數(shù)據(jù)包絡法詳細介紹

1、目錄一 數(shù)據(jù)包絡法的起源二 數(shù)據(jù)包絡法簡介三 數(shù)據(jù)包絡法的預備知識1. 基礎知識2模型預備知識四 數(shù)據(jù)包絡法的步驟1 確定評價目的2 選擇DMU(參考集)3 建立輸入輸出指標體系4 DEA模型的選擇5 評價工作的設計與表述五 數(shù)據(jù)包絡模型（又稱為DEA模型）描述六 數(shù)據(jù)包絡法的案例七 數(shù)據(jù)包絡法的應用八 數(shù)據(jù)包絡法的優(yōu)缺點1. 數(shù)據(jù)包絡法的優(yōu)點2. 數(shù)據(jù)包絡法的缺點九 總結(jié)數(shù)據(jù)包絡法一數(shù)據(jù)包絡法的起源1978年由著名的運籌學家ACharnes(查恩斯)、WWCooper(庫伯) 及ERhodes(羅茲)首先提出了一個被稱為數(shù)據(jù)包絡分析(Data Envelopment analysis 簡稱D

2、EA模型)的方法，用于評價相同部門間的相對有效性(因被稱為DEA有效)。他們的第一個模型被命名為C2R模型。從生產(chǎn)函數(shù)的角度看，這一模型是用來研究具有多個輸入，特別是具有多個輸出的“生產(chǎn)部門”，同時是為“規(guī)模有效”與“技術有效”(即：總體有效性)的十分理想且卓有成效的方法。1985年查恩斯庫伯、格拉尼(BGolany)、賽福德(LSeiford)和斯圖茨(JStutz)給出另一個模型(稱為C2GS2模型)，這一模型用來研究生產(chǎn)部門間的“技術有效性”。 1987年查恩斯、庫伯、魏權(quán)齡和黃志明又得到了稱為錐比率的數(shù)據(jù)包絡模型C2WH模型。這一模型可用來處理具有過多的輸入及輸出的情況，而且錐的選取可

3、以體現(xiàn)決策者的“偏好”，靈活地應用這一模型，可以將C2R模型中確定出的DEA有效決策單元進行分類或排隊。二數(shù)據(jù)包絡法簡介數(shù)據(jù)包絡分析 (Data Envelopment Analysis，簡稱DEA）方法是運用數(shù)學工具評價經(jīng)濟系統(tǒng)生產(chǎn)前沿面有效性的非參數(shù)方法，它適應用于多投入多產(chǎn)出的多目標決策單元的績效評價。這種方法以相對效率為基礎，根據(jù)多指標投入與多指標產(chǎn)出對相同類型的決策單元進行相對有效性評價。數(shù)據(jù)包絡分析是運籌學的一個新的研究領域。它不需要以參數(shù)形式規(guī)定生產(chǎn)前沿函數(shù)，并且允許生產(chǎn)前沿函數(shù)可以因為單位的不同而不同，不需要弄清楚各個評價決策單元的輸入與輸出之間的關聯(lián)方式，只需要最終用極值的方

4、法，以相對效益這個變量作為總體上的衡量標準。三數(shù)據(jù)包絡法的預備知識1.基礎知識（1）決策單元(DMU)：我們把具有相同類型的部門、企業(yè)或者同一企業(yè)不同時期的相對效率進行評價，這些部門、企業(yè)或時期稱為。評價的依據(jù)是決策單元的一組投入指標數(shù)據(jù)和一組產(chǎn)出指標數(shù)據(jù)。（2）投入指標：指決策單元在經(jīng)濟和管理活動中需要耗費的經(jīng)濟量，例如固定資產(chǎn)原值、流動資金平均余額、自籌技術開發(fā)資金、職工人數(shù)、占用土地等。（3）產(chǎn)出指標：指決策單元在某種投入要素組合下，表明經(jīng)濟活動產(chǎn)生成效的經(jīng)濟量，例如總產(chǎn)值、銷售收入、利稅總額、產(chǎn)品數(shù)量、勞動生產(chǎn)率、產(chǎn)值利潤率等。（4）指標數(shù)據(jù)：指實際觀測結(jié)果，根據(jù)投入指標數(shù)據(jù)和產(chǎn)出指標

