數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)

1、數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè) 廣州市番禺區(qū)教育局教研室嚴(yán)運(yùn)華內(nèi)容摘要：長(zhǎng)期以來(lái),由于受應(yīng)試教育的影響,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,仍然大量存在“重結(jié)論，輕過程”的現(xiàn)象，特別是在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中顯得更為突出，很多教師不注重概念的形成過程.針對(duì)這種現(xiàn)象,本文根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式對(duì)如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景作了一些探索.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念形成 問題情景數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè) 廣州市番禺區(qū)教育局教研室嚴(yán)運(yùn)華內(nèi)容摘要：長(zhǎng)期以來(lái),由于受應(yīng)試教育的影響,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,仍然大量存在“重結(jié)論，輕過程”的現(xiàn)象，特別是在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中顯得更為突出，很多教師不注重概念的形成過程.針對(duì)這種現(xiàn)象,本文根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式對(duì)如

2、何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景作了一些探索.關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)概念形成 問題情景 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般來(lái)說要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用）等階段.但就目前的現(xiàn)狀,并不令人樂觀,從筆者2000學(xué)年深入學(xué)校所聽的近100節(jié)課的情況看,仍然大量存在“重結(jié)論，輕過程”的現(xiàn)象，特別是在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中顯得更為突出，很多教師不注重概念的形成過程，只是重視概念運(yùn)用的教學(xué).這種教學(xué)模式忽視了數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，沒有體現(xiàn)學(xué)生的主體性，嚴(yán)重影響了學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙了學(xué)生的能力發(fā)展.造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由

3、于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，在數(shù)學(xué)教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動(dòng),不能使學(xué)生的認(rèn)知過程是一個(gè)再創(chuàng)造的過程,實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)，理解、創(chuàng)造與應(yīng)用;另一方面是更多教師卻不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng).針對(duì)這種現(xiàn)象，筆者作了一些思考，在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，教師如何設(shè)計(jì)有效的問題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動(dòng)，探究規(guī)律，得出新的數(shù)學(xué)概念.從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力.本文對(duì)此談些膚淺認(rèn)識(shí). 數(shù)學(xué)概念有些是由生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來(lái)，有些是由數(shù)學(xué)自身

4、的發(fā)展而產(chǎn)生，而有些數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生.根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以有下列幾種方法來(lái)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景： 一、創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景 中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過概念的屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣，新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建. 例1 異面直線距離的概念教學(xué)（1）展示概念背景：我們已經(jīng)知道：刻劃兩條異面直線的相對(duì)位置的一個(gè)幾何量異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，還要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個(gè)量異面直線之間

5、的距離.（2）創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：先回顧一下過去學(xué)過哪些距離？（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離）請(qǐng)大家回憶各種距離概念的定義，在這幾種距離的 “發(fā)展”中有什么共同點(diǎn)？（各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離定義都是確定的而且最?。〣ACDMNab（3）啟迪發(fā)現(xiàn)階段：定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，那么異面直線a,b上哪兩點(diǎn)之間的距離最小呢？為什么？ 進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過直線a上一點(diǎn)B作AB直線b,則線段AB的長(zhǎng)為異面直線a,b間的距離,對(duì)嗎?因?yàn)檫^A作AC直線a,在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性.再過C作CD直線b,如此下去，線段只垂直于a,b

6、中的一條時(shí),總是某直角三角形的斜邊,不可能是a,b上任兩點(diǎn)間距離的最小者，那么，異面直線a,b上任兩點(diǎn)間距離的最小者到底應(yīng)該是哪條線段的長(zhǎng)呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線a,b都垂直相交的線段.（4）表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):a,b的公垂線段MN的長(zhǎng)度具有最小性,又公垂線是唯一的,所以,可以用線段MN定義為異面直線a,b之間的距離. 以上通過引導(dǎo)學(xué)生研究已有 “距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭.這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)模的概念與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類比，三元均值不等式與二元均值不等式的類

7、比，二次方程概念與一次方程概念的類比等等. 二、回顧已有相關(guān)概念的擴(kuò)充歷程,創(chuàng)設(shè)沖突引發(fā)進(jìn)一步擴(kuò)充概念的情景 有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示已有概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成的引入新概念.例2 復(fù)數(shù)概念的教學(xué)：先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)： 正整數(shù) 自然數(shù) 非負(fù)有理數(shù) 有理數(shù) 實(shí)數(shù) 并提出問題:1. 上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？（實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行）數(shù)集的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了如下規(guī)律：（1） 每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素；（2） 在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立；（3） 每次擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題.有了上述準(zhǔn)

8、備后，教師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性.那么，怎樣解決這個(gè)問題呢？2. 借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定（略）這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，同時(shí)為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ). 三、創(chuàng)設(shè)發(fā)現(xiàn)新、舊概念間聯(lián)系及遷移的問題情景 許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問題情景，引導(dǎo)學(xué)生將新的概念轉(zhuǎn)化為已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的相關(guān)概念，建立起新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固的掌握新的概念.例3 異面直

9、線所成角的概念教學(xué)：（1）展示概念背景（導(dǎo)引階段）教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中有幾對(duì)異面直線？接著教師指出：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒有區(qū)別？教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來(lái)描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步考慮它們的相對(duì)位置這就給數(shù)學(xué)提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說，引進(jìn)一些什么數(shù)學(xué)量來(lái)刻劃這種相對(duì)位置？(2) 情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來(lái)刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來(lái)刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，那么用什么來(lái)刻劃兩異面直線的相對(duì)位置呢？我們還

10、知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個(gè)角以它的大小來(lái)度量異面直線所成的角的大小為了解決這個(gè)問題，我們看一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線、（但交點(diǎn)在紙外）現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長(zhǎng)紙上的線段，問如何能量出、所成的角的大??？(3) 啟迪發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問題的方法是過一點(diǎn)分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線所成的角呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線所成角可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線所成的角（即過一點(diǎn)分別作a,b的平行線，這兩條平行線所成的角）(4) 精確表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一定可以作出來(lái)嗎？角的大小與作

