利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性例 討論下列函數(shù)的單調(diào)性：1（且）；2（且）；3分析：利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號，來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性當(dāng)給定函數(shù)含有字母參數(shù)時(shí)，分類討論難于避免，不同的化歸方法和運(yùn)算程序往往使分類方法不同，應(yīng)注意分類討論的準(zhǔn)確性解： 1函數(shù)定義域?yàn)镽當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)2函數(shù)的定義域是或若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)3函數(shù)是奇函數(shù)，只需討論函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性當(dāng)時(shí)， 若，則，函數(shù)在（0

2、，1）上是減函數(shù)；若，則，函數(shù)在（0，1）上是增函數(shù)又函數(shù)是奇函數(shù)，而奇函數(shù)在對稱的兩個(gè)區(qū)間上有相同的單調(diào)性所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（1，1）上是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在（1，1）上是增函數(shù)說明：分類討論是重要的數(shù)學(xué)解題方法它把數(shù)學(xué)問題劃分成若干個(gè)局部問題，在每一個(gè)局部問題中，原先的“不確定因素”不再影響問題的解決，當(dāng)這些局部問題都解決完時(shí)，整個(gè)問題也就解決了在判斷含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，不僅要考慮到參數(shù)的取值范圍，而且要結(jié)合函數(shù)的定義域來確定的符號，否則會產(chǎn)生錯(cuò)誤判斷 分類討論必須給予足夠的重視，真正發(fā)揮數(shù)學(xué)解題思想作為聯(lián)系知識與能力中的作用，從而提高簡化計(jì)算能力利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間例 求下列函數(shù)的單

3、調(diào)區(qū)間：1；2；3分析：為了提高解題的準(zhǔn)確性，在利用求導(dǎo)的方法確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也必須先求出函數(shù)的定義域，然后再求導(dǎo)判斷符號，以避免不該出現(xiàn)的失誤解：1函數(shù)的定義域?yàn)镽，令，得或函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（1，0）和；令，得或，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為和（0，1）2函數(shù)定義域?yàn)榱?，得函?shù)的遞增區(qū)間為（0，1）；令，得，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（1，2）3函數(shù)定義域?yàn)榱?，得或函?shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和；令，得且，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是和說明：依據(jù)導(dǎo)數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)的符號來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，體現(xiàn)了形象思維的直觀性和運(yùn)動性解決這類問題，如果利用函數(shù)單調(diào)性定義來確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，運(yùn)算顯得繁瑣，區(qū)間難以找準(zhǔn)學(xué)生易犯的

4、錯(cuò)誤是將兩個(gè)以上各自獨(dú)立單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間寫成并集的形式，如將例1函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間分別寫成 和 的錯(cuò)誤結(jié)果這里我們可以看出，除函數(shù)思想方法在本題中的重要作用之外，還要注意轉(zhuǎn)化的思想方法的應(yīng)用求解析式并根據(jù)單調(diào)性確定參數(shù)例 已知，且1設(shè)，求的解析式；2設(shè)，試問：是否存在實(shí)數(shù)，使在內(nèi)為減函數(shù)，且在（1，0）內(nèi)是增函數(shù)分析：根據(jù)題設(shè)條件可以求出的表達(dá)式，對于探索性問題，一般先對結(jié)論做肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，由推證結(jié)果是否出現(xiàn)矛盾來作出判斷解題的過程實(shí)質(zhì)是一種轉(zhuǎn)化的過程，由于函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù)，因此選擇好解題的突破口，要充分利用函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造等價(jià)

5、的不等式，確定適合條件的參數(shù)的取值范圍，使問題獲解解：1由題意得，2若滿足條件的存在，則函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即對于恒成立，解得又函數(shù)在（1，0）上是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即對于恒成立，解得故當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在（1，0）上是增函數(shù)，即滿足條件的存在說明：函數(shù)思維實(shí)際上是辯證思維的一種特殊表現(xiàn)形式，它包含著運(yùn)動、變化，也就存在著量與量之間的相互依賴、相互制約的關(guān)系因此挖掘題目中的隱含條件則是打開解題思路的重要途徑，具體到解題的過程，學(xué)生很大的思維障礙是迷失方向，不知從何處入手去溝通已知與未知的關(guān)系，使分散的條件相對集中，促成問題的解決不善于應(yīng)用恒成立和恒成立，究其原因是對函數(shù)的思想方法理解不深利用

6、導(dǎo)數(shù)比較大小例 已知a、b為實(shí)數(shù)，且，其中e為自然對數(shù)的底，求證：分析：通過考察函數(shù)的單調(diào)性證明不等式也是常用的一種方法根據(jù)題目自身的特點(diǎn)，適當(dāng)?shù)臉?gòu)造函數(shù)關(guān)系，在建立函數(shù)關(guān)系時(shí)，應(yīng)盡可能選擇求導(dǎo)和判斷導(dǎo)數(shù)都比較容易的函數(shù)，一般地，證明，可以等價(jià)轉(zhuǎn)化為證明，如果，則函數(shù)在上是增函數(shù)，如果，由增函數(shù)的定義可知，當(dāng)時(shí)，有，即解：證法一：，要證，只要證，設(shè)，則，且，函數(shù)在上是增函數(shù)，即，證法二：要證，只要證，即證，設(shè)，則，函數(shù)在上是減函數(shù)又，即說明：“構(gòu)造”是一種重要而靈活的思維方式，應(yīng)用好構(gòu)造思想解題的關(guān)鍵是：一要有明確的方向，即為什么目的而構(gòu)造；二是要弄清條件的本質(zhì)特點(diǎn)，以便重新進(jìn)行邏輯組合解決這種問題常見的思維誤區(qū)是不善于構(gòu)造函數(shù)或求導(dǎo)之后得出的錯(cuò)誤結(jié)論判斷函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性例 函數(shù)在區(qū)間上是（ ） A增函數(shù)，且 B減函數(shù)，且 C增函數(shù)，且 D減函數(shù)，且分析：此題要解決兩個(gè)問題：一是要判斷函數(shù)值y的大小；二是要判斷此函數(shù)的單調(diào)性解：解法一：令，且，則，排除A、B由復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)可知，u在 上為減函數(shù)又亦為減函數(shù)，故在 上為增函數(shù)，排除D，選C解法二：利用導(dǎo)數(shù)法（），故y在上是增函數(shù)由解法一知所以選C說明：求函數(shù)的值域，是中學(xué)教學(xué)中的難關(guān)一般可以通過圖象觀