第二章 “一元一次方程”簡介

1、第二章 “一元一次方程”簡介課程教材研究所田載今一、教科書內容和課程學習目標1教科書內容本章繼第1章“有理數”之后，屬于全日制義務教育數學課程標準（實驗稿）中的“數與代數”領域。方程有悠久的歷史，它隨著實踐需要而產生，并且具有極其廣泛的應用。從數學科學本身看，方程是代數學的核心內容，正是對于它的研究推動了整個代數學的發(fā)展。從代數中關于方程的分類看，一元一次方程是最簡單的代數方程，也是所有代數方程的基礎。本章主要內容包括：一元一次方程及其相關概念，一元一次方程的解法，利用一元一次方程分析與解決實際問題。其中，以方程為工具分析問題、解決問題，即建立方程模型是全章的重點，同時也是難點。分析實際問題中

2、的數量關系并用一元一次方程表示其中的相等關系，是始終貫穿于全章的主線，而對一元一次方程的有關概念和解法的討論，是在建立和運用方程這種數學模型的大背景之下進行的。列方程中蘊涵的“數學建模思想”和解方程中蘊涵的“化歸思想”，是本章始終滲透的主要數學思想。全章共包括四節(jié)2.1從算式到方程這一節(jié)分為兩個小節(jié)。2.1.1一元一次方程在小學階段，已學習了用算術方法解應用題，還學習了最簡單的方程。本小節(jié)先通過一個具體行程問題，引導學生嘗試如何用算術方法解決它，然后再一步一步引導學生列出含未知數的式子表示有關的量，并進一步依據相等關系列出含未知數的等式方程。這樣安排目的在于突出方程的根本特征，引出方程的定義，

3、并使學生認識到方程是更方便、更有力的數學工具，從算術方法到代數方法是數學的進步。算式表示用算術方法進行計算的程序，列算式是依據問題中的數量關系，算式中只能含已知數而不能含未知數。列方程也是依據問題中的數量關系（特別是相等關系），它打破了列算式時只能用已知數的限制，方程中可以根據需要含有相關的已知數和未知數，未知數進入式子是新的突破。正因如此，一般地說列方程要比列算式考慮起來更直接、更自然，因而有更多優(yōu)越性。本小節(jié)中引出了方程、一元一次方程、方程的解等基本概念，并且對于“根據實際問題中的數量關系，設未知數，列出一元一次方程”的分析問題過程進行了歸納。2.1.2等式的性質方程是含未知數的等式，為適

4、合初中學生學習，本章不涉及方程的同解理論，而以等式的性質作為解方程的根據。本小節(jié)通過觀察、歸納引出等式的兩條性質，并直接利用它們討論一些較簡單的一元一次方程的解法。這將為后面幾節(jié)進一步討論較復雜的一元一次方程的解法準備理論依據。2.2從古老的代數書說起一元一次方程的討論（1）本節(jié)仍然結合一些實際問題展開，重點討論兩方面的問題：（1）如何根據實際問題列方程？這是貫穿全章的中心問題。（2）如何解方程？這節(jié)重點討論解方程中的“合并（同類項）”和“移項”，這樣就已經可解類型的一元一次方程。本節(jié)首先提及在數學史上對解方程頗有影響的一部著作，即生活在約780850年間的阿拉伯數學家阿爾花拉子米所著的對消與

5、還原一書，提問“對消”與“還原”是什么意思，作為后面要討論的內容的引子。在本節(jié)內容展開中引出“合并（同類項）”和“移項”。本節(jié)中用框圖形式歸納出“用一元一次方程分析和解決實際問題的基本過程”。2.3從“買布問題說起”一元一次方程的討論（2）本節(jié)繼續(xù)結合一些實際問題討論一元一次方程，重點討論兩方面的問題：（1）如何根據實際問題列方程？這是貫穿全章的中心問題。（2）如何解方程？這節(jié)重點討論解方程中的“去括號”和“去分母”，這樣就可以解各種類型的一元一次方程，并歸納出一元一次方程解法的一般步驟。本節(jié)從俄羅斯文學家契訶夫的小說家庭教師中的一道“買布問題”，引出解方程中的“去括號”問題；又從古代埃及的紙