11、法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個(gè)問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無(wú)關(guān)，點(diǎn)O可任選一般總是將點(diǎn)選在特殊位置至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個(gè)過程中滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法四、提供感性材料,創(chuàng)設(shè)歸納、抽象的問題情景有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活，是從生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來(lái)，對(duì)于這些概念教學(xué)要通過一些感性材料，創(chuàng)設(shè)歸納、抽象的情景，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性.例4 數(shù)軸概念的教學(xué).觀察生活中的桿秤特點(diǎn)：拿根桿秤稱物體，移動(dòng)秤砣使

12、秤桿平衡時(shí)，秤桿上的對(duì)應(yīng)星點(diǎn)表示的數(shù)字即為所稱物體的重量；顯然秤砣越往右移，所稱的物體越重.同樣的我們?nèi)粘Ｉ钪惺褂脺囟扔?jì)也有類似的特點(diǎn).進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生抽象出本質(zhì)屬性：（1） 度量的起點(diǎn)（2）度量的單位（3）增減的方向我們能否用一個(gè)更加簡(jiǎn)單形象的圖示方法來(lái)描述它呢？由此啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，從而引進(jìn) “數(shù)軸”的概念.這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，積極參與教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高.五、通過具體實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)問題情景 有些數(shù)學(xué)概念可以通過引導(dǎo)學(xué)生從自己的親自實(shí)驗(yàn)或通過現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及自己操作（幾何畫板提供了很好的軟

13、件）中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成.例5 橢圓概念的教學(xué). 可分幾個(gè)步驟進(jìn)行（1）實(shí)驗(yàn) 獲得感性認(rèn)識(shí)（要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個(gè)小圖釘和一長(zhǎng)度為定長(zhǎng)的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)，所得圖形為橢圓）（2）提出問題，思考討論.橢圓上的點(diǎn)有何特征？當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個(gè)定義嗎？（3）揭示本質(zhì)，給出定義.象這樣，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)、討論后，對(duì)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)會(huì)掌握得很好.不會(huì)出現(xiàn)忽略橢圓定義中的定長(zhǎng)應(yīng)大于兩定點(diǎn)之間的距離的錯(cuò)誤.以上列舉了五種方法，事實(shí)上，這五種方法不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的，有

14、些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過程需要綜合運(yùn)用多種方法.關(guān)于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)這里僅探討了概念的形成的教學(xué)，并沒有包括概念教學(xué)的全部，還有概念的剖析、概念的運(yùn)用及概念的變式等問題.參考文獻(xiàn)1 葉芳琴. 暴露什么與怎樣暴露. 數(shù)學(xué)通報(bào)1997.102 章建躍. 關(guān)于課堂教學(xué)中設(shè)置問題情景的幾個(gè)問題 數(shù)學(xué)通報(bào)1994.63 嚴(yán)運(yùn)華. “問題鏈”的設(shè)計(jì)與教學(xué) 廣東教育2000.12.該文已發(fā)表在山西教學(xué)與管理2000年第6期上。數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè) 廣州市番禺區(qū)教育局教研室 嚴(yán)運(yùn)華 數(shù)學(xué)概念的教學(xué)一般都要經(jīng)歷概念的形成、概念的表述、概念的辨析、概念的應(yīng)用（包括概念所涉及的數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用）等階段。在數(shù)學(xué)

15、概念的教學(xué)中，很多教師往往不注重概念的形成過程，只重視概念的運(yùn)用，忽視數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與形成的重要階段，強(qiáng)行地將一些新的數(shù)學(xué)概念灌輸給學(xué)生，無(wú)從體現(xiàn)學(xué)生的主體性，將嚴(yán)重影響學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)觀，阻礙學(xué)生的能力發(fā)展。造成這種現(xiàn)象的原因，一方面是由于教師的教學(xué)觀念比較陳舊，在教學(xué)中不重視學(xué)生的思維活動(dòng),不能使學(xué)生的認(rèn)知過程成為一個(gè)再創(chuàng)造的過程,實(shí)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)、理解、創(chuàng)造與應(yīng)用；另一方面是許多教師不知如何創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生開展探索活動(dòng)。在數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，如何設(shè)計(jì)有效的問題情景，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生參與課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動(dòng)，探究規(guī)

16、律，得出新的數(shù)學(xué)概念。從而使學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生過程，提高他們對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)水平，掌握數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力，這是數(shù)學(xué)概念教學(xué)要研究的首要問題。一、 創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景的途徑數(shù)學(xué)概念有些是由生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來(lái)的，有些是由數(shù)學(xué)自身的發(fā)展而產(chǎn)生的，許多數(shù)學(xué)概念源于生活實(shí)際，但又依賴已有的數(shù)學(xué)概念而產(chǎn)生。根據(jù)數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的方式及數(shù)學(xué)思維的一般方法，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，可以用下列幾種方法來(lái)創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)概念形成的問題情景。（一）回顧已有相似概念，創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景 中學(xué)數(shù)學(xué)中有許多概念具有相似的屬性，對(duì)于這些概念的教學(xué)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生研究已學(xué)過的概念屬性，然后創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題

17、情景，引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，嘗試給新概念下定義，這樣新的概念容易在原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中得以同化與構(gòu)建。 例1 異面直線的距離的教學(xué)（1）展示概念背景：向?qū)W生指出：刻劃兩條異面直線的相對(duì)位置的一個(gè)幾何量異面直線所成的角，這只能反映兩異面直線的傾斜程度，若要刻劃其遠(yuǎn)近程度，需要用另一個(gè)量異面直線之間的距離。（2）創(chuàng)設(shè)類比發(fā)現(xiàn)的問題情景：先引導(dǎo)學(xué)生回顧一下過去學(xué)過的有關(guān)距離的概念（點(diǎn)與點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離、平行線之間的距離），并概括出它們的共同點(diǎn)：各種距離概念都?xì)w結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)間的距離；每種距離都是確定的而且是最小的。BACDMNba（3）啟迪發(fā)現(xiàn)階段：指出定義兩異面直線的距離也必須遵循上述原則，然后引導(dǎo)學(xué)

