MATLAB實現(xiàn)抽樣定理探討及仿真

1、應用 MATLAB實現(xiàn)抽樣定理探討及仿真一 課程設計的目的利用MATLAB，仿模信號抽樣與恢復系統(tǒng)的實際實現(xiàn)，探討過抽樣和欠抽樣的信號以及抽樣與恢復系統(tǒng)的性能。二 課程設計的原理模擬信號經(jīng)過 (A/D) 變換轉換為數(shù)字信號的過程稱為采樣，信號采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個采樣頻率 fs，重復出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時域采樣定理從采樣信號恢復原信號必需滿足兩個條件： (1) 必須是帶限信號，其頻譜函數(shù)在 各處為零；（對信號的要求，即只有帶限信號才能適用采樣定理。）(2) 取樣頻率不能過低，必須 2 （或 2）。

2、（對取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復原信號。）如果采樣頻率大于或等于，即（為連續(xù)信號的有限頻譜），則采樣離散信號能無失真地恢復到原來的連續(xù)信號 。一個頻譜在區(qū)間（- ，）以外為零的頻帶有限信號，可唯一地由其在均勻間隔 （ ）上的樣點值所確定。根據(jù)時域與頻域的對稱性，可以由時域采樣定理直接推出頻域采樣定理。(a)(b) (c)圖2.1抽樣定理a) 等抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊）b) 高抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（不混疊）c) 低抽樣頻率時的抽樣信號及頻譜（混疊）2.1信號采樣 如圖1所示，給出了信號采樣原理圖信號采樣原理圖（a） 由圖1可見，其中，沖激采樣

3、信號的表達式為： 其傅立葉變換為，其中。設，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設是帶限信號，帶寬為， 經(jīng)過采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當時，頻譜不發(fā)生混疊；而當時，頻譜發(fā)生混疊。2.1.3信號重構設信號被采樣后形成的采樣信號為，信號的重構是指由經(jīng)過內(nèi)插處理后，恢復出原來信號的過程。又稱為信號恢復。若設是帶限信號，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號的頻譜。顯然，與之對應的時域表達式為 （10）而將及代入式（10）得 （1

4、1）式（11）即為用求解的表達式，是利用MATLAB實現(xiàn)信號重構的基本關系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。三、抽樣定理的仿真和探討3.1.1 的臨界采樣及重構圖當采樣頻率小于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為臨界采樣. 修改門信號寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運行程序，觀察得到的采樣信號時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。程序運行結果：3.1.2 的過采樣及重構當采樣頻率大于一個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣.在不同采樣頻率的條件下，觀察對應采樣信號的時域和頻域特性，以及重構信號與誤差信號的變化。程序運行結果：3.1.3 Sa(t)的欠采樣及重構當采樣頻率小于一

5、個連續(xù)的同信號最大頻率的2倍，即時，稱為過采樣。利用頻域濾波的方法修改實驗中的部分程序，完成對采樣信號的重構。程序運行結果：誤差分析：絕對誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號的頻譜混疊，使得在區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。四、課題研討的小結該課程設計使我們對采樣定理的一些基本公式得到了進一步鞏固。在整個實驗過程中，我們查閱了很多相關知識，從這些書籍中我們受益良多。雖然學習過采樣過程和恢復過程，但是認識不深，實踐能力也有所欠缺，通過這次實驗對采樣過程和恢復過程有了進一步掌握。通過實驗的設計使我們對采樣定理和信號的重構有了深一步的掌握，也讓我們在實踐的過程中了解到團隊合作的重要性。雖然在實

6、驗過程中出現(xiàn)很多錯誤，但是在老師的幫助和團隊成員的齊心協(xié)力下，不斷的修正錯誤，同時也學會了MATLAB中信號表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用。雖然剛開始我們對MATLAB的基本使用方法沒有太深刻的認識，但是該實驗使我們對MATLAB函數(shù)程序的基本結構有所了解，也提高了我們獨立完成實驗的能力和理論聯(lián)系實際的應用能力。通過這次課程設計，我們不僅學到了學科知識，鍛煉了實踐能力，更重要的是學到了學習的方法和團隊合作的重要性。我們團隊分工有序，每個人都能按時完成各自的任務。在遇到問題時，大家都能夠互相理解，互相幫助，最后圓滿完成課題！附錄：一、的臨界采樣及重構1.Sa(t)的臨界采樣及重構程序代碼；wm=

7、1;wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2.4*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(311);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號');grid;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1

8、/pi);subplot(312);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號');grid;subplot(313);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號重構sa(t)');grid;2.程序運行運行結果圖與分析圖3.1.1 的臨界采樣及重構圖運行結果分析：為了比較由采樣信號恢復后的信號與原信號

9、的誤差，可以計算出兩信號的絕對誤差。當t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。二、的過采樣及重構1.Sa(t)的過采樣及重構程序代碼；wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)'

10、);title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號');grid;error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=s

11、inc(t/pi)的過采樣信號重構sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('過采樣信號與原信號的誤差error(t)');grid;2.程序運行運行結果圖與分析。圖3.1.2 的過采樣信號、重構信號及兩信號的絕對誤差圖運行分析：將原始信號分別修改為抽樣函數(shù)Sa(t)、正弦信號sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號e-2tu(t)時，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對應采樣信號的時域和頻域特性，以及重構信

12、號與誤差信號的變化。三、Sa(t)的欠采樣及重構1.Sa(t)的欠采樣及重構程序代碼；wm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號');grid;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號sa(t)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('