5、數(shù)據(jù)評價決策單元的相對效率，即評價部門、企業(yè)或時期之間的相對有效性。2.模型預備知識設有個部門(企業(yè))，稱為個決策單元，每個決策單元都有種投入和種產(chǎn)出，分別用不同的經(jīng)濟指標表示。這樣，由個決策單元構(gòu)成的多指標投入和多指標產(chǎn)出的評價系統(tǒng)，可以做如下表示：設：個決策單元，每個決策單元有相同的項投入(輸入)，每個決策單元有相同的 q項產(chǎn)出(輸出)r = 1，2，q第決策單元的第項投入第決策單元的第項產(chǎn)出 (1)即：效率指標 等于產(chǎn)出加權(quán)之和除以投入加權(quán)之和，表示第個決策單元多指標投入和多指標產(chǎn)出所取得的經(jīng)濟效率。可以適當?shù)剡x擇權(quán)系數(shù)、，使得,建立評價第個決策單元相對有效性的模型。設第個決策單元的投入

6、向量和產(chǎn)出向量分別為：效率指標 ,在效率評價指標(k=1,2,，n)的約束條件下，選擇一組最優(yōu)權(quán)系數(shù) U和V，使得達到最大值，構(gòu)造優(yōu)化模型(分式規(guī)劃) (2)上述模型中,為已知數(shù)(可由歷史資料或預測數(shù)據(jù)得到)，,為變量。模型的含義是以權(quán)系數(shù),為變量，以所有決策單元的效率指標為約束，以第個決策單元的效率指數(shù)為目標。即評價第個決策單元的生產(chǎn)效率是否有效，是相對于其他所有決策單元而言的。 (3)作Charnes-Cooper變換，轉(zhuǎn)化為一個等價的線性規(guī)劃模型。 四數(shù)據(jù)包絡法的步驟1.確定評價目的例如我們的目的是為了評價學校的辦學效益，則“教師人數(shù)”可當作系統(tǒng)輸入，若為了評價學校的發(fā)展情況，則“教師人

7、數(shù)”應作為系統(tǒng)輸出。這里所說的“評價”是廣義的，它也可能是其他系統(tǒng)分析內(nèi)容對系統(tǒng)進行的預測、預警以及對系統(tǒng)進行的控制。2.選擇DMU(參考集)(1) 用DMU的物理背景來判別。即DMU具有相同的環(huán)境、相同的輸入和相同的任務(相同的殘品和服務內(nèi)容)等。(2) 用DMU活動的時間間隔來構(gòu)造。(3) 通常認為參考元素的個數(shù)不少于輸入、輸出指標總數(shù)的二倍為好，例如有6個輸入、7個輸出時，參考集中的DMU個數(shù)宜不少于26。(4) 如果將較多的DMU放在一起組成一個參考集時，“同類型”反映得不夠充分。但若將它們按一定特性分成幾個子集，則我們可以分別對每個子集進行DMU分析，再將分析結(jié)果或者獨立地或者綜合地

8、進行再分析。3.建立輸入輸出指標體系(1) 要考慮到能夠?qū)崿F(xiàn)評價目的，也就是說輸入向量與輸出向量的選擇要服務、服務于我們確定的評價目的。(2) 要能全面反映評價目的。一般來說，一個評價目的需要多個輸入和多個輸出才能較為全面的描述。缺少某個或某些指標常會使評價目的不能完整地得以實現(xiàn)。(3) 要考慮到輸入向量、輸出向量之間的聯(lián)系。(4) 要考慮輸入輸出指標體系的多樣性。一個常用的方法就是我們可以在實現(xiàn)評價目的的大前提下，設計多個輸入輸出指標體系，在對各體系進行DEA分析后，將分析結(jié)果放在一起進行比較分析。4DEA模型的選擇(1) 是選用基于輸入的DEA模型，還是選用基于輸出的DEA模型，這主要看對