18、生討論：異面直線a、b上哪兩點(diǎn)之間的距離最??？為什么？ 進(jìn)一步誘導(dǎo)：如右圖，過直線a上一點(diǎn)B作AB直線b，垂足為點(diǎn)A，則線段AB的長(zhǎng)為異面直線a,b間的距離,對(duì)嗎?因?yàn)檫^A作AC直線a，垂足為C，在RTABC中有ABAC,即AB不具有最小性。再過C作CD直線b，如此下去，線段只垂直于a、b中的一條時(shí),總是某直角三角形的斜邊,不可能是a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者，那么，異面直線a、b上任兩點(diǎn)間距離的最小者到底應(yīng)該是哪條線段的長(zhǎng)呢？學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)：可能是與異面直線a、b都垂直相交的線段。（4）表述論證階段：最后引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：異面直線a、b的公垂線段MN的長(zhǎng)度具有最小性,又公垂線是唯一的，所以，可以把線

19、段MN定義為異面直線a,b之間的距離。以上通過引導(dǎo)學(xué)生研究已有 “距離”概念的本質(zhì)特點(diǎn)，即產(chǎn)生新的概念的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，以類比方法獲得異面直線距離的概念，學(xué)生覺得這一概念是已有距離概念的一種自然發(fā)展，不感到別扭。這樣的概念還有很多，如復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對(duì)值類比、二次方程與一次方程的類比、空間的二面角與平面的角類比等等。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新舊概念的相似點(diǎn)，為新的數(shù)學(xué)概念的形成提供必要的“認(rèn)知基礎(chǔ)”，通過與熟悉的概念類比（類比的形式多樣，如平面與空間的類比、高維與低維的類比、有限與無(wú)限的類比，還有方法類比、結(jié)構(gòu)類比、形式類比等等），可使學(xué)生更好地認(rèn)識(shí)、理解、掌握新的數(shù)學(xué)概念。當(dāng)然

20、要注意類比得出的結(jié)論不一定正確，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生修正錯(cuò)誤的類比設(shè)想，直到得出正確結(jié)果。（二）由已有相關(guān)概念的比較，創(chuàng)設(shè)歸納發(fā)現(xiàn)的問題情景 有些數(shù)學(xué)概念是已有概念的擴(kuò)充，若能揭示概念的擴(kuò)充規(guī)律，便可以水到渠成地引入新概念。例2 復(fù)數(shù)概念的教學(xué)先回顧已經(jīng)歷過的幾次數(shù)集擴(kuò)充的事實(shí)：正整數(shù) 自然數(shù) 非負(fù)有理數(shù) 有理數(shù) 實(shí)數(shù)，然后教師提出以下問題:（1）上述數(shù)集擴(kuò)充的原因及其規(guī)律如何？實(shí)際問題的需要使得在已有的數(shù)集內(nèi)有些運(yùn)算無(wú)法進(jìn)行，數(shù)集的擴(kuò)充過程體現(xiàn)了如下規(guī)律： 每次擴(kuò)充都增加規(guī)定了新元素； 在原數(shù)集內(nèi)成立的運(yùn)算規(guī)律，在數(shù)集擴(kuò)充后的更大范圍內(nèi)仍然成立； 擴(kuò)充后的新數(shù)集里能解決原數(shù)集不能解決的問題。有了上述準(zhǔn)

21、備后，教師提出問題：負(fù)數(shù)不能開平方的事實(shí)說明實(shí)數(shù)集不夠完善，因而提出將實(shí)數(shù)集擴(kuò)充為一個(gè)更為完整的數(shù)集的必要性。那么，怎樣解決這個(gè)問題呢？（2）借鑒上述規(guī)律，為了擴(kuò)充實(shí)數(shù)集，引入新元素i，并作出兩條規(guī)定。（略）這樣學(xué)生對(duì)i的引入不會(huì)感到疑惑，對(duì)復(fù)數(shù)集概念的建立也不會(huì)覺得突然，使學(xué)生的思維很自然地步入知識(shí)發(fā)生和形成的軌道中，為概念的理解和進(jìn)一步研究奠定基礎(chǔ)。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)的關(guān)鍵是揭示出相關(guān)概念的擴(kuò)充發(fā)展的背景及其規(guī)律，從而引發(fā)新的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生。（三）聯(lián)想相關(guān)數(shù)學(xué)概念，創(chuàng)設(shè)引發(fā)猜想的問題情景 許多數(shù)學(xué)概念間存在著一定的聯(lián)系，教師若能將新舊概念間的聯(lián)系點(diǎn)設(shè)計(jì)成問題情景，引導(dǎo)學(xué)生建立起

22、新舊概念間的聯(lián)系，便可以使學(xué)生牢固地掌握新的概念。例3 異面直線所成角的概念教學(xué)（1）展示概念背景：教師與學(xué)生一起以熟悉的正方體為例，請(qǐng)學(xué)生觀察圖中有幾對(duì)異面直線？接著提問：從位置關(guān)系看，同為異面直線，但它們的相對(duì)位置，是否就沒有區(qū)別？教師緊接著說：既然有區(qū)別，說明僅用“異面”來(lái)描述異面直線間的相對(duì)位置顯然是不夠的。在生產(chǎn)實(shí)際與數(shù)學(xué)問題中，有時(shí)還需要進(jìn)一步精確化，這就提出了一個(gè)新任務(wù)：怎樣刻劃異面直線間的這種相對(duì)位置，或者說，引進(jìn)一些什么數(shù)量來(lái)刻劃這種相對(duì)位置？(2)情境設(shè)計(jì)階段：我們知道平面幾何中用“距離”來(lái)刻劃兩平行直線間的相對(duì)位置，用“角”來(lái)刻劃兩相交直線間的相對(duì)位置，那么用什么來(lái)刻劃兩

23、異面直線的相對(duì)位置呢？我們還知道兩異面直線不相交，但它們又確實(shí)存在傾斜程度不同，這就需要我們找到一個(gè)角，用它的大小來(lái)度量異面直線的相對(duì)傾斜程度。為了解決這個(gè)問題，我們研究一道題：一張紙上畫有兩條能相交的直線、（但交點(diǎn)在紙外）現(xiàn)給你一副三角板和量角器，限定不許拼接紙片，不許延長(zhǎng)紙上的線段，問如何能量出、所成的角的大??？(3)猜想發(fā)現(xiàn)階段：解決上述問題的方法是過一點(diǎn)分別作a,b的平行線，該方法能否遷移到兩異面直線的傾斜程度呢？經(jīng)學(xué)生研討后能粗略地得出異面直線的傾斜程度可轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線的角（即過一點(diǎn)分別作a、b的平行線，這兩條平行線所成的角）(4)表述論證階段：教師提問，這角（或平行線）一

