概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)及練習(xí)題

1、第一章 概率論的基本概念1.2 概率的定義一、 概率的性質(zhì)（1）.（2） ， .（3）.（4）.（5）.特別地，若 ， ，.例 設(shè)為隨機(jī)事件, ， 則解： 1.4 條件概率一、 條件概率定義 設(shè)是兩個(gè)事件，且，稱=為在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件概率。二、全概率公式全概率公式：為樣本空間的一個(gè)事件組，且滿足：（1）互不相容，且;(2) .則對(duì)中的任意一個(gè)事件都有A1A2AnB例 設(shè)有一倉(cāng)庫(kù)有一批產(chǎn)品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙廠生產(chǎn)的，且甲、乙、丙廠生產(chǎn)的次品率分別為，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任取一件，求取得正品的概率？解 以、表示諸事件“取得的這箱產(chǎn)品分別是甲、乙、丙廠生產(chǎn)”；以

2、表示事件“取得的產(chǎn)品為正品”，于是： 按全概率公式 ，有： 三、 貝葉斯公式設(shè)是樣本空間的一個(gè)事件，為的一個(gè)事件組，且滿足：（1）互不相容，且;(2) .則這個(gè)公式稱為貝葉斯公式。例：有甲乙兩個(gè)袋子，甲袋中有4個(gè)白球，5個(gè)紅球，乙袋中有4個(gè)白球，4個(gè)紅球今從甲袋中任取一球放入乙袋，攪勻后再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍?1)問(wèn)此球是紅球的概率？(2)若已知取得的是紅球，則從甲袋放入乙袋的是紅球的概率是多少 ？解：設(shè)A1表示從甲袋放入乙袋的一球是紅球，則A1表示從甲袋放入乙袋的一球是白球，設(shè)A2：表示從乙袋取的一球是紅球，則.1.5 事件的獨(dú)立性一、 事件的獨(dú)立性定義. 若兩事件，滿足,則稱，相互獨(dú)立。第二

3、章 隨機(jī)變量及其分布2.1 一維隨機(jī)變量一、 隨機(jī)變量與分布函數(shù)定義 設(shè)為一隨機(jī)試驗(yàn),為的樣本空間,若,為單值實(shí)函數(shù)，則稱為隨機(jī)變量。SeXXR X xxo定義 設(shè)為一個(gè)隨機(jī)變量，為任意實(shí)數(shù)，稱函數(shù) 為的分布函數(shù)。 分布函數(shù)的性質(zhì)（1） .（2） 是自變量的非降函數(shù)，即當(dāng)時(shí)，必有.因?yàn)楫?dāng)時(shí)有，從而.（3） 對(duì)自變量右連續(xù)，即對(duì)任意實(shí)數(shù)，2.2 一維離散型隨機(jī)變量一、離散型隨機(jī)變量定義 離散型隨機(jī)變量只可能取有限個(gè)或可列個(gè)值，設(shè)可能取的值為.定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為，且取這些值的概率為： (則稱上述一系列等式為隨機(jī)變量的分布律。由概率的定義知，離散型隨機(jī)變量的概率分布具有以下兩個(gè)性質(zhì)：

4、（1） （非負(fù)性）（2） （歸一性）二、 幾種常用的離散型分布1. 01分布如果隨機(jī)變量只可能取0和1兩個(gè)值，且它的分布列為，則稱服從01分布。其分布律為：1 0 1-2.二項(xiàng)分布如果隨機(jī)變量只可能取的值為0,1,2,n，它的分布律為 ,(其中，則稱服從參數(shù)為的二項(xiàng)分布，記為3.泊松分布如果隨機(jī)變量所有可能取的值為0,1,2,它取各個(gè)值的概率為，其中是常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的泊松分布，記為.例：設(shè)，則例： 設(shè)隨機(jī)變量，則 .2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度一、 概率密度的概念定義 設(shè)隨機(jī)變量的的分布函數(shù)為，如果存在一個(gè)非負(fù)可積函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有：則稱為連續(xù)型隨機(jī)變量，而稱為的概率密度。由