6、莎草文書中的一道題，引出帶有分母的一元一次方程，進而討論用去分母的方法解這類方程。在本節(jié)中，以解一個具體方程的過程為例，用框圖形式表示了一元一次方程解法的一般步驟。2.4再探實際問題與一元一次方程在前面已經討論過由實際問題抽象出一元一次方程模型和解一元一次方程的一般步驟的基礎上，本節(jié)進一步以“探究”的形式討論如何用一元一次方程解決實際問題。要探究的三個問題（“銷售中的盈虧”“用哪種燈省錢”“球賽積分表問題”）要比前幾節(jié)的問題復雜些，問題情境與實際情況更接近。本節(jié)的重點是建立實際問題的方程模型。通過探究活動，可以進一步體驗一元一次方程與實際的密切聯(lián)系，加強數學建模思想，培養(yǎng)運用一元一次方程分析和

7、解決實際問題的能力。由于本節(jié)問題的背景和表達都比較貼近實際，其中的有些數量關系比較隱蔽，所以在探究過程中正確地建立方程是主要難點。突破難點的關鍵是弄清問題背景，分析清楚有關數量關系，特別是找出可以作為列方程依據的主要相等關系。2.本章知識結構圖（1）利用一元一次方程解決問題的基本過程（2）本章知識安排的前后順序3.課程學習目標1經歷“把實際問題抽象為數學方程”的過程，體會方程是刻畫現實世界的一種有效的數學模型，了解一元一次方程及其相關概念，認識從算式到方程是數學的進步。2通過觀察、歸納得出等式的性質，能利用它們探究一元一次方程的解法。3了解解方程的基本目標（使方程逐步轉化為_=a的形式），熟悉

8、解一元一次方程的一般步驟，掌握一元一次方程的解法，體會解法中蘊涵的化歸思想。4能夠“找出實際問題中的已知數和未知數，分析它們之間的關系，設未知數，列出方程表示問題中的等量關系”，體會建立數學模型的思想。5通過探究實際問題與一元一次方程的關系，進一步體會利用一元一次方程解決問題的基本過程（見上圖），感受數學的應用價值，提高分析問題、解決問題的能力。4課時安排本章教學時間約需18課時，具體分配如下（僅供參考）：2.1從算式到方程約4課時2.2從古老的代數書說起一元一次方程的討論（1）約4課時2.3從“買布問題”說起一元一次方程的討論（2）約4課時3.4再探實際問題和一元一次方程約4課時數學活動小結

9、約2課時二、本章教科書的編寫特點1.突出方程這個重點內容，將有關式的預備知識融于討論方程的過程中在許多教科書中，整式及其加減運算通常安排集中在一元一次方程之前，為一元一次方程的學習做準備。這樣做的優(yōu)點是層次分明，“前面鋪好路后面走起來很順”；而不足是學生往往在學習這些預備知識時不能體會它們以后的作用，學習目的性不明確，因而影響學習效果。在本章中沒有做如上處理，而是將有關整式的內容分散地融于對方程的討論之中，不過于強調式的概念，只要它們能自然地為討論方程這條主線服務即可，這是本章的一個特點。這樣處理的目的是突出方程這個實際應用作用明顯的內容，由于有關預備知識與方程結合得更密切了，并且不單獨予以強

10、調，所以便于學生自然而然地接受和運用，而不感到學了沒用。在學生對整式有一些初步的認識的基礎上，本套教科書在后面（第15章）還要安排對它們的專門討論，到那時學生對為什么學習有關式的內容就比較容易理解了。2.突出列方程，結合解決實際問題討論解方程列方程是本章的重點，也是難點。為突出重點，分散難點，使學生能有較多機會接觸列方程，本章把對實際問題的討論作為貫穿于全章前后的一條主線。對一元一次方程解法的討論始終是結合解決實際問題進行的，即先列出方程，然后討論如何解方程，這是本章的又一特點。教科書先結合兩個實際問題的求解過程分別討論了“合并（同類項）”和“移項”，并進一步通過一些例題對這兩種解方程的變形手