24、定可以作出來(lái)嗎？角的大小與作法有什么關(guān)系？（以上即是存在性和確定性問題）通過解決以上兩個(gè)問題得到：兩異面直線所成角的范圍規(guī)定在（0，內(nèi)，那么它的大小，由異面直線本身決定，而與點(diǎn)O（一線的平行線與另一線的平行線的交點(diǎn)）的選取無(wú)關(guān)，點(diǎn)O可任選一般總是將點(diǎn)選在特殊位置至此，兩異面直線所成角的概念完全建立了，在這個(gè)過程中滲透了把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題這一化歸的數(shù)學(xué)思想方法。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要抓住新、舊數(shù)學(xué)概念間的本質(zhì)屬性，為新概念的產(chǎn)生創(chuàng)設(shè)適當(dāng)?shù)墓讨c(diǎn)，使其孕育新的數(shù)學(xué)概念的形成。（四）提供感性材料,創(chuàng)設(shè)抽象與概括的問題情景有些數(shù)學(xué)概念源于現(xiàn)實(shí)生活，是從生產(chǎn)、生活實(shí)際問題中抽象出來(lái)的

25、，對(duì)于這些概念的教學(xué)要通過一些感性材料，創(chuàng)設(shè)抽象與概括的情景，引導(dǎo)學(xué)生提煉數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性。 例4 數(shù)軸概念的教學(xué)教師先出示下列問題：小張家向東走20米是書店，向西走30米是少年宮。若規(guī)定向東走為正，向西走為負(fù)，那么，小張從家出發(fā)，走到書店應(yīng)記作什么？走到少年宮記作什么？溫度計(jì)顯示零上20C，零下3C，你如何用有理數(shù)表示。教師接著要求學(xué)生將上述兩個(gè)問題分別用簡(jiǎn)單形象的圖示方法來(lái)描述它們，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生提煉出它們的共同屬性：（1）能用圖線表示事物的數(shù)量特征（可用同一直線上的線段來(lái)刻劃）（2）度量的起點(diǎn)（0C和小張家）（3）度量的單位（溫度計(jì)每格表示1C）（4）有表示相反意義的方向（向東為正，

26、向西為負(fù)；零上為正，零下為負(fù)）這樣就啟發(fā)學(xué)生用直線上的點(diǎn)表示數(shù)，對(duì)于“表示相反意義的方向”用箭頭“ ”表示正方向，從而引進(jìn) “數(shù)軸”的概念。這樣做符合學(xué)生的認(rèn)識(shí)規(guī)律，給學(xué)生留下深刻持久的印象，同時(shí)也有助于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，促使他們積極參與教學(xué)活動(dòng)，有利于學(xué)生思維能力的培養(yǎng)和素質(zhì)的提高。這類數(shù)學(xué)概念形成的問題情景創(chuàng)設(shè)一定要遵循認(rèn)識(shí)規(guī)律，從感性到理性，從具體到抽象，通過學(xué)生熟悉的實(shí)際例子，恰當(dāng)?shù)卦O(shè)計(jì)一些問題，讓學(xué)生經(jīng)過比較、分類、抽象等思維活動(dòng)，從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，最后通過概括得出新的數(shù)學(xué)概念。（五）通過學(xué)生實(shí)驗(yàn)，創(chuàng)設(shè)觀察、發(fā)現(xiàn)的問題情景 有些數(shù)學(xué)概念可以通過引導(dǎo)學(xué)生從自己的親自實(shí)驗(yàn)或通

27、過現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示及自己操作（如幾何畫板提供了很好的工具）去領(lǐng)悟數(shù)學(xué)概念的形成，讓學(xué)生在動(dòng)手操作、探索反思中掌握數(shù)學(xué)概念。例5 橢圓概念的教學(xué) 可分下列幾個(gè)步驟進(jìn)行：（1）實(shí)驗(yàn) 獲得感性認(rèn)識(shí)（要求學(xué)生用事先準(zhǔn)備的兩個(gè)小圖釘和一長(zhǎng)度為定長(zhǎng)的細(xì)線，將細(xì)線的兩端固定，用鉛筆把細(xì)線拉緊，使筆尖在紙上慢慢移動(dòng)，畫得圖形為橢圓）（2）提出問題，思考討論。橢圓上的點(diǎn)有何特征？當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？當(dāng)細(xì)線的長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)，其軌跡是什么？你能給橢圓下一個(gè)定義嗎？（3）揭示本質(zhì)，給出定義。象這樣，學(xué)生經(jīng)歷了實(shí)驗(yàn)、討論后，對(duì)橢圓的定義的實(shí)質(zhì)會(huì)掌握得很好，不會(huì)出現(xiàn)忽略橢圓定義中

28、的定長(zhǎng)應(yīng)大于兩定點(diǎn)之間的距離的錯(cuò)誤。這類數(shù)學(xué)概念的形成一定要學(xué)生動(dòng)手操作實(shí)驗(yàn)，仔細(xì)觀察，并能根據(jù)需要適當(dāng)變換角度來(lái)抓住問題的特征以解決問題。培養(yǎng)學(xué)生敏銳的觀察力是解決這類問題的關(guān)鍵。除了真實(shí)的實(shí)驗(yàn)外，還可以充分利用現(xiàn)代教育技術(shù)設(shè)計(jì)一些仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)不能只是作為教師來(lái)演示的一種工具，而是要能由學(xué)生可以根據(jù)自己的思路進(jìn)行動(dòng)手操作的學(xué)具，讓學(xué)生通過實(shí)際操作學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)！以上列舉的幾種方法不是獨(dú)立的，而是相互聯(lián)系的，有些數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生與形成過程需要綜合運(yùn)用多種方法才能創(chuàng)設(shè)出利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)的問題情景。二、 數(shù)學(xué)概念形成階段教學(xué)應(yīng)注意的問題在創(chuàng)設(shè)問題情景時(shí)，還應(yīng)創(chuàng)設(shè)師生共同研究問題的良好氛圍。教