9、輸入(出)指標的可控性和可處理性。(2) 由于具有非阿基米德無窮小的DEA模型在判定DMU是否為(弱)DEA有效以及將原來無效的DMU“投影”到相對有效面上均有方面之處。(3) 就有效性本身而言, 模型是同時針對規(guī)模有效性和技術有效性而言的“總體”有效性，而模型只能評價技術有效性。此外，模型的生產(chǎn)可能集為閉凸錐，并且是建立在規(guī)模收益不變的假設下，而模型則反映了規(guī)模收益可變的情況下，對應的生產(chǎn)可能集僅為凸集。(4) 如果生產(chǎn)可能集為凸錐、輸入、輸出指標數(shù)目較多，特別是由于決策者對輸入、輸出指標之間的相對重要性有所規(guī)定(契約、限制、偏好)，并要在評價中對此規(guī)定有所體現(xiàn)，選用具有錐結(jié)構(gòu)的模型就比較適

10、合了。(5) 為了得到不同側(cè)面的評價信息，在可能情況下，盡量選用不同類型的DEA模型同時進行分析，再把分析結(jié)果相互比較，使結(jié)果更全面、更深刻、更準確。5評價工作的設計與表述(1) 確定各DMU的DEA有效性；(2) 了解各DMU的相對規(guī)模收益情況；(3) 確定相對有效生產(chǎn)前沿面；(4) 確定各DMU在有效生產(chǎn)前沿面上的“投影”;(5) 分析各DMU的相對有效性與各輸入(輸出)指標間的關系；(6) 各DMU之間相對有效性的關系；(7) 不同指標體系對各DMU相對有效性的影響；(8) 其他。五 數(shù)據(jù)包絡模型（又稱為DEA模型）描述數(shù)據(jù)包絡分析(DEA)由美國著名運籌學家A. Charnes等人在1

11、978年以相對效率概念為基礎發(fā)展起來的一種新的績效評價方法。這種方法是以決策單元(Decision Making Unit，簡稱DMU)的投入、產(chǎn)出指標的權(quán)重系數(shù)為變量，借助于數(shù)學規(guī)劃模型將決策單元投影到DEA生產(chǎn)前沿面上，通過比較決策單元偏離DEA生產(chǎn)前沿面的程度來對被評價決策單元的相對有效性進行綜合績效評價。其基本思路是: 通過對投入產(chǎn)出數(shù)據(jù)的綜合分析，得出每個DMU綜合相對效率的數(shù)量指標，確定各DMU是否為DEA有效。下面我們先描述DEA模型。假設有n個待評價的對象 (又稱之為n個決策單元DMU )，每個決策單元都有m種類型的投入及s種類型的產(chǎn)出，它們所對應的權(quán)重向量分別記為: ，。這n

12、個決策單元中第j個的投入和產(chǎn)出量用向量分別記作：，其中：為第j個決策單元對第i種類型輸入的投入總量，為第j個決策單元對第r種類型輸出的產(chǎn)出總量，且，；為第i種輸入指標的權(quán)重系數(shù)，為第r種產(chǎn)出指標的權(quán)重系數(shù)，且，。則每個決策單元DMU投入與產(chǎn)出比的相對效率評價指數(shù)如下: 通過適當選取權(quán)重向量V和U的值，使對每個j，均滿足?，F(xiàn)對某第個決策單元進行績效評價，則以第個決策單元的效率指數(shù)為目標，以所有的待評的決策單元的效率指數(shù)為約束，第個決策單元簡記為，故可以得到一般的DEA優(yōu)化模型如下: 上面的模型是分式規(guī)劃規(guī)劃問題模型，為了方便計算，通過適當?shù)淖儞Q，我們可以將其化為一個等價的線性規(guī)劃數(shù)學模型，并且引