5、概率密度的定義及概率的性質(zhì)可知概率密度必須滿足：（1） 0 ；（2） ； （3） 對(duì)于任意實(shí)數(shù)，且有；（4）若在點(diǎn)處連續(xù)，則有.例 設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度（1）試確定常數(shù)； （2）求； （3）求.解（1）由，即=得.于是的概率密度；（2） =;（3）由定義= 。當(dāng)時(shí)，=0；當(dāng)時(shí)，= =所以.二、幾個(gè)常用的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布1. 均勻分布如果隨機(jī)變量的概率密度為 則稱服從上的均勻分布，記為。2. 指數(shù)分布如果隨機(jī)變量的概率密度為 則稱服從參數(shù)為的指數(shù)分布。3. 正態(tài)分布如果隨機(jī)變量的概率密度為；其中為常數(shù)，則稱服從參數(shù)為的正態(tài)分布，記為. 特別的，當(dāng)時(shí)，稱服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即，概率密度為 標(biāo)

6、準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)為 對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)，有下列等式 定理 如果則推論 如，則例 設(shè)，求；解 =.例 設(shè)隨機(jī)變量，則 .2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、 離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布例 設(shè)的分布律為X0.10.20.30.4求的分布律。解 因?yàn)榈目赡苋≈禐?，而且，因? 的分布律為Y0.10.20.30.4二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量，已知為其概率密度，那么應(yīng)當(dāng)如何確定隨機(jī)變量的概率密度呢？例 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量具有概率密度，求隨機(jī)變量（其中為常數(shù)且）的概率密度.解 設(shè)的分布函數(shù)為，當(dāng)，則上式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得當(dāng)，則上式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)得于是第3章 二維隨機(jī)變量及其分布 3.

7、1二維隨機(jī)變量及分布函數(shù)定義 設(shè)為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，,是定義在上的隨機(jī)變量，則稱有序數(shù)組為二維隨機(jī)變量或稱為二維隨機(jī)向量。定義 設(shè)是二維隨機(jī)變量，對(duì)于任意實(shí)數(shù)，稱二元函數(shù)為二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)，或稱為的聯(lián)合分布函數(shù)。二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)的性質(zhì) （1） ；（2） 是變量的不減函數(shù)，即：對(duì)于任意固定的，當(dāng)時(shí)有 ；對(duì)于任意固定的，當(dāng)時(shí)有 .（3） 對(duì)于任意固定的，；對(duì)于任意固定的，,并且 ，.二維離散型隨機(jī)變量定義 如果二維隨機(jī)變量可能取的值只有有限個(gè)或可列個(gè)，則稱為二維離散型隨機(jī)變量。定義 設(shè)二維隨機(jī)變量所有可能取的值為，則稱為的聯(lián)合分布律。二維離散型隨機(jī)變量的聯(lián)合分布有時(shí)也用如下的概率分布

8、表來(lái)表示： . . . . . . . . . . . . . . . . . 顯然，具有以下性質(zhì)：（1） 1,2,）; （2） ;二維連續(xù)型隨機(jī)變量定義 設(shè)是二維隨機(jī)變量，如果存在一個(gè)非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有則稱是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，函數(shù)稱為二維連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度。二維分布密度具有以下性質(zhì)：（1） ； （2） ；（3） ，其中D為XOY平面上的任意一個(gè)區(qū)域；（4） 如果二維連續(xù)型隨機(jī)變量的密度連續(xù)，的分布函數(shù)為，則用性質(zhì)的題在后面3.2 邊緣分布與隨機(jī)變量的獨(dú)立性一、 邊緣分布稱分量的概率分布為關(guān)于的邊緣分布；分量的概率分布為關(guān)于的邊緣分布。它們的分布函數(shù)與密度函數(shù)分別記作與。

9、先看離散情況： 若已知，則隨機(jī)變量的分布律為：同樣得到關(guān)于的分布律：，.記,所以關(guān)于的邊緣分布律為： . . . .關(guān)于的邊緣分布列為： . . . .下面看連續(xù)型的情形：定理 設(shè)是的聯(lián)合概率密度，則分別是關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù)。1X離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律列表Y3.4隨機(jī)變量的獨(dú)立性定義 設(shè)是二維隨機(jī)變量，如果對(duì)于任意有，則稱隨機(jī)變量與是相互獨(dú)立的。即用該式可用來(lái)判斷的相互獨(dú)立性。定理 設(shè)是二維離散型隨機(jī)變量， ，依次是，的概率分布，則相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)所有的，都有 .定理 設(shè)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，分別是聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)，則相互獨(dú)立的充要條件是：對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有 。 YX