29、師要積極鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立提出問題、獨(dú)立分析、解決問題，還要鼓勵(lì)學(xué)生之間互相研討問題，大膽向教師提問題或提出創(chuàng)見性的觀點(diǎn)，努力營(yíng)造一種師生之間平等共同研討、分析解決問題的民主氣氛，形成師生間和諧良好的人際關(guān)系，使課堂教學(xué)充滿活力。在教學(xué)中要注意以下問題：（一） 注意問題的呈示方式 有了合適的問題情景，還必須注意問題的呈示方式。我們認(rèn)為：?jiǎn)栴}的呈示要以學(xué)生主體的充分發(fā)揮為前提，重視知識(shí)的發(fā)現(xiàn)和探索過程，重視學(xué)生的內(nèi)心體驗(yàn)。通過問題的呈示能使學(xué)生充分地展開思維活動(dòng)（包括動(dòng)手、動(dòng)腦），教師應(yīng)留給學(xué)生一定的思考時(shí)間和空間，不要急于將答案告訴學(xué)生，應(yīng)把發(fā)現(xiàn)問題的機(jī)會(huì)，大智若愚地讓給學(xué)生，讓學(xué)生的思維得到充分的

30、暴露，教師根據(jù)學(xué)生出現(xiàn)的一些問題，有針對(duì)性地組織討論、辨析，并在關(guān)鍵處予以點(diǎn)撥，真正使學(xué)生體驗(yàn)到新的數(shù)學(xué)概念的形成過程。（二） 教學(xué)形式要多樣化課堂教學(xué)從本質(zhì)上說是一種“溝通”與“合作”的活動(dòng)，是教師主導(dǎo)與學(xué)生主體相互作用以實(shí)現(xiàn)學(xué)生有意義學(xué)習(xí)的過程，要使這個(gè)過程順利進(jìn)行，必須充分發(fā)揮師生雙方的積極性和主動(dòng)性。為了充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，教學(xué)形式應(yīng)盡可能多樣化。教學(xué)不能只是教師的講授，還應(yīng)包括學(xué)生的獨(dú)立自主探究，集體研究，小組討論或先學(xué)生獨(dú)立研究再相互交流，或帶著問題自學(xué)等多種方式。這樣有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。至于如何確定教學(xué)形式，這要考慮所研究問題的難易程度及學(xué)生的知識(shí)和思維水平。一般來(lái)說，

31、要盡可能讓學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，只要學(xué)生有能力通過活動(dòng)解決的問題，就應(yīng)該讓學(xué)生獨(dú)立完成。對(duì)有一定難度的問題，可先讓學(xué)生獨(dú)立研究，再組織小組交流（教師參與小組研究，并在關(guān)鍵處作適當(dāng)點(diǎn)撥），最后師生一起探索得出結(jié)論。（三） 滲透數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性認(rèn)識(shí)飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要依據(jù)數(shù)學(xué)思想方法，經(jīng)過分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工而成。因此教師應(yīng)注意將在解決問題的過程中所涉及的數(shù)學(xué)思想方法顯化，對(duì)解決問題的思維策略進(jìn)行提煉，讓學(xué)生學(xué)會(huì)思維，提高自我探索、發(fā)現(xiàn)創(chuàng)造的能力。如例5中學(xué)生根據(jù)操作過程類比圓的概念產(chǎn)生這樣的定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之

32、和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓。怎樣使學(xué)生意識(shí)到這一定義不完備呢？如何讓學(xué)生完善這一定義呢？可讓學(xué)生將兩個(gè)定點(diǎn)由近到遠(yuǎn)地多畫些橢圓，當(dāng)學(xué)生將此操作進(jìn)行至極限（即細(xì)線的長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)之間的距離時(shí)）時(shí)發(fā)現(xiàn)畫出的是一條線段。這樣的過程能夠使學(xué)生獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)和完善橢圓的定義。這種不斷實(shí)驗(yàn)、觀察、進(jìn)而得到發(fā)現(xiàn)的“科研”方法要讓學(xué)生通過學(xué)習(xí)逐步掌握。學(xué)生掌握這些方法將受益終身！【參考文獻(xiàn)】1 葉芳琴 暴露什么與怎樣暴露 數(shù)學(xué)通報(bào)1997年第10期2 章建躍 關(guān)于課堂教學(xué)中設(shè)置問題情景的幾個(gè)問題 數(shù)學(xué)通報(bào)1994年第6期3 嚴(yán)運(yùn)華 “問題鏈”的設(shè)計(jì)與教學(xué) 廣東教育2000年第12期4 嚴(yán)運(yùn)華 提高數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生的參

33、與程度 教學(xué)與管理1999年第3期5 羅增儒著 中學(xué)數(shù)學(xué)課例分析陜西師范大學(xué)出版社 2001年7月第1版6 石志群 問題與活動(dòng)課堂教學(xué)的核心 中學(xué)數(shù)學(xué)2000年第10期重視概念形成過程 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究文章摘要：概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要組成部分。在概念教學(xué)中教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)設(shè)計(jì)教學(xué)過程，充分調(diào)動(dòng)他們的積極性、主動(dòng)性、創(chuàng)造性，使學(xué)生全面、深入地掌握所學(xué)概念。本文依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性原則和使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，自主發(fā)展的教學(xué)理念，提出在教學(xué)中，重視概念形成過程 引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究。大致內(nèi)容如下： 一、在初步建立概念的過程中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究； 二、在概念的鞏固、深化過程中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究。關(guān)鍵詞

34、：主動(dòng)探究 本質(zhì)屬性 認(rèn)知沖突 概念體系 概念教學(xué)是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要組成部分。學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解以及智力、能力的培養(yǎng)和提高都建立在一定的概念基礎(chǔ)之上。因此，概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須抓好的重要環(huán)節(jié)。小學(xué)生在學(xué)習(xí)概念中有如下特點(diǎn)：1、認(rèn)識(shí)事物正處于由具體形象思維向抽象思維過渡；2、喜歡觀察但不善于觀察；3、不善于掌握概念之間的聯(lián)系和區(qū)別。結(jié)合以上特點(diǎn)，在概念教學(xué)中教師要依據(jù)學(xué)生學(xué)習(xí)的主體性原則和使學(xué)生學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)、自主發(fā)展的教學(xué)理念引導(dǎo)學(xué)生積極參與，主動(dòng)探究,使學(xué)生在創(chuàng)造性的學(xué)習(xí)中理解和掌握所學(xué)概念，從而達(dá)到培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力的最終目的。 一、在初步建立概念的過程中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究學(xué)生學(xué)習(xí)概念的過

