經(jīng)典力學(xué)：習(xí)題課4－動(dòng)量

1、力學(xué)力學(xué)習(xí)題課習(xí)題課四、動(dòng)量及動(dòng)量定理四、動(dòng)量及動(dòng)量定理例例4.1 4.1 一氣球下掛有一個(gè)軟梯，總質(zhì)量為一氣球下掛有一個(gè)軟梯，總質(zhì)量為M M，在軟體，在軟體上站有一個(gè)質(zhì)量為上站有一個(gè)質(zhì)量為m m的人。她們?cè)诟×Φ娜?。她們?cè)诟× F作用下加速上作用下加速上升。若人相對(duì)于軟梯以加速度升。若人相對(duì)于軟梯以加速度aa向上爬，問(wèn)此時(shí)，氣向上爬，問(wèn)此時(shí)，氣球上升的加速度為多少？球上升的加速度為多少？MFmaaoy【解法解法1 1】直接將牛頓定律應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)組直接將牛頓定律應(yīng)用于質(zhì)點(diǎn)組mMaaa而而()()MmMMFmM gMamaMam aa即即1()()()()MMaFmM gmamMFmagamMm

2、M結(jié)果正確，但理論上沒(méi)有依據(jù)，因?yàn)榕ｎD定律僅適用于質(zhì)點(diǎn)。結(jié)果正確，但理論上沒(méi)有依據(jù)，因?yàn)榕ｎD定律僅適用于質(zhì)點(diǎn)。設(shè)氣球和人相對(duì)于地面的加速度分別為設(shè)氣球和人相對(duì)于地面的加速度分別為 a aM M、a am m 。則有則有【解法解法2 2】對(duì)各質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出動(dòng)力學(xué)方程再求和對(duì)各質(zhì)點(diǎn)寫(xiě)出動(dòng)力學(xué)方程再求和兩式求和兩式求和mm fmMmFFmgFma人：人：()()m fMfmMFFmM gmaMa得到正確的結(jié)果，但該解法無(wú)新意，沒(méi)有用到質(zhì)點(diǎn)組的概念得到正確的結(jié)果，但該解法無(wú)新意，沒(méi)有用到質(zhì)點(diǎn)組的概念MMfMmMFFMgFMa氣球：氣球：() ()mMMFmM gmaMamamM a即即1()()MaFmM

3、gmamM也得到也得到【解法解法3 3】用非慣性系（以氣球?yàn)閰⒄障担┯梅菓T性系（以氣球?yàn)閰⒄障担┤耍喝耍簃 fmMMFFmgmamaMfMmMFFMgMa兩式求和兩式求和()()m fMfMMFFmM gmamaMa得到正確的結(jié)果，但該解法無(wú)新意，與解法得到正確的結(jié)果，但該解法無(wú)新意，與解法2 2相同相同氣球：氣球：() ()mMMFmM gmaMamamM a有有1()()MaFmM gmamM也得到也得到【解法解法4 4】用質(zhì)心的動(dòng)量定理（相對(duì)地面，靜止系）用質(zhì)心的動(dòng)量定理（相對(duì)地面，靜止系） 質(zhì)心坐標(biāo)質(zhì)心坐標(biāo)()()MmMmccMymyMymyyyMmMmmMyya而而()()cFMm

4、gMm y合外力合外力()()()MMMFMm gMym yaMm yma即即 1MMyaFmM gmamM()() 最后得最后得M MF Fm maao oy yy yM My yc cy ym ma aM M【解法解法5 5】用質(zhì)心系用質(zhì)心系設(shè)設(shè)v vmcmc和和v vMcMc分別為人和氣球在質(zhì)心系中的速度分別為人和氣球在質(zhì)心系中的速度因?yàn)橘|(zhì)心系是零動(dòng)量系，應(yīng)有因?yàn)橘|(zhì)心系是零動(dòng)量系，應(yīng)有McmcMvmv 等式兩邊加等式兩邊加 mvmvMcMc()()McMcMcmcMcMcmcmMmvMvmM vmvmvm vvmv 即即()McmMmM vmv 等式兩邊對(duì)等式兩邊對(duì)t t求導(dǎo)求導(dǎo)()Mc