11、段進行綜合練習和強化。此后教科書又在對另兩個實際問題的討論中引出解方程中的“去括號”和“去分母”，并進一步通過一些例題和練習題幫助學生掌握它們。在此基礎上，教科書歸納總結出解一元一次方程的目標和一般步驟，引導學生提高對一元一次方程解法的認識。我們認為這樣處理解方程的教學符合人們對方程的認識過程，并且可以加強這章內容與實際的聯(lián)系，有助于解決部分學生總感覺列方程難的問題。3.通過加強探究性，培養(yǎng)分析解決問題的能力、創(chuàng)新精神和實踐意識本章的中心任務是，使學生經歷建立一元一次方程模型并應用它解決實際問題的過程，體會方程的作用，掌握運用方程解決簡單問題的方法，提高分析問題、解決問題的能力，增強創(chuàng)新精神和

12、應用數學的意識。由于實際問題的類型多樣，在某些問題中數量關系不十分明顯，使得以方程為模型表示問題中的數量關系成為教學中的難點。為切實提高利用方程解決實際問題的能力，本章在內容選擇上注意加強探究性。例如，第2.4節(jié)特別安排了“再探實際問題和一元一次方程”的內容，選擇了三個具有一定綜合性的問題（“銷售中的盈虧”“用哪種燈省錢”“球賽積分表問題”），設置了若干探究點，引導學生利用方程為工具進行具有一定深度的思考，把全章所強調的以方程為工具把實際問題模型化的思想提到新的高度。這節(jié)內容包括：估算與精確計算的比較（探究1），進行開放性的設計（探究2），根據問題的實際背景進行檢驗，利用方程進行簡單推理判斷（

13、探究3中已滲透了反證法的思想）。安排這節(jié)的目的在于：一方面通過更加貼近實際生活的問題，進一步突出方程這種數學模型的應用具有廣泛性和有效性；另一方面使學生能在更加貼近實際生活的問題情境中運用所學數學知識，使分析問題和解決問題的能力、創(chuàng)新精神和實踐意識在更高層次上等到提高。4.重視數學思想方法的滲透，關注數學文化本章不僅重視數學與實際的聯(lián)系，列方程和解方程的方法，而且重視數學知識中蘊涵的建模和化歸等數學思想方法的滲透。，本章所涉及的數學思想方法主要包括兩個：一個是由實際問題抽象為方程模型這一過程中蘊涵的符號化、模型化的思想；另一個是解方程的過程中蘊涵的化歸思想。雖然考慮到學生的理解能力等原因，教科

14、書沒有過多出現“數學模型”一詞，但是本章多次以框圖形式對“利用一元一次方程解決問題的基本過程”加以歸納，意在滲透建模思想。為體現化歸思想在解方程中具有指導作用，本章中討論一元一次方程的各個步驟時，都注意點明解方程的目的，即為最終使方程變形為_=a的形式，各種步驟都是為此而實施的，即在保持方程的左右兩邊的相等關系的前提之下，使“未知”逐步轉化為“已知”。本套教科書的特色之一是，使教科書成為反映科學進步、介紹先進文化的鏡子。重視數學的科學價值，同時關注其文化內涵。通過教科書這面鏡子的反射，結合教學內容生動活潑地介紹古今數學的發(fā)展，深入淺出地反映數學的作用（工具作用和人文教育作用），使學生逐步地認識