35、程包括：概念的引入、概念的理解和概念的總結(jié)概括三個(gè)階段。在整個(gè)過程中教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)揮主體作用，給與他們較大的探究的時(shí)間與空間。（一） 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念：蘇霍姆林斯基曾說過：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，就是希望自己是一個(gè)發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，在兒童的精神世界里這種需要特別強(qiáng)烈?！睂W(xué)生主動(dòng)探究的愿望和積極的思維活動(dòng)是建立在濃厚的興趣及豐富的情感基礎(chǔ)之上的。因此，在引入概念的時(shí)候引導(dǎo)學(xué)生入情入境，可以很好地調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，進(jìn)而產(chǎn)生濃厚的探究欲望。例如，在講解“圓的認(rèn)識(shí)”一課時(shí)，我設(shè)計(jì)了如下情境進(jìn)行導(dǎo)入?！皫讉€(gè)小朋友站成一排向前方一定距離的指定位置同時(shí)投擲沙包，（如圖1）請(qǐng)問，

36、哪個(gè)小朋友投的會(huì)更準(zhǔn)確？為什么？”學(xué)生結(jié)合生活實(shí)際發(fā)現(xiàn)離目標(biāo)越近的同學(xué)會(huì)越準(zhǔn)確。這時(shí)，教師再次引導(dǎo)“怎樣站比賽才是公平的？”學(xué)生回答“組成長(zhǎng)方形或正方形進(jìn)行比賽才公平。”教師同時(shí)出示示意圖，（如圖2）學(xué)生看圖后發(fā)現(xiàn)這樣站仍不公平。最后想到圍成一個(gè)圓形才最合理。教師再引出課題“圓”，使學(xué)生在不知不覺中對(duì)圓有了一定的認(rèn)識(shí)，感知到“圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都相等”并對(duì)這一新的平面圖形產(chǎn)生了濃厚的興趣。 當(dāng)然，對(duì)于一個(gè)新概念而言，引入的方法是多種多樣的。但不管怎樣，教師結(jié)合新知內(nèi)容精心安排，創(chuàng)設(shè)一個(gè)良好的學(xué)習(xí)情境，對(duì)學(xué)生產(chǎn)生濃厚的探究欲望具有十分積極的作用，它必將有利于學(xué)生理解并掌握所學(xué)概念。 （二）

37、抓住本質(zhì)，探究概念。所謂概念的本質(zhì)屬性是指某個(gè)概念有決定意義的、獨(dú)有的屬性。就課堂教學(xué)而言，引導(dǎo)學(xué)生調(diào)動(dòng)多種感官對(duì)概念本質(zhì)進(jìn)行探究，教師要精心設(shè)計(jì)教學(xué)過程，采用科學(xué)有效的方法使學(xué)生更為深入地理解并掌握所學(xué)概念。 1.調(diào)動(dòng)多種感官主動(dòng)參與。課堂教學(xué)中學(xué)生通過擺實(shí)物、測(cè)量、剪拼等途徑對(duì)概念進(jìn)行探究比光看書上、黑板上的圖形、算式效果更好。再如“圓的認(rèn)識(shí)”一課，當(dāng)學(xué)生通過觀察具體實(shí)物抽象出圓形后，可引導(dǎo)學(xué)生徒手和利用簡(jiǎn)單學(xué)具畫圖。首先，徒手繪畫，簡(jiǎn)要評(píng)價(jià)，使學(xué)生初步感知；而后，給學(xué)生提供有限的學(xué)具（一根鉛筆、一根線、一個(gè)圖釘），讓學(xué)生在小組合作中完成任務(wù)。反饋中再進(jìn)行評(píng)價(jià)，引導(dǎo)學(xué)生分析在畫圖中應(yīng)注意的

38、問題。使學(xué)生在多種感官參與的過程中緊緊抓住了圓心、半徑等關(guān)鍵概念。而后，在理解其作用和相互關(guān)系的基礎(chǔ)上出示規(guī)范的名稱，從而順利完成對(duì)圓這一概念的把握。這樣，將操作與觀察、思維與語(yǔ)言結(jié)合在一起，不僅使學(xué)生積極參與到概念的探究過程，而且啟迪了思維，達(dá)到了數(shù)學(xué)教學(xué)既長(zhǎng)知識(shí)又長(zhǎng)智慧的目的。2.注重觀察加強(qiáng)比較。有些概念學(xué)生常常發(fā)生混淆，有必要將它們加以區(qū)分、比較，避免互相干擾。正如烏申斯基認(rèn)為“比較是一切理解和一切思維的基礎(chǔ)，我們正是通過比較來(lái)了解世界上的一切的?！痹诒容^的過程中，要引導(dǎo)學(xué)生觀察思考，探究出概念間的異同，使學(xué)生更準(zhǔn)確地抓住概念地本質(zhì)。例如，“線段、射線和直線”的教學(xué)中，在逐個(gè)揭示了這三

39、個(gè)概念，找出其各有特點(diǎn)之后給學(xué)生提出探究的要求“找出三線之間的聯(lián)系和區(qū)別”，并出示表格引導(dǎo)學(xué)生觀察、填寫。 （圖3） 直 線 “三線”比較表類別短點(diǎn)個(gè)數(shù)是否有限曲直直線射線線段 線段 射線 經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察比較，既有利于學(xué)生掌握易混淆概念，又有利于學(xué)生提高理解概念的能力，從而達(dá)到對(duì)概念本質(zhì)屬性的掌握。（三）創(chuàng)設(shè)認(rèn)知沖突、逐步抽象概念。 學(xué)生由感性認(rèn)識(shí)上升為理性認(rèn)識(shí)是一個(gè)逐步提高的過程。因此，對(duì)于一些較為抽象不易理解的概念，教師要在引導(dǎo)學(xué)生探究過程中不斷設(shè)置認(rèn)知沖突，使學(xué)生層層深入的進(jìn)行抽象概括。例如，“分?jǐn)?shù)的意義”一課，為了使學(xué)生完成由理性到感性的飛躍，可結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律巧妙設(shè)疑，引導(dǎo)學(xué)