13、進阿基米德窮小量（在實數(shù)范圍內(nèi)表示的是大于0但小于任意正數(shù)的量），構(gòu)成了具有非阿基米德無窮小量的的模型。它的對偶線性規(guī)劃問題模型如下： 其中：，均為對偶變量，m維單位向量，s維單位向量，和均松弛變量， 。模型是假定生產(chǎn)技術是固定規(guī)模報酬的。后來，Banker，Chames and Cooper 又對模型進行推廣，他們把固定規(guī)模報酬假設改為非遞增規(guī)模報，則在上述的DEA模型的基礎上需增加一個約束條件:。在此假設下非遞增規(guī)模報酬時的技術效率為。如果我們把固定規(guī)模報酬假設改為可變規(guī)模報酬(variable Returns to Scale，簡記VRS)，則DEA模型中的上述約束條件應改為：。從而得到

14、的如下新的DEA模型：線性規(guī)劃模型在可變規(guī)模報酬(VRS)條件下求得的相對效率稱為純技術效率CRS假設條件下得到的相對效率稱為技術效率，又稱為總體效率，它是規(guī)模效率與純技術效率的乘積。因此，可以根據(jù)C2R模型（4-3）和VRS模型（4-4）來確定規(guī)模效率。模型（4-3）表明，當?shù)趈0個決策單元產(chǎn)出Y0保持不變的情況下，應盡量保證投入量X0按照同一比例減少。假設上述規(guī)劃問題模型（4-3）求得最優(yōu)解為，則有，若，且，則稱被評價決策單元相對于其它決策單元而言DEA有效，此時該決策單元既滿足技術有效又滿足規(guī)模有效；若，但不同時等于零向量，則稱被評價決策單元為弱DEA有效，這時該被評價的決策單元不是同時

15、技術有效和規(guī)模有效，此時需要應用VRS模型（4-4）進一步進行計算；如果，則稱此被評價的決策單元為非DEA有效。值得注意的是，VRS模型（4-4）是在對C2R模型（4-3）計算的基礎上進行的分析，用以確定是否為純技術有效。由于總體效率表現(xiàn)為規(guī)模效率和純技術效率之積，根據(jù)上述的分析并通過模型（4-3）和（4-4）容易求得規(guī)模效率值。另外，對于非DEA有效的決策單元，需要通過進一步的分析討論并求出被評價的決策單元DMU在DEA相對于有效面上的投影（即新決策單元），則新決策單元相對于原來的決策單元而言是DEA有效的。設為第j0個決策單元對應于在DEA的相對有效面上的投影，則它們之間的轉(zhuǎn)換關系可以表示

16、為如下公式：根據(jù)上述公式（4-5），可以求得各個非DEA有效的決策單元相對于某有效決策而言，在保持其產(chǎn)出量不變的情況下，可以計算出對各項指標的投入量進行相應的的調(diào)整量。并且可以對相應的財務績效上存在不足的決策單元相對于DEA有效的決策單元而言給出針對性的管理建議。六數(shù)學包絡法的案例例題：已知甲、乙、丙三個同行企業(yè)，為評價其相對生產(chǎn)率，取投入要素為固定資產(chǎn)K(億元)和職工人數(shù)L(千人)，產(chǎn)出項目為凈產(chǎn)值Y(億元)，有關數(shù)據(jù)如表一，試比較它們的有效性。表一：有效性的比較指標權(quán)數(shù)部門甲乙丙輸入KL1.541337輸出Y548解：(1)甲企業(yè)對應的DEA模型為： 最優(yōu)解為：由于甲企業(yè)不是DEA有效。(

