數(shù)學(xué)教案－雙曲線的幾何性質(zhì)

1、數(shù)學(xué)教案雙曲線的幾何性質(zhì)§84 雙曲線的幾何性質(zhì)（第1課時(shí)）課時(shí)目標(biāo)1熟悉雙曲線的幾何性質(zhì)。2能理解離心率的大小對雙曲線形狀的影響。3能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)或圖形特征，確定焦點(diǎn)的位置，會求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。教學(xué)過程情景設(shè)置敘述橢圓 的幾何性質(zhì)，并填寫下表：方程性質(zhì)圖像（略）范圍-a_a，-byb對稱性對稱軸、對稱中心頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）離心率e=(幾何意義)探索研究1類比橢圓 的幾何性質(zhì)，探討雙曲線 的幾何性質(zhì)：范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率。雙曲線的實(shí)軸、虛軸、實(shí)半軸長、虛半軸長及離心率的定義。雙曲線與橢圓的幾何性質(zhì)對比如下：方程性

2、質(zhì)圖像（略） （略）范圍-a_a，-byb_a,或_-a,yR對稱性對稱軸、對稱中心對稱軸、對稱中心頂點(diǎn)（±a,0）、（±b,0）（-a,0）、（a,0）離心率0e=1e=1下面繼續(xù)研究離心率的幾何意義：（a、b、c、e關(guān)系：c2=a2+b2, e=1）2.漸近線的發(fā)現(xiàn)與論證根據(jù)橢圓的上述四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把 畫出來嗎？（能）根據(jù)上述雙曲線的四個(gè)性質(zhì)，能較為準(zhǔn)確地把 畫出來嗎？（不能）通過列表描點(diǎn)，能把雙曲線的頂點(diǎn)及附近的點(diǎn)，比較精確地畫出來，但雙曲線向何處伸展就不很清楚。我們能較為準(zhǔn)確地畫出曲線y=,這是為什么？（因?yàn)楫?dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時(shí)，它與_軸、y軸

3、無限接近）此時(shí)，_軸、y軸叫做曲線y=的漸近線。問：雙曲線 有沒有漸近線呢？若有，又該是怎樣的直線呢？引導(dǎo)猜想：在研究雙曲線的范圍時(shí)，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可解出：y=± =±當(dāng)_無限增大時(shí)， 就無限趨近于零，也就是說，這是雙曲線y=±與直線y=± 無限接近。這使我們猜想直線y=± 為雙曲線的漸近線。直線y=± 恰好是過實(shí)軸端點(diǎn)A1、A2，虛軸端點(diǎn)B1、B2，作平行于坐標(biāo)軸的直線_=±a, y=±b所成的矩形的兩條對角線，那么，如何證明雙曲線上的點(diǎn)沿曲線向

4、遠(yuǎn)處運(yùn)動時(shí)，與漸近線越來越接近呢？顯然，只要考慮第一象限即可。證法1：如圖，設(shè)M（_0,y0）為第一象限內(nèi)雙曲線 上的仍一點(diǎn)，則y0= ，M（_0,y0）到漸近線ay-b_=0的距離為：MQ= = = 點(diǎn)M向遠(yuǎn)處運(yùn)動， _0隨著增大，MQ就逐漸減小，M點(diǎn)就無限接近于 y=故把y=± 叫做雙曲線 的漸近線。3離心率的幾何意義e=，ca, e1由等式c2-a2=b2,可得 =e越小（接近于1） 越接近于0，雙曲線開口越?。ū猹M）e越大 越大，雙曲線開口越大（開闊）4鞏固練習(xí)求下列雙曲線的漸近線方程，并畫出雙曲線。4_2-y2=4 4_2-y2=-4已知雙曲線的漸近線方程為_±2y=0，分別求出過以下各點(diǎn)的雙曲線方程M（4， ） M（4， ）知識應(yīng)用與解題研究例 1 求雙曲線9y2-16_2=144的實(shí)半軸長和虛半軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸近線方程。例2 雙曲線型自然通風(fēng)塔的外形，是雙曲線的一部分繞其虛軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面，如圖；它的最小半徑為12m,上口半徑為13m,下口半徑為25m,高為55m,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出此雙曲線的方程（精確到1m）提煉總結(jié)1.雙曲線的幾何性質(zhì)