40、生對(duì)概念本質(zhì)進(jìn)行探究。首先，結(jié)合具體實(shí)物（如一塊蛋糕、一根鋼管）分析具體分?jǐn)?shù)（如、）的特征，概括出“幾分之一”的意義；然后引導(dǎo)學(xué)生思考表示這樣一份的數(shù)叫“幾分之一”，那么表示這樣幾份的數(shù)呢？進(jìn)而探究“幾分之幾”這類分?jǐn)?shù)的意義； 而后，提問：“什么樣的數(shù)叫分?jǐn)?shù)呢？”引導(dǎo)學(xué)生初步建立分?jǐn)?shù)的概念。接著，繼續(xù)設(shè)疑“難道僅僅把一個(gè)物體平均分，表示這樣一份或幾份的數(shù)才叫分?jǐn)?shù)嗎？”引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考。最后通過群體“單位1”的探究引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確建立分?jǐn)?shù)的概念，“把單位1平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)叫分?jǐn)?shù)?！笨梢?，在探究過程的關(guān)鍵處不斷造成學(xué)生的認(rèn)知沖突，學(xué)生在解決沖突的過程中也就抓住了概念本質(zhì)進(jìn)行探究

41、，最終完成對(duì)概念的抽象概括。 二、在概念的鞏固深化中引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究。概念初步形成后，要通過開闊學(xué)生思維的廣度來(lái)加深對(duì)概念的理解，并在運(yùn)用中求鞏固。在學(xué)生初步理解了概念后，根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生在探究過程中形成概念體系，使學(xué)生在反復(fù)運(yùn)用中逐步深化。（一） 巧設(shè)練習(xí)，深入理解。精心安排好練習(xí)題，利用初步掌握的概念解決實(shí)際問題，可使學(xué)生從懂到會(huì)，從知識(shí)到能力，從多種角度加深理解。例如，教學(xué)“三角形的認(rèn)識(shí)”時(shí)，當(dāng)學(xué)生初步建立了直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形三個(gè)概念之后，可設(shè)計(jì)如下練習(xí)： （圖4） 請(qǐng)學(xué)生根據(jù)紙袋中三角形露出的角的形狀判斷紙袋內(nèi)的三角形是什么三角形？使學(xué)生對(duì)三角形外延

42、的理解更加深刻。引導(dǎo)學(xué)生大膽發(fā)表自己的看法，通過互相補(bǔ)充糾正，最終明確“三角形的高是相對(duì)于某一底而言的”這一結(jié)論。雖然練習(xí)的形式是多種多樣的，但習(xí)題的設(shè)計(jì)應(yīng)該是便于揭露學(xué)生在概念認(rèn)識(shí)上的矛盾的問題；應(yīng)該是有啟發(fā)性便于舉一反三的問題；應(yīng)該是有典型性便于觸類旁通的問題；應(yīng)該是學(xué)生在概念的過程中再次進(jìn)行有意義的主動(dòng)探究的問題。（二） 總結(jié)歸納，構(gòu)建體系。 引導(dǎo)學(xué)生理清所學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，把舊知按一定的系統(tǒng)梳理成線，構(gòu)建成網(wǎng)，進(jìn)一步理解知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系和區(qū)別，使學(xué)生在理解中進(jìn)一步掌握。例如：1.甲數(shù)能被乙數(shù)整除 甲數(shù)是乙數(shù)的倍數(shù) 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫他們的公倍數(shù) 公倍數(shù)中最小的一個(gè)叫他們的最小公倍數(shù)。

43、2.甲數(shù)能被乙數(shù)整除 乙數(shù)是甲數(shù)的約數(shù) 幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)叫他們的公約數(shù) 有幾個(gè)公約數(shù)時(shí)，其中最大的一個(gè)叫做他們的最大公約數(shù)。 另外，還可以利用集合圖，表格等幫助整理?？傊?，引導(dǎo)學(xué)生溝通概念之間的聯(lián)系有利于學(xué)生更好的掌握概念，更靈活的運(yùn)用概念。 綜上所述，在進(jìn)行概念教學(xué)的過程中，教師要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，重視概念的形成過程，運(yùn)用多種手段，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，充分發(fā)揮學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體作用，努力培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，提高概念教學(xué)的質(zhì)量。參考文獻(xiàn)：孫少輔 小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué) 光明日?qǐng)?bào)出版社 P1、P110 李世英 孫宏博 主編 小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)改革與研究 北京日?qǐng)?bào)出版社 P25 林雄 “質(zhì)疑與探究”

44、課堂教學(xué)的出探 福建教育 96年 第6期數(shù)學(xué)概念的學(xué)與教章建躍 概念是思維的基本單位。由于概念的存在和應(yīng)用，人們可以對(duì)復(fù)雜事物作簡(jiǎn)化、概括或分類的反映；由于概念是在揭示了經(jīng)驗(yàn)的內(nèi)在聯(lián)系，獲得了事物的本質(zhì)特征以后形成的，所以概念增加了經(jīng)驗(yàn)的意義。概念將事物依其共同屬性而分類，依其屬性的差異而區(qū)別，因此概念的形成可以幫助學(xué)生了解事物之間的從屬或相對(duì)關(guān)系。概念也可以使人們?cè)跊]有直接經(jīng)驗(yàn)的條件下獲得抽象觀念，而這些觀念可以用于新的情景分類，也可以用作同化或發(fā)現(xiàn)新知識(shí)的固著點(diǎn)，同時(shí)，概念之間也可以組成具有潛在意義的命題，因而概念的學(xué)習(xí)是最重要的學(xué)習(xí)課題之一。一、概念學(xué)習(xí)概述 1.概念的定義 概念是哲學(xué)、