5、MccFaaaagmM()()McMcmMmmvavamMmM 等式兩邊對(duì)等式兩邊對(duì)t t求導(dǎo)求導(dǎo)()()1()()MMccMFmaaFmM gmamaagamMmMM例例4.2 4.2 質(zhì)量為質(zhì)量為M M，長(zhǎng)為，長(zhǎng)為L(zhǎng) L的木船浮在靜止的水面上。一的木船浮在靜止的水面上。一質(zhì)量為質(zhì)量為m m的人站在船尾，從靜止開(kāi)始以恒定速率的人站在船尾，從靜止開(kāi)始以恒定速率v v0 0相相對(duì)船走向船頭，當(dāng)他到達(dá)船頭時(shí)突然停止。若水對(duì)船對(duì)船走向船頭，當(dāng)他到達(dá)船頭時(shí)突然停止。若水對(duì)船的阻力的阻力f f與船相對(duì)水的速率與船相對(duì)水的速率u u成正比，即成正比，即 f fkuku，求，求船的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。船的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。【

6、解解】分幾個(gè)階段求解分幾個(gè)階段求解 起步階段。人從靜止加速到起步階段。人從靜止加速到v v0 0的瞬間，該過(guò)程極短，阻力的瞬間，該過(guò)程極短，阻力可忽略，系統(tǒng)的動(dòng)量沿水平方向守恒?？珊雎?，系統(tǒng)的動(dòng)量沿水平方向守恒。設(shè)此時(shí)船速設(shè)此時(shí)船速v vM M，應(yīng)有，應(yīng)有000000mMMmMmvMvmvmM vvvv();()00Mm vvmM 即即（負(fù)號(hào)表示船速與人的速度方向相反）（負(fù)號(hào)表示船速與人的速度方向相反） 人的行走階段。人的行走階段。系統(tǒng)動(dòng)量系統(tǒng)動(dòng)量0()MpmvmM v00MMkvdvdvdtdtmM ()，0()MMdvdvmmMkvdtdt 即有即有Mdpkvdt 系統(tǒng)受到阻力系統(tǒng)受到阻力

7、 ，據(jù)動(dòng)量定理有，據(jù)動(dòng)量定理有Mfkv 可得可得MMdvkdtvmM ()積分得積分得0MkkttmMmMMmvvveemM ()()()0 0當(dāng)人到船尾時(shí)當(dāng)人到船尾時(shí)0Ltv此時(shí)此時(shí)010()()MMkLmM vmvvemvM （上式說(shuō)明船速按指數(shù)衰減）（上式說(shuō)明船速按指數(shù)衰減） 人到船頭突然停止。該過(guò)程很短，可不考慮阻力，則系統(tǒng)沿人到船頭突然停止。該過(guò)程很短，可不考慮阻力，則系統(tǒng)沿水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)人停止時(shí)船速水平方向動(dòng)量守恒。設(shè)人停止時(shí)船速v vM2M2，應(yīng)有，應(yīng)有012()()MMm vmMvmMv002010()()()()kLm M vMMmvmmvvvvemMmMmM即即得到得

8、到00210()()()kLmM vMmvvemM( (v vM M 2 2 0 0說(shuō)明，在人行走階段，系統(tǒng)從阻力得到向右的動(dòng)量）說(shuō)明，在人行走階段，系統(tǒng)從阻力得到向右的動(dòng)量） 以后的運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)受到阻力以后的運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)受到阻力 f = -kvf = -kvM M2 2( (與與x x軸相反）軸相反）22()MMdvmMkvdt 應(yīng)有應(yīng)有22()MMdvkdtvmM 即即220ktmMMMvve() 積分得積分得（式中（式中tt是以人剛停下作為是以人剛停下作為0 0時(shí)刻）時(shí)刻）得到得到0021kLktmM vmMMmvveemM()()()() 計(jì)算船移動(dòng)距離。計(jì)算船移動(dòng)距離。a. a. 在在0

9、 0L/vL/v0 0時(shí)間內(nèi)，設(shè)船移動(dòng)時(shí)間內(nèi)，設(shè)船移動(dòng) x x1 1000100L vL vMmvxv dtdtmM/() （負(fù)號(hào)表示船移動(dòng)方向（負(fù)號(hào)表示船移動(dòng)方向?yàn)闉閤 x軸反向）軸反向）即即0011kLmM vmvxek() b. b. 在在0 0tt時(shí)間內(nèi)，設(shè)船移動(dòng)時(shí)間內(nèi)，設(shè)船移動(dòng) 距離距離x x2 2 。22202002010kktmMtttmMMMMxvdtvedmvxmMekt)()()總距離總距離 x x x x1 1 x x2 20000111kLkLktm M vm M vm Mmvmvxeeekk()()()() 當(dāng)當(dāng)tt時(shí)時(shí) x0 x0。即船開(kāi)始向左移動(dòng)，后向右移動(dòng)，最后

