測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中人為操作引起的誤差探析

1、測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)中人為操作引起的誤差探析范天浩1，吳沖2（1.中國(guó)石油大學(xué) 石油工程學(xué)院，北京 102249 2.中國(guó)石油大學(xué) 理學(xué)院，北京 102249）摘要：針對(duì)測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)由于人為操作引起的誤差進(jìn)行了探究與分析，重點(diǎn)分析了細(xì)線(xiàn)與轉(zhuǎn)軸不垂直、轉(zhuǎn)盤(pán)傾斜兩種錯(cuò)誤操作引起的誤差結(jié)合驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果及相應(yīng)圖表，對(duì)相應(yīng)錯(cuò)誤操作引起的誤差進(jìn)行了詳細(xì)的理論分析，并指出了可能出現(xiàn)的其它實(shí)驗(yàn)誤差及其影響程度，最后給出了最佳實(shí)驗(yàn)條件及結(jié)論關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；誤差分析；人為誤差；細(xì)線(xiàn)與轉(zhuǎn)軸不垂直；轉(zhuǎn)盤(pán)傾斜中圖分類(lèi)號(hào)： 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： 文章編號(hào)：測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)是大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的一個(gè)基礎(chǔ)實(shí)驗(yàn)，測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的實(shí)驗(yàn)方法主要有扭

2、擺法，三線(xiàn)擺，利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x,其中利用轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x最為常用,而盡量減小實(shí)驗(yàn)誤差十分關(guān)鍵在開(kāi)展實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中，人為操作引起的誤差在各種誤差中占了很大比例本論文對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?jī)x測(cè)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的方法進(jìn)行了研究，從實(shí)驗(yàn)上分析了該方法的誤差來(lái)源。筆者有意利用同一臺(tái)實(shí)驗(yàn)儀器重點(diǎn)設(shè)計(jì)并完成了細(xì)線(xiàn)與轉(zhuǎn)軸不垂直、轉(zhuǎn)盤(pán)略?xún)A斜兩種錯(cuò)誤操作實(shí)驗(yàn)，并與正常實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比，深入分析兩種錯(cuò)誤操作對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的影響程度，并指出了反復(fù)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)的其它可能出現(xiàn)的誤差文章最后給出了本實(shí)驗(yàn)的最佳實(shí)驗(yàn)條件1結(jié)構(gòu)原理及正常實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖1 測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)儀器示意圖測(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)所用儀器示意圖如圖1測(cè)量時(shí)先將一細(xì)線(xiàn)一端固定在轉(zhuǎn)軸的塔輪上，另一端通過(guò)

3、定滑輪連接砝碼鉤然后轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái)使細(xì)線(xiàn)自然密繞于塔輪上，砝碼隨之上升到一定高度，釋放砝碼鉤，轉(zhuǎn)臺(tái)便會(huì)在細(xì)線(xiàn)的張力矩作用下作均加速轉(zhuǎn)動(dòng)安裝在測(cè)量?jī)x底座上的光感計(jì)數(shù)器會(huì)自動(dòng)計(jì)時(shí)并計(jì)算出轉(zhuǎn)臺(tái)的角加速度，通過(guò)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律便可計(jì)算出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，即(1)其中，為剛體所受合外力矩，為該剛體對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為角加速度設(shè)砝碼的質(zhì)量為，塔輪的繞線(xiàn)半徑，砝碼以勻加速度下落，于是可得繩子的張力 (2)這樣轉(zhuǎn)動(dòng)定律可寫(xiě)成 (3)其中摩擦力矩,為摩擦力產(chǎn)生的負(fù)角加速度當(dāng)時(shí)，近似有，于是可得剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 (4)實(shí)驗(yàn)利用一個(gè)質(zhì)量為467.21、內(nèi)外徑別為=10.5cm和=12cm的鋁環(huán)來(lái)驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)定律鋁環(huán)對(duì)中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣

4、量可用下式求得： （5）其中，為整個(gè)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，為承物臺(tái)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量鋁環(huán)的理論計(jì)算公式為： （6）而驗(yàn)證平行軸定理則主要通過(guò)驗(yàn)證如下關(guān)系： （7）其中為轉(zhuǎn)軸通過(guò)剛體的質(zhì)心時(shí)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為轉(zhuǎn)軸平行移動(dòng)距離；為剛體相對(duì)這個(gè)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；為一個(gè)小鋼柱的質(zhì)量在正常的實(shí)驗(yàn)條件下可得到如表的實(shí)驗(yàn)結(jié)果從表中可以看出驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)定律環(huán)節(jié)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論計(jì)算十分接近，并且理論值含在實(shí)驗(yàn)值范圍內(nèi)，可以看出實(shí)驗(yàn)結(jié)果很令人滿(mǎn)意，沒(méi)有一種誤差起主要作用然而在驗(yàn)證平行軸定理環(huán)節(jié)中實(shí)驗(yàn)雖與理論值偏差不大，但不確定度卻很大表1正常實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證轉(zhuǎn)動(dòng)定律驗(yàn)證平行軸定理空載承物臺(tái)全系統(tǒng)（2，2）（1，3）/（3，1）2.628&#