17、2)乙企業(yè)對應的DEA模型為：最優(yōu)解為：可知，乙企業(yè)是DEA有效。(3)丙企業(yè)對應的DEA模型為：最優(yōu)解為：由于丙企業(yè)不是DEA有效。上述計算結(jié)果表明，乙企業(yè)的相對生產(chǎn)率最高，丙企業(yè)的相對生產(chǎn)率最低。七數(shù)據(jù)包絡法的應用DEA的優(yōu)點吸引了眾多的應用者，應用范圍已擴展到美國軍用飛機的飛行、基地維修與保養(yǎng)，以及陸軍征兵、城市、銀行等方面目前，這一方法應用的領域正在不斷地擴大它也可以用來研究多種方案之間的相對有效性（例如投資項目評價）；研究在做決策之前去預測一旦做出決策后它的相對效果如何（例如建立新廠后，新廠相對于已有的一些工廠是否為有效)DEA模型甚至可以用來進行政策評價。 自從數(shù)據(jù)包絡法提出至今，

18、其應用范圍日漸廣泛。例如它被廣泛應用于學校、醫(yī)院、鐵路、銀行等公共服務部門的運行效率的評估實證研究。DEA作一種新的效率評估方法，與以前的傳統(tǒng)方法相比有很多優(yōu)點。首先，DEA方法可以用于對具有多投入、多產(chǎn)出的多個決策單元的生產(chǎn)(或經(jīng)營)績效性進行評價，而且應用時可以避免像傳統(tǒng)方法那樣因為各指標量綱的不同而尋求權(quán)重因素所帶來的諸多困難，其評價結(jié)果相對而言比較客觀；其次，DEA模型中投入、產(chǎn)出指標的權(quán)重可以建立數(shù)學規(guī)劃模型，然后根據(jù)實際的數(shù)據(jù)而產(chǎn)生，而不是事先給定投入與產(chǎn)出的權(quán)重權(quán)重系數(shù)，因此它不受人為主觀因素的影響，可避免在權(quán)重的分配時評價者的主觀意愿對評價結(jié)果的造成人為的影響。另外，數(shù)據(jù)包絡法

19、是一種典型的非參數(shù)估計方法，應用該方法評價時無須設定評價函數(shù)的具體形式，投入產(chǎn)出采用隱函數(shù)的形式表示，不同決策單元的評價函數(shù)其參數(shù)可以變動，針對各個決策單元都將通過數(shù)學規(guī)劃模型的手段給出最優(yōu)的投入產(chǎn)出函數(shù)，從而利用計算簡化。數(shù)據(jù)包絡法評價的是決策單元的相對有效性，其生產(chǎn)前沿面可以看成是最優(yōu)決策單元的投入與產(chǎn)出所組成的一個包絡面，如果對應被評價的決策單元在該生產(chǎn)前面上，則稱之為DEA有效，否則，稱之為非DEA有效。八數(shù)據(jù)包絡法的優(yōu)缺點1.數(shù)據(jù)包絡法的優(yōu)點數(shù)據(jù)包絡分析的綜合評價作用數(shù)據(jù)包絡分析是一種統(tǒng)計分析的新方法，它可以研究具有多個輸入的生產(chǎn)系統(tǒng)，特別是具有多個輸出的生產(chǎn)系統(tǒng)，運用數(shù)學規(guī)劃模型對其進行綜合評價，即從技術經(jīng)濟角度考察企業(yè)在一定的投入水平上，是否達到相對最大的產(chǎn)出水平，也就是評價企業(yè)的生產(chǎn)管理水平是否達到有效生產(chǎn)前沿面，為企業(yè)系統(tǒng)提供一個嶄新的有效性評價方法，并且能定量地指出非有效的原因和程度，為企業(yè)決策提供多種有用的信息。以決策單元(DMU)各輸入輸出的權(quán)重向量為變量，從最有利于決策的角度進行評價，從而避免了人為因素確定各指標的權(quán)重而使得研究結(jié)果的客觀性收到影響。這種方法采