15、數學的科學價值和人文價值，提高科學文化素養(yǎng)。本章對于數學文化予以很大關注，從數字到字母，從算式到方程，從算術到代數這些數學史上的重大進步以及有關方程的名著還原與對消、埃及紙莎草文書中的問題等在教科書中都有所反映。編者希望學生通過學習本章不僅在數學知識和能力方面得到提高，而且能夠感受到數學文化的熏陶。三、幾個值得關注的問題1關注在前面學段的基礎上發(fā)展，做好從算術到代數的過渡本章第2.1節(jié)從一個實際問題（行程問題）開始討論，在引出方程后提出“從算式到方程是數學的進步”。算式與方程表現了算術與代數解決問題的兩種不同方法。用算術方法解實際問題是前面學段中學生已經學習過的內容，它對于提高分析問題中數量關

16、系的能力有著打基礎的作用。算式表示一個計算過程，用算術方法解實際問題時，算式中只含已知數而不包含未知數；而代數中設未知數或列方程時首先需要用式子表示問題中有關的量，這些式子實際上也是算式，只是其中可能含有字母（未知數）。方程是根據問題中等量關系列出的等式，其中既含有已知數，又含有未知數，這是代數方程與算術算式的區(qū)別之一。由于方程中可以用未知數與已知數一起表示相關的量，所以方程的應用更為方便。這正是用字母表示數帶來的好處。從課程標準看，在前面學段中已經有關于簡單方程的內容，學生已經對方程有初步的認識，會用方程表示簡單情境中的數量關系，會解簡單的方程，即對于方程的認識已經歷了入門階段，具備了一定的

17、感性認識基礎，這些基本的、樸素的認識為進一步學習方程奠定了基礎。本章的內容是在前面的學習基礎上的進一步發(fā)展，即對一元一次方程作更系統(tǒng)更深入的討論，所涉及的實際問題要比以前學習的問題復雜些，更強調模型化思想的滲透；對方程解法的討論要更注重算理，更強調創(chuàng)設未知向已知轉化的條件以及解法中程序化的思想。了解以上的聯(lián)系與區(qū)別，有助于在本章教學中注意到應在哪些地方使學生得到新的提高。2關注方程與實際問題的聯(lián)系，體現數學建模思想我們生活在一個豐富多彩的世界，其中存在大量問題涉及數量關系的分析，這為學習“一元一次方程”提供了大量的現實素材。在本章教科書中，實際問題情境貫穿于始終，對方程解法的討論也是在解決實際

18、問題的過程中進行的，“列方程”在本章中占有突出地位，全章教科書按照討論實際問題的線索而展開。在本章的教學和學習中，要充分注意方程的現實背景，通過大量豐富的實際問題，反映出方程來自實際又服務于實際，加強對于方程是解決現實問題的一種重要數學模型的認識。鑒于本章的學習對象是七年級學生，教科書的敘述力求通俗易懂，在正文中避免過多直接使用“數學模型”等詞，而是通過具體例子反復強調方程在解決實際問題中的工具作用，實際上這就是在滲透建立數學模型的思想。設未知數、列方程是本章中用數學模型表示和解決實際問題的關鍵步驟，而正確地理解問題情境，分析其中的相等關系是設未知數、列方程的基礎。在本章的教學和學習中，可以從

19、多角度進行思考，借助圖形、表格、式子等進行分析，尋找等量關系，檢驗方程的合理性。教師還可以結合實際情況選擇更貼近學生生活的各種問題，引導學生用一元一次方程分析和解決它們。利用一元一次方程解決問題的基本過程（見前面的圖），在本章中反復出現并且逐步細化，這有助于從整體上認識一元一次方程與實際問題的關系，請注意在教學中不斷強化對它的認識。3關注方程這條主線，帶動相關預備知識的學習從數學學科內部來看，整式及其運算（加減法）是一元一次方程的預備知識；而從應用的角度來看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接。本套教科書不像過去許多數學教科書那樣先安排整式，然后再安排一元一次方程，而是將與一元一次方程相關