10、回到原點(diǎn)。即船開(kāi)始向左移動(dòng)，后向右移動(dòng)，最后回到原點(diǎn)。002011kLktm M vm MMmvmvxemMekk()()() n分析：分析：船最終回到原點(diǎn)并不依賴人的行走方式。船最終回到原點(diǎn)并不依賴人的行走方式。( )( )dxu tvtdt 人相對(duì)速度人相對(duì)速度設(shè)船速設(shè)船速()pm uvM u質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量dpddumuvMkudtdtdt ()即有即有或或mdvmMdukudtkdx ()對(duì)上式積分，并考慮到對(duì)上式積分，并考慮到00fftvvuu ,當(dāng)當(dāng)tt時(shí)時(shí)0000ffvuxvumdvmM dukdxkx ()00000tvvuu, ,即即tt時(shí)，時(shí)，x x0 0例例4.3 4

11、.3 一個(gè)一個(gè)9090。彎水管，上端半徑為彎水管，上端半徑為d1d1，下端半徑為，下端半徑為d2d2，水流量，水流量為為q q（單位時(shí)間內(nèi)；流過(guò)管子的水的體積），水的密度為（單位時(shí)間內(nèi)；流過(guò)管子的水的體積），水的密度為。試。試求水管的彎處由于水的流動(dòng)而產(chǎn)生的附加壓力。求水管的彎處由于水的流動(dòng)而產(chǎn)生的附加壓力?！窘饨狻咳∷軆?nèi)取水管內(nèi)ABCDABCD這一段這一段的水為研究的質(zhì)點(diǎn)系。的水為研究的質(zhì)點(diǎn)系。121qvd 在在CDCD處（下端）進(jìn)水流速為：處（下端）進(jìn)水流速為：222qvd 在在ABAB處（上端）進(jìn)水流速為：處（上端）進(jìn)水流速為：分析：分析：ABCDABCD這段水的動(dòng)量變化，經(jīng)這段水的動(dòng)

12、量變化，經(jīng)tt時(shí)間，時(shí)間，ABAB處的液面到達(dá)處的液面到達(dá)ABAB面處，以面處，以v1v1速度下降；速度下降；CDCD處的液面到達(dá)處的液面到達(dá)CDCD面處，以面處，以v2v2速度出射；速度出射；ABCDABCD間的水的狀態(tài)與間的水的狀態(tài)與t t時(shí)刻相同，動(dòng)量無(wú)變化。時(shí)刻相同，動(dòng)量無(wú)變化。所以系統(tǒng)的動(dòng)量改變?yōu)椋核韵到y(tǒng)的動(dòng)量改變?yōu)椋篈B ABAB AB間的水動(dòng)量消失（垂直方向動(dòng)量消失）；間的水動(dòng)量消失（垂直方向動(dòng)量消失）；CD CDCD CD間的水動(dòng)量增加（水平方向動(dòng)量增加）間的水動(dòng)量增加（水平方向動(dòng)量增加）在在AB ABAB AB間水損失的體積：間水損失的體積：在在CD CDCD CD間水增加

13、的體積：間水增加的體積：且有：且有：12VV 1211Vd v dt 2222Vd v dt 則有：則有：2222222222xdpVvd v dt vd vdt 1122211111ydpVvd v dt vd vdt 所以：所以：222221112211yydpqqFd vddtdd 222222222222xxdpqqFd vddtdd 222441211xyqFFFdd 例例4.44.4：一電機(jī)重：一電機(jī)重P P，其外殼用螺桿固定于水平基座上。，其外殼用螺桿固定于水平基座上。有長(zhǎng)為有長(zhǎng)為2l2l，重為，重為p p的勻質(zhì)桿，其一端與電機(jī)軸固連，并的勻質(zhì)桿，其一端與電機(jī)軸固連，并與軸垂直；

14、另一端則連著一個(gè)重為與軸垂直；另一端則連著一個(gè)重為Q Q的鋼球。若電機(jī)轉(zhuǎn)的鋼球。若電機(jī)轉(zhuǎn)軸以勻角速度軸以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，試求作用在螺桿上的作用力。轉(zhuǎn)動(dòng)，試求作用在螺桿上的作用力。（設(shè)電機(jī)的質(zhì)心就在轉(zhuǎn)軸處，鋼球的體積可忽略）（設(shè)電機(jī)的質(zhì)心就在轉(zhuǎn)軸處，鋼球的體積可忽略）【解解】如圖所示，以轉(zhuǎn)軸為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。如圖所示，以轉(zhuǎn)軸為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。22cos,sinxltylt 電機(jī)的的質(zhì)心坐標(biāo)為（電機(jī)的的質(zhì)心坐標(biāo)為（x x1 1，y y1 1） ：1100,xy 設(shè)桿的的質(zhì)心坐標(biāo)為（設(shè)桿的的質(zhì)心坐標(biāo)為（x x2 2，y y2 2） ：鋼球質(zhì)心坐標(biāo)（鋼球質(zhì)心坐標(biāo)（x x3 3，y y3 3）為：