5、177;0.00300.718±0.00021.405±0.00121.338±0.0007-0.182±0.0194-0.035±0.0029-0.093±0.0079-0.086±0.0074 2.180±0.01528.134±0.03144.088±0.02184.302±0.02255.954±0.035 0.214±0.031 5.939 0.2086 說(shuō)明：實(shí)驗(yàn)每個(gè)步驟均做五組實(shí)驗(yàn)，表中每個(gè)數(shù)的誤差值均為考慮測(cè)量時(shí)間不確定度的B分量與角加速度不確定度A

6、分量的合成不確定度。2線(xiàn)與轉(zhuǎn)軸不垂直誤差分析在塔輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)細(xì)線(xiàn)并不與轉(zhuǎn)軸嚴(yán)格垂直，而是隨繞線(xiàn)高度而變化，而在學(xué)生操作時(shí)容易造成細(xì)線(xiàn)與軸初始便不垂直，會(huì)使細(xì)線(xiàn)部分不能密繞在塔輪上，導(dǎo)致細(xì)線(xiàn)與塔輪平面夾角更大，如圖所示.此時(shí)細(xì)線(xiàn)張力如圖圖2細(xì)線(xiàn)密繞 圖3 線(xiàn)與軸初始不垂直圖4 細(xì)線(xiàn)張力示意圖由受力分析可得與細(xì)線(xiàn)直徑、繞線(xiàn)圈數(shù)關(guān)系式如下 （8）其中，,為定滑輪半徑，為細(xì)線(xiàn)與塔輪的切點(diǎn)到與定滑輪的切點(diǎn)之間的距離經(jīng)分析和相對(duì)很小，可以忽略不計(jì)，細(xì)線(xiàn)與定滑輪的切點(diǎn)也可近似認(rèn)為不變故可簡(jiǎn)化為： （9）很小，有,可得細(xì)線(xiàn)相對(duì)張力（細(xì)線(xiàn)與水平線(xiàn)成角時(shí)細(xì)繩提供張力與細(xì)線(xiàn)處于水平線(xiàn)時(shí)提供張力之比）數(shù)值上等于由此可得細(xì)

7、線(xiàn)相對(duì)張力隨繞線(xiàn)圈數(shù)變化關(guān)系曲線(xiàn)如圖圖中列出了三種細(xì)線(xiàn)半徑的情況，當(dāng)線(xiàn)與轉(zhuǎn)軸初始不垂直導(dǎo)致線(xiàn)與線(xiàn)間有間隙的情況可近似看成是細(xì)線(xiàn)半徑變大由圖可看出細(xì)線(xiàn)高度變化對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果并不大實(shí)際驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)結(jié)果也與理論分析相一致圖5 細(xì)線(xiàn)相對(duì)張力隨繞線(xiàn)圈數(shù)變化曲線(xiàn)3 轉(zhuǎn)盤(pán)傾斜誤差分析轉(zhuǎn)盤(pán)傾斜對(duì)鋼柱“1，3”擺放實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)影響較大，因?yàn)殇撝陔S盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)重心會(huì)發(fā)生改變，使轉(zhuǎn)盤(pán)的瞬時(shí)角加速度發(fā)生改變，隨著轉(zhuǎn)動(dòng)圈數(shù)的累積，會(huì)對(duì)和產(chǎn)生較大影響。圖6顯示了轉(zhuǎn)盤(pán)受的繩張力矩和因盤(pán)傾斜產(chǎn)生的重力矩的情況，圖中虛線(xiàn)長(zhǎng)度對(duì)應(yīng)實(shí)際的盤(pán)轉(zhuǎn)動(dòng)力矩。圖6 盤(pán)傾斜時(shí)的實(shí)際轉(zhuǎn)動(dòng)力矩如圖7，圖8，設(shè)轉(zhuǎn)盤(pán)傾斜角，位置“3”到軸線(xiàn)距離，位置“1”到軸線(xiàn)距

8、離，空盤(pán)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，鋼柱質(zhì)量。假設(shè)初始位置“3”所在承物臺(tái)支架與盤(pán)傾斜方向夾角，且位于最低點(diǎn)。圖7 轉(zhuǎn)盤(pán)受力轉(zhuǎn)動(dòng)示意圖 圖8 轉(zhuǎn)盤(pán)傾斜轉(zhuǎn)盤(pán)從靜止開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，摩擦力矩常量砝碼提供轉(zhuǎn)動(dòng)力矩 （10）當(dāng)轉(zhuǎn)盤(pán)轉(zhuǎn)過(guò)角時(shí)，鋼柱因傾斜產(chǎn)生的轉(zhuǎn)動(dòng)力矩 （11）由轉(zhuǎn)動(dòng)定理有 （12）由角運(yùn)動(dòng)公式 （13）由（10）（11）（12）（13）得到與的關(guān)系式(14)其中由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析知 （15）由（14）式可得到t-曲線(xiàn)圖9 曲線(xiàn)圖中曲線(xiàn)由下到上分別對(duì)應(yīng)為0度到3度。由圖中曲線(xiàn)可得到、對(duì)應(yīng)的、。由于計(jì)數(shù)器的處理程序按均變速轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)計(jì)的，計(jì)算公式為 (16)因此當(dāng)盤(pán)傾斜時(shí)計(jì)數(shù)器仍會(huì)按上公式算出，所得結(jié)果如下表表2 理論計(jì)