20、的整式知識分散于本章之中，對它們采取“夠用即可”的處理方式，回避了一些概念（代數式、同類項等），結合方程的討論通過例子解釋了一些相關運算（合并含未知數的項、去括號等），而將對整式系統(tǒng)深入的討論留待后面章節(jié)完成。前面已經說過這樣處理的主要目的是為了突出重點，適當精簡整合教學內容，加強應用意識。這樣處理與“先專門安排整式預備知識，后安排方程”的做法各有優(yōu)缺點，請在教學實踐中對它們進行比較和檢驗，以便進一步尋求更符合教學實際的處理方案。在本章的教學中，希望能夠了解教科書的上述變化及其用意，時刻關注教學重點，注意抓住方程這條主線，削枝強干，突出圍繞一元一次方程的討論，帶動有關預備知識的學習。特別要把握

21、好本章中所含有的整式知識的深度和廣度，不作過多的補充和引申，以免喧賓奪主沖淡主題。4關注培養(yǎng)學習的主動性和探究性課程改革的目的之一是促進學習方式的轉變，加強學習的主動性和探究性。本章內容涉及大量的實際問題，豐富多彩的問題情境和解決實際問題的快樂更容易激起學生對數學的興趣。在本章的教學中，應注意引導學生從身邊的問題研究起，主動收集尋找“現實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”學習材料，并更多地進行數學活動和互相交流，在主動學習、探究學習的過程中獲得知識，培養(yǎng)能力，體會數學思想方法。在本章的教科書中，安排了許多可提供學生主動進行探究的內容，其中既涉及列方程又涉及解方程，例如2.4節(jié)“再探實際問題與一元一次

22、方程”就是為提高分析和解決問題的能力而安排的探究性內容，本章的“數學活動”及“拓廣探索”欄目下的習題等也設置了很多探究性問題，采用什么方式進行這些內容的教學是需要關注的問題。具體教學方式可能會因時因地因人而易，但是各種方式都應注意鼓勵學生積極探究，當學生在探究過程中遇到困難時，教師應啟發(fā)誘導，設計必要的鋪墊，讓學生在經過自己的努力來克服困難的過程中體驗如何進行探究活動，而不要替代他們思考，不要過早給出答案。應鼓勵探究多種不同的分析問題和解決問題的方法，使探究過程活躍起來，在這樣的氛圍中可以更好地激發(fā)學生積極思維，得到更大收獲。對于解方程過程中較復雜的計算，可以提倡學生運用計算機（器）等計算工具

23、采用靈活方式完成。5關注數學思想方法的教學和學習前面已經說過，本章所涉及的數學思想方法主要包括兩個：一個是由實際問題抽象為方程模型這一過程中蘊涵的模型化（包括符號化）的思想；另一個是解方程的過程中蘊涵的化歸思想。在本章的教學和學習中，不能僅僅著眼于個別題目的具體解題過程，而應關注對以上思想方法的滲透和領會，從整體上認識問題的本質。數學思想方法是通過數學知識的載體來體現的，對于它們的認識需要一個較長的過程，既需要教科書的滲透反映，也需要教師的點撥，最終還需要學生自身的感受和理解。數學思想方法對一個人的影響往往要大于具體的數學知識，例如對解方程的本質有比較透徹的認識，就容易主動地探究具體方程的解法，這遠比死記硬背方程的解法步驟的效果要好。因此，我們需要關注數學思想方法的教學和學習，希望教師在如何深入淺出地進行這方面的教學上不斷探索。6關注基礎知識和基本技能，適當加強練習鞏固本章內容包括一元一次方程的概念、解法和應用。一元一次方程是最基本的代數方程，對它的理解和掌握對于后續(xù)學習（其他的方程以及不等式、函數等）具有重要的基礎作用。因此，教學和學習中應注意打好基礎。由于本章教科書是以分析解決實際問題為線索展開的，許多基礎知識隱含于分析解決問題的過程之中，如缺乏對這些基礎內容的分析歸納，可能會對它們有所忽視，所以在教學和學習中應注意對它們進行歸納整理，使得基礎