第6講空間向量及其運(yùn)算

1、第6講 空間向量及其運(yùn)算一、選擇題1以下四個命題中正確的是 ()A空間的任何一個向量都可用其他三個向量表示B若a，b，c為空間向量的一組基底，則ab，bc，ca構(gòu)成空間向量的另一組基底CABC為直角三角形的充要條件是·0D任何三個不共線的向量都可構(gòu)成空間向量的一組基底解析若ab、bc、ca為共面向量，則ab(bc)(ca)，(1)a(1)b()c，不可能同時為1，設(shè)1，則abc，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量基底矛盾答案B2若向量a(1,1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，滿足條件(ca)·(2b)2，則x ()A4 B2 C4 D2解析a(1,

2、1，x)，b(1,2,1)，c(1,1,1)，ca(0,0,1x)，2b(2,4,2)(ca)·(2b)2(1x)2，x2.答案D3若a，b，c為空間的一組基底，則下列各項中，能構(gòu)成基底的一組向量是()Aa，ab，ab Bb，ab，abCc，ab，ab Dab，ab，a2b解析若c、ab、ab共面，則c(ab)m(ab)(m)a(m)b，則a、b、c為共面向量，此與a，b，c為空間向量的一組基底矛盾，故c，ab，ab可構(gòu)成空間向量的一組基底答案C4.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC，則cos，的值為 ()A0 B. C. D.解析設(shè)a，b，c，由已知條件a，

3、ba，c，且|b|c|，·a·(cb)a·ca·b|a|c|a|b|0，cos，0.答案A5如圖所示，在長方體ABCDA1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)若a，b，c，則下列向量中與相等的向量是 ()Aabc B.abcCabc D.abc解析()c(ba)abc.答案A6如圖，在大小為45°的二面角AEFD中，四邊形ABFE，CDEF都是邊長為1的正方形，則B，D兩點(diǎn)間的距離是()A.B.C1D.解析 ，|2|2|2|22·2·2·1113，故|.答案D二、填空題7. 設(shè)R，向量，且，則解析 .答案

4、8. 在空間四邊形ABCD中，···_.解析如圖，設(shè)a，b，c，···a·(cb)b·(ac)c·(ba)0.答案09已知ABCDA1B1C1D1為正方體，()232；·()0；向量與向量的夾角是60°；正方體ABCDA1B1C1D1的體積為|··|.其中正確命題的序號是_解析 由，得()23()2，故正確；中，由于AB1A1C，故正確；中A1B與AD1兩異面直線所成角為60°，但與的夾角為120°，故不正確；中|··|0.故

5、也不正確答案 10如圖，空間四邊形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45°，OAB60°，則OA與BC所成角的余弦值等于_解析設(shè)a，b，c.OA與BC所成的角為，·a(cb)a·ca·ba·(a)a·(a)a2a·a2a·2416.cos .答案三、解答題11已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面ABC外的任一點(diǎn)O，若點(diǎn)M滿足()(1)判斷、三個向量是否共面；(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi)解(1)由已知3 ，()()，即，共面(2)由(1)知，共面且基線過同一點(diǎn)M，四點(diǎn)M，A，B，C共面，從而

6、點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)12把邊長為a的正方形ABCD沿對角線AC折起成直二面角，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，點(diǎn)O是原正方形的中心，求：(1)EF的長；(2)折起后EOF的大小解 如圖，以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，則A（0，a,0），B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，a，a），F(xiàn)（a，a,0）.(1)|2222a2，|EF|a.(2)，·0×a×a×0，|，|，cos，EOF120°.13如圖，已知M、N分別為四面體ABCD的面BCD與面ACD的重心，且G為AM上一點(diǎn)，且GMGA13.求證：B、G、N三點(diǎn)共線證明設(shè)a，b，c，則a(abc)abc，()abc.，即B、G、N三點(diǎn)共線14如圖所示，已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線長都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AB、AD、CD的中點(diǎn)，計算：(1)·；(2)·；(3)EG的長；(4)異面直線AG與CE所成角的余弦值解設(shè)a，b，c.則|a|b|c|1，a，bb，cc，a60°，(1)ca，a，bc，··(a)a2a·c，(2)·(ca)·(bc) (b·ca·bc2a·c)；(3)a