形，它們的面積分別為1313 公頃和 8 8 公頃；美食城和歡樂(lè)大世界的占地也都呈正方形，分別記它們的面積為 $公頃和 S,S,公頃；由購(gòu)物廣

17、場(chǎng)、美食城和歡樂(lè)大世界圍成的兩塊公共綠地都呈三角形，分別記它們的面積為S3公頃和第1616頁(yè)共 1515 頁(yè)（1）設(shè)BAC，用關(guān)于 的函數(shù)S（）表示SS2S3S4，并求S（）在區(qū)間（0,）上的最大值的近似值（精確到 0.0010.001 公頃）；（2 2）如果 S!S!S2S3S452，并且S,S2，試分別求出s、S S2、S3、S4的值. .【答案】（1）S,S2$3S4422 .26 sin，最大值52.198公頃；（2 2）1717、2525、5 5、5.5.【解析】（1 1）由余弦定理求出三角形 ABCABC 的邊長(zhǎng) BCBC,進(jìn)而可以求出S1，S2，由面積 公式求出S3，S4，即可求

18、出S（），并求出最值；（2 2）由（1 1）知，S1S242，S3S4， 即可求出S3、S4，再算出sin ,cos，代入（1 1）中表達(dá)式求出S1，S2?！驹斀狻?門(mén) 由余弦定理得，BC213 8 2 ,13 ,8 cos 21 4.26 cos所以，S121 4 26 cos，同理可得S221 4 26cos()=21 4 26 cos又SsS4丄.8 sin.26 sin2所以S( )=S1S2S3S4=42 2 26sin故S、S S2、S3、S4的值分別是 1717、2525、5 5、5 5?！军c(diǎn)睛】本題主要考查利用余弦定理解三角形以及同角三角函數(shù)平方關(guān)系的應(yīng)用,故S(）在區(qū)間（0,

19、）上的最大值為422 26，近似值為52.198。(2)由（1 1）知,SS242，S3S4，所以S3S4=5，進(jìn)而sin5.26，S2知，cos 0，cos3=21417, S221425意在考查學(xué)生S4公頃. .第1717頁(yè)共 1515 頁(yè)的數(shù)學(xué)建模以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力。1919 在本題中，我們把具體如下性質(zhì)的函數(shù)f(x)f(x)叫做區(qū)間D上的閉函數(shù)：f(x)f(x)的定義域和值域都是D:f(x)f(x)在D上是增函數(shù)或者減函數(shù). .(1 1)若f(x) tan( x)在區(qū)間1,1上是閉函數(shù)，求常數(shù) 的值；故滿(mǎn)足在區(qū)間1,9上是閉函數(shù)只有f (x) 3log3x x?！军c(diǎn)睛】(2)找出所有形如

20、f (x)agxb x的函數(shù)(a,b都是常數(shù))，使其在區(qū)間1,9上I答案】(1)- ；(2)f (x) 3log3x x【解析】(1 1)依據(jù)新定義,f f (x)(x)的定義域和值域都是1,1，且 f(x)f(x)在1,1上單調(diào),建立方程求解；(2 2)依據(jù)新定義，討論 f(x)f(x)的單調(diào)性,列出方程求解即可。【詳解】(1(1)當(dāng)0時(shí),由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性知，f(x) tan(x)在區(qū)間1,1上是增函數(shù),即有tan()tan2 21，解得同理，當(dāng)0時(shí)，有tan(tan2 21，解得1；，綜上，(2)f(x)f(x)在1,9上是閉函數(shù)，則f(x)f(x)在1,9上是單調(diào)函數(shù),當(dāng)f(x)f(x)

21、在1,9上是單調(diào)增函數(shù)，則f(1) b 1 f (9)2a 3b9，解得3，檢驗(yàn)符合;1當(dāng)f(x)f(x)在1,9上是單調(diào)減函數(shù)，則f(1) b 9 f (9)2a 3b1，解得139f (x) 13log3x.x在1,9上不是單調(diào)函數(shù)，不符合題意。第1818頁(yè)共 1515 頁(yè)本題主要考查學(xué)生的應(yīng)用意識(shí),利用所學(xué)知識(shí)分析解決新定義問(wèn)題。2020 .如圖，己知圓1：x22y r2(r 0)和雙曲線21(b0)，記第1919頁(yè)共 1515 頁(yè)1與y軸正半軸、X軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為A、B，又記1與2在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為C、D. ./ (1)若r = 2，且B恰為2的左焦點(diǎn)，求2的兩條漸近

22、線的方程；uur uuur(2)若r = 2，且AC AD (m, 5)，求實(shí)數(shù)m的值；(3)若B恰為2的左焦點(diǎn)，求證：在x軸上不存在這樣的點(diǎn)P，使得PA PC 2.019. .【答案】(1 1)y；2x；(2 2)m10 2 502 5；(2 2)見(jiàn)解析.2【解析】(1 1)由圓的方程求出B點(diǎn)坐標(biāo)，得雙曲線的c，再計(jì)算出b后可得漸近線方程;(2 2)設(shè)C(X1, yj, D(X2,y2)，由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立， 消去x后整理，可得y1y?,PC PD (x1x2,y1y26)，由AC AD (m, 5)先求出b，回代后求得C,D坐標(biāo)，計(jì)算mx1x2；【詳解】(1(1)由題意圓方程為x2(

23、y 1)24，令y 0得x.3 , B(一3,0)，即c 3,b、 c2a23 1a a 1 1, 漸近線方程為y 2x.( (2 2)由(1 1)圓方程為x2(y1)24,A(0,3),2x設(shè)C(X1, %), D(X2, y2)，由2x(y 1)24得，(b21)y22b2y 2b20()(),(3(3)由已知得 b b1,設(shè)eg, yj, D(X2,y2),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立，消去x后整理，可解得2b2ry22 2馬1 p 1，從而可得brAC2，由PAPCAC2，可知滿(mǎn)足要求的P點(diǎn)不存在.41第2020頁(yè)共 1515 頁(yè)yi2b272廠，y22b2b21uuurACujurAD化

24、，3)(X2,y23)(XiX2, yi鳥(niǎo)26)(m, 5),所以y1y25，解得b1,方程（）為2 y22y20,即y215，代入雙曲線方程得21 y2乙5, /C,D在第一、四象限,- X10 2 5- ?X210 2、5-?X1X210 2、5,10 2 5(3)3由題意A（0,3），B(r,0)，cb2c21,2/33設(shè)C(X1, yj D(X2, y2)2X由2X2y_b2得:b21(y 2)2(1 b2)y2rb2b2-r2b24由b2廠得3r2y4rb2b40，解得y12b2ry22b23r，2X1yLb24b22r所以AC2X1(y13、23r)323r)4(b232、22r4b22rJ-2rACPAPCAC當(dāng)且僅當(dāng)P,A,C三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立,第2121頁(yè)共 1515 頁(yè) - - x x 軸上不存在點(diǎn)P，使得PA PC 2.019.【點(diǎn)睛】本題考查求漸近線方程，考查圓與雙曲線相交問(wèn)題考查向量的加法運(yùn)算，本題對(duì)學(xué)生 的運(yùn)算求解能力要