10、 0 1 2 301 02 0 03 0 0 0例 設(shè)(X,Y)的聯(lián)合分布律為 試求關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布，并判斷是否相互獨(dú)立？解 由表中可按行加得，按列加得得關(guān)于X的邊緣分布及關(guān)于Y的邊緣分布由于，而，所以互不獨(dú)立。例 設(shè)二維隨機(jī)變量具有密度函數(shù)試求:（1）常數(shù)；（2）落在如圖24 所示的三角區(qū)域內(nèi)的概率；（3）關(guān)于和關(guān)于的邊緣分布,并判斷是否相互獨(dú)立。 圖2-4解（1）=所以;（2）;（3）關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù)為當(dāng)時(shí)，=0.當(dāng)時(shí)， 故有=；同理可求得關(guān)于的邊緣概率密度函數(shù)為= .因?yàn)閷?duì)任意的實(shí)數(shù)，都有 ，所以相互獨(dú)立。第4章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 數(shù)學(xué)期望一、 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望

11、定義 設(shè)離散型隨機(jī)變量的分布律為 則稱其為隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，記為二、 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度函數(shù)為，若積分絕對(duì)收斂，則稱其為的數(shù)學(xué)期望或均值記為，例 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求解 由于均勻分布的密度函數(shù)為因而 記?。?-1分布，二項(xiàng)分布，泊松分布的數(shù)學(xué)期望 均勻分布，指數(shù)分布，正態(tài)分布的數(shù)學(xué)期望。三、 隨機(jī)變量的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理 設(shè)為隨機(jī)變量的函數(shù)：(g是連續(xù)函數(shù))，（1）是離散型隨機(jī)變量，分布律為；若級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂，則有 （2）是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布密度為，若積分絕對(duì)收斂，則有 定理 設(shè)是隨機(jī)變量的連續(xù)函數(shù)，（1）是二維離散型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布律為

12、；則有 （2）是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，聯(lián)合分布密度為，則有 例 設(shè)的概率密度函數(shù)為求解 ，四、 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1 設(shè)是常數(shù)，則有2 設(shè)是隨機(jī)變量，設(shè)是常數(shù)，則有3 設(shè)，是隨機(jī)變量，則有 4 設(shè)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有 4.2 方 差一、 方差的概念定義 設(shè)是隨機(jī)變量，存在，就稱其為的方差，記為即=，稱為標(biāo)準(zhǔn)差二、 方差的計(jì)算1 = 例 設(shè)隨機(jī)變量服從上的均勻分布，求解 由于均勻分布的密度函數(shù)為，故三、 方差的性質(zhì)1、設(shè)是常數(shù)，則有；2、設(shè)，是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則有；3、設(shè)是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，則4.3 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)、矩一、 協(xié)方差及相關(guān)系數(shù)的定義定義 設(shè)有二維隨機(jī)變量，如果存在，則稱為

13、隨機(jī)變量與的協(xié)方差記為，即稱為隨機(jī)變量與的相關(guān)系數(shù)若，稱與不相關(guān)二、 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) 1 協(xié)方差的性質(zhì)(1) ；(2) -計(jì)算公式(3) ；(4) ；(5) ；(6) 若與相互獨(dú)立，則，即與不相關(guān)反之，若與不相關(guān)，與不一定相互獨(dú)立2 相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)(1) ；(2) 若與相互獨(dú)立，則；(3) 當(dāng)與有線性關(guān)系時(shí)，即當(dāng)（為常數(shù)，）時(shí)，且 ；(4) 的充要條件是，存在常數(shù)使數(shù)理統(tǒng)計(jì)的基本概念6.1 樣本和總體一、 樣本 設(shè)為總體的樣本，則下列各量均是統(tǒng)計(jì)量，它們今后要經(jīng)常被用到。（）,稱為樣本均值。（ii）,稱為樣本方差。（iii）,稱為樣本標(biāo)準(zhǔn)差。（iv）,稱為樣本階原點(diǎn)矩。為了研究統(tǒng)計(jì)量的

14、分布，我們先研究三種重要概率分布。二、分布定義 設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布，記作分布有下列基本性質(zhì)。定理 設(shè),則，。三、 分布和分布定義 設(shè)，與獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為的分布,記成定義 設(shè)，與獨(dú)立，則稱隨機(jī)變量服從自由度為（,）的分布，記成五、 正態(tài)總體的抽樣分布Theorem 設(shè)總體，為總體的樣本，則(i) 樣本均值，(ii)(iii) 。第七章 參數(shù)估計(jì)7.1 點(diǎn)估計(jì)2、 極大似然估計(jì) 第一步，寫(xiě)出似然函數(shù)a）對(duì)于離散型總體，設(shè)它的分布律為未知，其中為樣本值，稱為似然函數(shù)。b） 當(dāng)總體是連續(xù)型隨機(jī)變量時(shí)，若的概率密度為，未知，則似然