15、）為：3322cos,sinxltylt 則電機(jī)系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)（則電機(jī)系統(tǒng)質(zhì)心坐標(biāo)（x xc c，y yc c）為：）為：12302=2()ccososcoscPxpxQxPpltQpltxPpQPpQ ltPpQQ 12302=2()ssininsincPypyQyPpltQpltyPpQPpQ ltPpQQ 求得系統(tǒng)質(zhì)心加速度為：求得系統(tǒng)質(zhì)心加速度為：22()coscxcpQ laxtPpQ 22()sincycpQ laytPpQ 可得可得iciFm a 由系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)力學(xué)方程：由系統(tǒng)質(zhì)心的動(dòng)力學(xué)方程：2222()co()cossxPpQpQ lNtgPpQpQ ltg 2222()sin

16、()sinyPpQpQ lNtPpQgPpQpQ lPpQtg 螺桿處的最大水平力和垂直作用力為：螺桿處的最大水平力和垂直作用力為： 22max()ypQ lNPpQg 22max()xpQ lNg 22222222xyNNNpQ lpQ ltPpQtgg ()()cossin 222422222PpQpQ lpQlNPpQtgg ()()sin 例例4.5 4.5 水以恒定的速率水以恒定的速率v v0 0從面積為從面積為s s的噴嘴中射出，豎的噴嘴中射出，豎直向上形成水柱，將一質(zhì)量為直向上形成水柱，將一質(zhì)量為M M的水桶倒頂在空中。水的水桶倒頂在空中。水沖擊到桶底部后，有一半的水吸附在桶底并

17、沿著桶內(nèi)沖擊到桶底部后，有一半的水吸附在桶底并沿著桶內(nèi)壁流下，其流速可忽略；另一半水以原速率反向豎直壁流下，其流速可忽略；另一半水以原速率反向豎直濺下。求桶停在空中的高度濺下。求桶停在空中的高度h h。【解法一解法一】應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理水沖擊桶后，水的動(dòng)量水沖擊桶后，水的動(dòng)量設(shè)在設(shè)在t t時(shí)間內(nèi)有質(zhì)量時(shí)間內(nèi)有質(zhì)量m m的水噴向水桶。的水噴向水桶。0pmv 水沖擊桶前，水的動(dòng)量水沖擊桶前，水的動(dòng)量（向上為正向）（向上為正向）202vvgh 而而12pmv 0mv s t 水受到桶施予的沖量為桶受水沖擊的沖量之反，其沖量為水受到桶施予的沖量為桶受水沖擊的沖量之反，其沖量為IMgt

18、 即即01322Mgtppmvmvmv 200322Mgtv s tvgh 據(jù)動(dòng)量定理?yè)?jù)動(dòng)量定理解得解得22202220229vM ghgv s 【解法二解法二】變質(zhì)量體系求解變質(zhì)量體系求解分析：質(zhì)量主體分析：質(zhì)量主體M M，停在空中不動(dòng)，停在空中不動(dòng)00dvvdt, 受力受力Mg 質(zhì)量附體，分成三部分：質(zhì)量附體，分成三部分：00dmv sdt 不斷進(jìn)入桶的水，質(zhì)量為不斷進(jìn)入桶的水，質(zhì)量為相對(duì)桶的速度相對(duì)桶的速度202uvgh 吸附于桶底的水，質(zhì)量為吸附于桶底的水，質(zhì)量為011022dmv sdt 反向?yàn)R出的水，質(zhì)量為反向?yàn)R出的水，質(zhì)量為011022dmv sdt 0u （忽略其速度）（忽略其

19、速度）相對(duì)桶的速度相對(duì)桶的速度相對(duì)桶的速度相對(duì)桶的速度202uvgh 據(jù)變質(zhì)量方程據(jù)變質(zhì)量方程dvdmmFudtdt （向上為正向）（向上為正向）有有22000010222Mgv svghv svgh 即即200322Mgv svgh 解得解得22202220229vM ghgv s 例例4.6 4.6 一束速率為一束速率為v v0 0的水流水平地向質(zhì)量為的水流水平地向質(zhì)量為m m的木塊噴的木塊噴射，使原靜止的木塊獲得水平方向速度，水與木塊撞擊射，使原靜止的木塊獲得水平方向速度，水與木塊撞擊后即附著與木塊，隨即緩慢流失。設(shè)水流的橫截面積為后即附著與木塊，隨即緩慢流失。設(shè)水流的橫截面積為A A，

