利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值

1、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值高二 蘇庭導(dǎo)數(shù)是對函數(shù)的圖像與性質(zhì)的總結(jié)與拓展，導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單調(diào)性極佳、最佳的重要工具，在掌握求函數(shù)的極值和最值的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用導(dǎo)數(shù)解決生產(chǎn)生活中的有關(guān)最大最小最有效等類似的應(yīng)用問題廣泛運(yùn)用在討論函數(shù)圖像的變化趨勢及證明不等式等方面。導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的重要銜接點(diǎn)，是高考的熱點(diǎn)，高考對導(dǎo)數(shù)的考查定位于作為解決初等數(shù)學(xué)問題的工具出現(xiàn)，高考對這部分內(nèi)容的考查將仍會以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用題為主，如利用導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)的極值、最值和單調(diào)性問題和曲線的問題等，考題不難，側(cè)重知識之意。導(dǎo)數(shù)應(yīng)用主要有以下三個方面：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識研究函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，研究曲線的切線斜率

2、。函數(shù)y=f(x)在x=x0處的導(dǎo)數(shù)，表示曲線在點(diǎn)P（x0 , y0）處的切線斜率。 由導(dǎo)數(shù)來求最值問題的方法可知，解這類實(shí)際問題需先建立函數(shù)關(guān)系，再求極值點(diǎn)，確定最值點(diǎn)及最值在設(shè)變量時可采用直接法也可采用間接法求函數(shù)極值時，導(dǎo)數(shù)值為0的點(diǎn)是該點(diǎn)為極值點(diǎn)的必要條件，但不是充分條件。運(yùn)用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟為：（1）求出函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)函數(shù)；（2）在函數(shù)定義域內(nèi)解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間；解不等式得函數(shù)y=f(x)的單調(diào)減區(qū)間。例題剖析例1、 求函數(shù)的值域.分析：求函數(shù)的值域以前學(xué)過一些方法，也可利用求導(dǎo)的方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解.解答： 函數(shù)的定義域由求得，即x2.

3、當(dāng)x>2時，y>0，即函數(shù)，在（2，）上是增函數(shù)，又f(2)=1， 所求函數(shù)的值域?yàn)?，）.點(diǎn)評： （1）從本題的解答過程可以看到，當(dāng)單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的值域相同時，才可使用此法，否則會產(chǎn)生錯誤.（2）求值域時，當(dāng)x=2，函數(shù)不可導(dǎo)，但函數(shù) 在2，）上是連續(xù)的，函數(shù)圖象是連續(xù)變化的，因此在x=2時，取得最小值.例2、把長度為16cm的線段分成兩段，各圍成一個正方形，它們的面積之和的最小值為多少？分析：建立面積和與一正方形的周長的函數(shù)關(guān)系，再求最小值解答：設(shè)一段長為xcm，則另一段長(16x)cm面積和S2，令S0有x8列表：x(0，8)8(8，16)S0當(dāng)x8時，S有最小值8cm2點(diǎn)評： 這是解實(shí)際應(yīng)用題的一般方法先構(gòu)造函數(shù)關(guān)系，再求滿足條件的解，極值或最值例3、如圖所示，在二次函數(shù)f(x)=4x-x2的圖象與x軸所圍成圖形中有個內(nèi)接矩形ABCD，求這個矩形面積的最大值。解析：設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,0)且0<x<2,f(x)=4x-x2圖象的對稱軸為x=2, 點(diǎn)C的坐標(biāo)為(4-x,0), |BC|=4-2x, |BA|=f(x)=4x-x2。矩形面積為y=(4-2x)(4x-x2)=16x-12x2+2x3y'=16-24x+6x2=2