9、算結(jié)果0123t13.068 3.1403.313 3.767 t26.124 6.232 6.580 7.494 1.34 1.31 1.17 0.91J4.304.394.886.16相同條件下實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果如下表3 實(shí)驗(yàn)測(cè)得結(jié)果01231.331.301.160.89J4.334.424.926.28可見(jiàn)實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析結(jié)果很相近，由以上結(jié)果可以看出：隨傾斜角度增大，加速減小，盤(pán)稍有傾斜就會(huì)對(duì)實(shí)驗(yàn)精度產(chǎn)生很大影響。以上分析及實(shí)驗(yàn)的條件是，并且計(jì)時(shí)初始速度為0，事實(shí)上初始夾角可以在一定范圍內(nèi)取值，計(jì)時(shí)初始轉(zhuǎn)速也可不為0，值會(huì)相應(yīng)變化，但都會(huì)受此規(guī)律的影響。在后四圈計(jì)算時(shí)，會(huì)出現(xiàn)同樣問(wèn)題，由

10、于值比小很多對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果影響相對(duì)較小，在此不再給出具體推導(dǎo)過(guò)程和結(jié)果。4其它誤差簡(jiǎn)要分析以上詳細(xì)分析了實(shí)驗(yàn)操作時(shí)最容易出現(xiàn)的兩種人為誤差，經(jīng)過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)分析和對(duì)比，發(fā)現(xiàn)還存在以下幾種可能的因素導(dǎo)致誤差4.1下落砝碼的擺動(dòng)當(dāng)砝碼擺動(dòng)時(shí)實(shí)際繩的接力是砝碼重力沿線(xiàn)方向的分力，當(dāng)繩與重力方向夾角為時(shí)，細(xì)繩提供的實(shí)際拉力為。砝碼在下落過(guò)程中擺幅會(huì)有增加,會(huì)減小，其中減小起主要作用。故砝碼剛下落的那段距離會(huì)對(duì)繩拉力產(chǎn)生較大影響。應(yīng)控制擺幅在砝碼下落10cm時(shí)小于0.7cm范圍內(nèi)。4.2儀器本身四支不在同一平面有些使用時(shí)間較長(zhǎng)的實(shí)驗(yàn)儀器會(huì)出現(xiàn)承物臺(tái)四條支腿不在同一平面的情況，可能導(dǎo)致在實(shí)驗(yàn)前的調(diào)平中將轉(zhuǎn)軸調(diào)傾斜

11、，或當(dāng)轉(zhuǎn)軸傾斜時(shí)加劇3中討論的重心變化對(duì)實(shí)驗(yàn)的影響。4.3摩擦力矩與轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速關(guān)系在實(shí)際操作中發(fā)現(xiàn)摩擦力矩并非恒定不變，而是隨著承物臺(tái)所放物品質(zhì)量和轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)速的增加有微小增加的，并且不同實(shí)驗(yàn)儀器之間的摩擦力矩有較大差別，有些老化儀器的摩擦力矩會(huì)有很大變化，故可能的話(huà)應(yīng)先對(duì)儀器進(jìn)行檢查，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題及時(shí)更換，或在用可能有問(wèn)題的儀器操作時(shí)可利用數(shù)據(jù)計(jì)算出各實(shí)驗(yàn)環(huán)節(jié)中的摩擦力矩是否有較大變化。4.4啟動(dòng)摩擦力矩實(shí)際上, 構(gòu)件剛開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí), 還要克服啟動(dòng)摩擦力矩的反作用,要比大得多。因此, 在剛剛起動(dòng)的那一小段時(shí)間內(nèi), 角加速度實(shí)際變小了, 因而在剛起動(dòng)這段角度范圍內(nèi), 測(cè)量構(gòu)件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量誤差加大。故當(dāng)儀器起動(dòng)摩擦力矩較大時(shí)有必要使構(gòu)件轉(zhuǎn)過(guò)適當(dāng)角度后再測(cè)量。5最佳實(shí)驗(yàn)條件及結(jié)論通過(guò)以上對(duì)各種可能人為實(shí)驗(yàn)誤差的詳細(xì)分析得到應(yīng)盡可能保證塔輪垂直，減小細(xì)線(xiàn)直徑，拉大定滑輪到轉(zhuǎn)軸的之間距離，待砝碼擺動(dòng)較小時(shí)再使轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。此外要保證實(shí)驗(yàn)的精確度，還應(yīng)首先檢查儀器承物臺(tái)四支是否