特征方程法介紹

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上特征方程法 攻克遞推數(shù)列通項(xiàng)公式 【內(nèi)容摘要】用特征方程法求數(shù)列通項(xiàng)公式并非競賽的專利，普通的學(xué)生也可以掌握，利用本文的三個(gè)定理，可以快捷的求出2008年高考數(shù)學(xué)（廣東卷陜西卷）的數(shù)列壓軸題的通項(xiàng)公式。【關(guān) 鍵 詞】特征方程 遞推數(shù)列 通項(xiàng)公式【正 文】2008年高考廣東的文科數(shù)學(xué)和理科數(shù)學(xué)都是以數(shù)列作為壓軸題。從得分上看，文科數(shù)學(xué)的第21題數(shù)列題的平均分是0.14分 ，共有26萬多考生得0分，2位考生得滿分；理科數(shù)學(xué)的第21題數(shù)列題的平均分是0.71，共有16萬多位考生得0分， 103位考生得滿分。這兩個(gè)壓軸題的關(guān)鍵就是通項(xiàng)公式的求解。這兩個(gè)題通項(xiàng)公式的求解方法很多

2、，用一般的方法需要很強(qiáng)的構(gòu)造能力，而用數(shù)學(xué)競賽中的特征方程法求解是比較快捷的。而且這個(gè)方法，普通學(xué)生也可以掌握，只需掌握以下三個(gè)定理。一、一階線性遞推數(shù)列定理1：已知數(shù)列的項(xiàng)滿足其中,稱方程為數(shù)列的特征方程，設(shè)特征方程的根為，則（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)數(shù)列；（2）當(dāng)是以為公比的等比數(shù)列。例1已知數(shù)列滿足：，求解：相應(yīng)特征方程為所以數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列. 例2已知數(shù)列滿足遞推關(guān)系：其中為虛數(shù)單位。當(dāng)取何值時(shí)，數(shù)列是常數(shù)數(shù)列？解：相應(yīng)特征方程為則特征根要使為常數(shù)數(shù)列，則必須二、二階線性遞推數(shù)列定理2：已知數(shù)列的項(xiàng)滿足，稱方程，為數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，則（1）當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中

3、A，B由初始值決定；（2）當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中，由初始值決定。例3（2008年高考廣東卷文科數(shù)學(xué)第21題）設(shè)數(shù)列滿足， ，數(shù)列滿足是非零整數(shù)，且對任意的正整數(shù)m和自然數(shù)k，都有（1）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（2）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn.解：其中數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解如下：數(shù)列相應(yīng)的特征方程為，特征根為 可設(shè)。又由，于是 ，故例題4.（2008年高考廣東卷理科數(shù)學(xué)第21題）設(shè)為實(shí)數(shù)，是方程的兩個(gè)實(shí)根，數(shù)列滿足，（）（1）證明：，；（2）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若，求的前項(xiàng)和解：其中數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解如下：數(shù)列相應(yīng)的特征方程為，特征根為 當(dāng)時(shí)，可設(shè)，由，得 ， 當(dāng)時(shí)，可設(shè)，由，得 ，三、一次分式遞推數(shù)列定理3：已知數(shù)列的項(xiàng)滿足： 且對于，都有（其中p、q、r、h，且），稱方程為數(shù)列的特征方程.（1）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相同的特征根時(shí)，（i） 若則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列（ii）若，則數(shù)列為等差數(shù)列。（2）當(dāng)特征方程有兩個(gè)相異的特征根、時(shí)，則數(shù)列為等比數(shù)列。例題5（2008年高考陜西卷數(shù)學(xué)第22題）已知數(shù)列的首項(xiàng)，（）求的通項(xiàng)公式；（）證明：對任意的，；（）證明：解：其中數(shù)列的通項(xiàng)公式的求解如下：數(shù)列相應(yīng)的 特征方程為，特征根為所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得數(shù)列的首項(xiàng)是，所以， 可以看出，用特征