20、密度為，密度為，木塊與地面間的摩擦系數(shù)為，木塊與地面間的摩擦系數(shù)為。求（。求（1 1）木塊的最終速率；（木塊的最終速率；（2 2）木塊速率與時(shí)間的關(guān)系。）木塊速率與時(shí)間的關(guān)系。【解解】（1 1）求木塊的最終速率，用變質(zhì)量方程求解。）求木塊的最終速率，用變質(zhì)量方程求解。以木塊為主體，質(zhì)量以木塊為主體，質(zhì)量 m m，速度，速度 v v，動(dòng)量，動(dòng)量 mvmv以木塊上的水為附體，它分成兩部分。以木塊上的水為附體，它分成兩部分。噴向木塊的水為噴向木塊的水為質(zhì)量元質(zhì)量元1 1 10dmvvA t 10dmvvAdt 速度（相對(duì)于木塊）速度（相對(duì)于木塊） 10uvv 從木塊流走的水質(zhì)量元從木塊流走的水質(zhì)量元

21、2 2： 20dmvvAdt 速度（相對(duì)于木塊）速度（相對(duì)于木塊）20u 主體受外力：主體受外力：Ffmg 據(jù)變質(zhì)量方程據(jù)變質(zhì)量方程dvdmmFudtdt 長(zhǎng)時(shí)間后半木塊的速度為長(zhǎng)時(shí)間后半木塊的速度為v vf f，加速度為零，即，加速度為零，即 200fdvmmgvvAdt 即即 20dvmmgvvAdt （木塊的運(yùn)動(dòng)方程）（木塊的運(yùn)動(dòng)方程）可得到可得到0fmgvvA 由方程由方程 20dvmm gvvAdt （2 2）求解木塊速率與時(shí)間的關(guān)系）求解木塊速率與時(shí)間的關(guān)系改寫(xiě)為改寫(xiě)為 22200m dvvvvvA dtmgaA 或或 0220dvvAdtmavv 兩邊積分兩邊積分 022000v

22、tdvvAd tmavv 000012lnavvavAtaavvavm 得到得到 0001111tttta evevvaa eve 解得解得mgaA 2Agm 其中其中當(dāng)當(dāng)00,tv 00,fmgvvvvAta 【解法二解法二】將附著與木塊上的水將附著與木塊上的水m m作為質(zhì)點(diǎn)系。作為質(zhì)點(diǎn)系。設(shè)在設(shè)在t t時(shí)刻，水未附著于木塊，動(dòng)量時(shí)刻，水未附著于木塊，動(dòng)量 000fmvA vvtv 設(shè)設(shè)t+t+t t時(shí)刻，水附著于木塊，動(dòng)量時(shí)刻，水附著于木塊，動(dòng)量 0ffmvA vvtv 2000fffpA vvt vvA vvt 水動(dòng)量的變化是受到木塊施予的沖量水動(dòng)量的變化是受到木塊施予的沖量I I，而水

23、施予木塊的沖量，而水施予木塊的沖量是是 20fIpA vvt 木塊還受到地面摩擦力的沖量沖量木塊還受到地面摩擦力的沖量沖量Mgt 當(dāng)當(dāng)fvv 時(shí)木塊受到合沖量為零時(shí)木塊受到合沖量為零則則 200fMgtA vvt 可得到可得到0fmgvvA 例例4.7 4.7 一球狀塵埃通過(guò)均勻密度的水蒸氣云霧降落，一球狀塵埃通過(guò)均勻密度的水蒸氣云霧降落，液滴上的沉積率正比于單位時(shí)間液滴掃過(guò)的體積。如液滴上的沉積率正比于單位時(shí)間液滴掃過(guò)的體積。如果液滴在云霧中以靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求長(zhǎng)時(shí)間后液滴的果液滴在云霧中以靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求長(zhǎng)時(shí)間后液滴的加速度值。加速度值?！窘饨狻恳旱螢榍蛐危O(shè)塵埃質(zhì)量為液滴為球形，設(shè)塵埃質(zhì)量為M M0 0，半徑為，半徑為R R0 0，以開(kāi)始降落，以開(kāi)始降落時(shí)間為時(shí)間為t=0t=0，位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取，位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取x x軸向下。軸向下。設(shè)設(shè)t t時(shí)刻，液滴質(zhì)量為時(shí)刻，液滴質(zhì)量為M(t)M(t)，半徑為，半徑為R(t)R(t)。由題意：由題意： 330043M tMRR