15、函數(shù)為第二步 求是參空間）,使得達(dá)到最大，此即為所求的參數(shù)的極大似然估計(jì)。 為了計(jì)算方便，我們常對(duì)似然函數(shù)取對(duì)數(shù)，并稱為對(duì)數(shù)似然函數(shù)。易知，與在同一處達(dá)到極大，因此，這樣做不會(huì)改變極大點(diǎn)。c）對(duì)對(duì)數(shù)似然函數(shù)關(guān)于求導(dǎo)，再令之為0，即得的最大似然估計(jì)值。例：已知總體服從指數(shù)分布，概率密度為 ()是來(lái)自總體的一個(gè)樣本，為相應(yīng)的樣本觀察值，求參數(shù)的極大似然估量.解 似然函數(shù)為：令，得的極大似然估計(jì)值為極大似然估計(jì)量為7.3 區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)粗略地說(shuō)是用兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量，（）所決定的區(qū)間，作為參數(shù)取值范圍的估計(jì)。定義 對(duì)于參數(shù)，如果有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量,，滿足對(duì)給定的，有則稱區(qū)間，是的一個(gè)區(qū)間估計(jì)或置信區(qū)間，分別稱作

16、置信下限,置信上限，稱為置信水平。二、 單個(gè)正態(tài)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)設(shè)為的樣本，對(duì)給定的置信水平，我們來(lái)分別研究參數(shù)與的區(qū)間估計(jì)。例 在上述前提下，求的置信水平為的區(qū)間估計(jì)。解 下面分兩種情況） 已知，選取的統(tǒng)計(jì)量為，由有所求的區(qū)間是 ）未知，選取的統(tǒng)計(jì)量為，由有 所求區(qū)間為 例 在上述前提下求的置信水平為1-的區(qū)間估計(jì)。選用統(tǒng)計(jì)量，由有得到方差的一個(gè)置信度為的置信區(qū)間:第八章 假設(shè)檢驗(yàn)7.1 假設(shè)檢驗(yàn)思想概述例 一臺(tái)包裝機(jī)裝洗衣粉，額定標(biāo)準(zhǔn)重量為500，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，包裝機(jī)的實(shí)際裝袋重量服從正態(tài)，其中=15，為檢驗(yàn)包裝機(jī)工作是否正常，隨機(jī)抽取9袋，稱得洗衣粉凈重?cái)?shù)據(jù)如下（單位：）497 506

17、 518 524 488 517 510 515 516若取顯著性水平=0.05，問(wèn)這包裝機(jī)工作是否正常？首先，我們根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為，在沒(méi)有特殊情況下，包裝機(jī)工作應(yīng)該是正常的，由此提出原假設(shè)和備選假設(shè)：=500； ：500然后對(duì)給定的顯著性水平=0.05，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。一般地，可表述如下：設(shè)，已知，為的一子樣，求對(duì)問(wèn)題：=； ：的顯著水平為的檢驗(yàn)。這個(gè)問(wèn)題就歸結(jié)為，總體服從，已知，需檢驗(yàn)，由前所述，用z檢驗(yàn)法。用如下步驟來(lái)解這個(gè)問(wèn)題。解 10 提出假設(shè)：=， ：20 構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量。用統(tǒng)計(jì)量30拒絕域稱具有這種形式的否定域的檢驗(yàn)為雙邊假設(shè)檢驗(yàn)。40 給定顯著性水平，在例中，50 從z的值判斷小概率事件是否發(fā)生，并由此得出接受或拒絕的結(jié)論。因?yàn)樵?0中算出的z值，其絕對(duì)值小于1.96，樣本點(diǎn)在否定域之外，即小概率事件未發(fā)生，故接受，亦即認(rèn)為包裝機(jī)工作正常。二、 檢驗(yàn)檢驗(yàn)用于當(dāng)方差未知時(shí)對(duì)期望的檢驗(yàn)例 某部門(mén)對(duì)當(dāng)前市場(chǎng)的價(jià)格情況進(jìn)行調(diào)查。以雞蛋為例，所抽查的全省20個(gè)集市上，售價(jià)分別為（單位：元/500克）3.05 3.31 3.34 3.82 3.30 3.16 3.84 3.10 3.90 3.18 3.88 3.22 3.28 3.34 3.62 3.28 3.30 3.22 3.54 3.30已知往年的平均售價(jià)一直穩(wěn)定在3.25元/500克左右，能否認(rèn)