45、邏輯學(xué)、心理學(xué)等許多學(xué)科領(lǐng)域的研究對(duì)象。由于研究角度的不同，因而各學(xué)科對(duì)概念的理解也有差異。例如，哲學(xué)中把概念定義為人腦對(duì)事物本質(zhì)特征的反映，而心理學(xué)則把概念與人類的分類行為緊密地聯(lián)系在一起。例如，行為主義者認(rèn)為概念是有機(jī)體對(duì)相似刺激物或同類刺激物作出共同反映的能力，這種解釋對(duì)初級(jí)的具體概念比較適宜，但它沒有指出概念應(yīng)該抽象出事物的本質(zhì)屬性；認(rèn)知心理學(xué)則把概念定義為“符號(hào)所代表的具有標(biāo)準(zhǔn)共同屬性的對(duì)象、事物、情境或性質(zhì)”，這里的符號(hào)主要是指具有一般意義的詞。例如，看到“圓”這個(gè)詞，人們的腦子里立刻引起一般的圓的表象，它不是指某一個(gè)具體的圓，而是指抽象的圓，世界上并不存在這種離開具體圓的抽象圓，

46、這時(shí)，“圓”這個(gè)詞就代表了一個(gè)概念?，F(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為，概念具有發(fā)展性，隨著知識(shí)結(jié)構(gòu)的不斷完善，學(xué)生對(duì)概念的理解就從具體水平向抽象性水平發(fā)展，從日常概念（有時(shí)這種概念是錯(cuò)誤的）向科學(xué)概念發(fā)展。概念通常包括四個(gè)方面：概念的名稱、定義、例子和屬性。以概念“圓”為例，詞“圓”是概念的名稱；“到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓”是概念的定義；符合定義特征的具體圖形都是“圓”的例子，稱為正例，否則叫反例；“圓”的屬性有：是平面圖形、封閉的、存在一個(gè)圓心、圓心到圓上各點(diǎn)的距離為定長(zhǎng)（半徑），等等。2.概念的分類 分類，就是依照某種標(biāo)準(zhǔn)，按“不重不漏”的原則，將事物劃分為若干個(gè)類別。當(dāng)然，這些類別之間具有

47、內(nèi)在聯(lián)系性。這里的“標(biāo)準(zhǔn)”通常是事物的某一本質(zhì)特征。世界是由大量可辨別的物體、事件和人物組成的。世上不存在完全相同的兩個(gè)人，所謂“一個(gè)人不能同時(shí)跨進(jìn)一條河”說的就是事物隨時(shí)間、地點(diǎn)、條件的變化而變化的道理。人類之所以能應(yīng)付周圍環(huán)境的隨時(shí)變化，就是因?yàn)橛蟹诸惸芰Α{借這種能力，人們就可以將接收到環(huán)境信息做出分類，并利用類別做出推理，從而超越信息，達(dá)到認(rèn)知（學(xué)習(xí)）的目的。例如，當(dāng)學(xué)生遇到一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，他首先會(huì)將問題歸結(jié)為幾何問題或代數(shù)問題等；對(duì)于幾何問題，他又會(huì)進(jìn)一步歸結(jié)為平面幾何或立體幾何，然后又歸結(jié)為是度量問題（求角度、長(zhǎng)度、面積、體積等）還是關(guān)系問題（位置關(guān)系、大小關(guān)系等），再歸結(jié)到三角形

48、、四邊形，最后用具體知識(shí)解答之。因此，整個(gè)解題活動(dòng)可以被看成一系列的分類過程。所以，分類是人類認(rèn)知的基本手段，分類“就是要分別對(duì)待各種相同的事物，對(duì)周圍的各種物體、事件和人進(jìn)行歸類，并根據(jù)它們這一類別的成員關(guān)系而不是它們的獨(dú)特性對(duì)它們做出反應(yīng)”，而類別則是人類認(rèn)知的工具。學(xué)習(xí)和利用類別是一種最基本、最普遍的認(rèn)知形式。人類是通過這種認(rèn)知形式來(lái)適應(yīng)環(huán)境的。分類活動(dòng)以掌握事物的關(guān)鍵屬性為前提。分類活動(dòng)必須符合一定的規(guī)則，這些規(guī)則是：（1）要以本質(zhì)屬性作為標(biāo)準(zhǔn)的。如“凸平面四邊形”的本質(zhì)屬性有：平面圖形、封閉的、四條邊、四個(gè)角、凸圖形等。（2）指明本質(zhì)屬性的組織方式。如四條邊共面、組成首尾相連的封閉圖

49、形、任何一條邊向兩方延長(zhǎng)其他各邊都在延長(zhǎng)所得直線的同側(cè)，等。（3）要確立公認(rèn)的限制條件。如凸平面四邊形可以有大小、形狀等差別，但它只能有四條邊，這是公認(rèn)的限制條件之一。（4）要權(quán)衡各種不同的屬性（即哪些是本質(zhì)屬性，哪些是非本質(zhì)屬性）。例如，四條邊的長(zhǎng)短、四個(gè)角的大小都不是本質(zhì)屬性。在概念學(xué)習(xí)過程中，分類活動(dòng)占有非常重要的地位。分類是概念獲得的基礎(chǔ)，是對(duì)概念的內(nèi)涵進(jìn)行認(rèn)識(shí)的過程；分類活動(dòng)有助于學(xué)生更深刻地理解概念之間的關(guān)系；分類活動(dòng)有助于學(xué)生從整體上把握概念；分類是概括的基礎(chǔ)，因此分類活動(dòng)有助于提高學(xué)生的概括能力；通過分類，可將事物依其屬性而歸類，依其相互之間的聯(lián)系而成系統(tǒng)，而類別清晰、邏輯關(guān)系

50、明確的概念系統(tǒng)有利于記憶和檢索。能否依據(jù)本質(zhì)屬性對(duì)事物進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸愂呛饬繉W(xué)生是否已經(jīng)習(xí)得概念的標(biāo)準(zhǔn)。所以，教師必須十分重視概念分類這一環(huán)節(jié)。人們從事分類活動(dòng)時(shí)，一般是根據(jù)問題的各種屬性及其關(guān)系做出判斷的。那么，人們是如何組合各種屬性從而做出分類的呢？心理學(xué)家認(rèn)為，組合不同屬性的方式有三種，它們分別代表了三種類型的概念：一是“聯(lián)合屬性”，即幾種屬性聯(lián)合起來(lái)對(duì)概念來(lái)下定義。這樣所定義的概念稱為“合取概念”。例如，“映射”就是一個(gè)合取概念：設(shè)A、B是兩個(gè)集合，|:A?B是一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，如果對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素a，通過法則|，在集合B中都有唯一的一個(gè)元素b與之對(duì)應(yīng)，則法則|稱為從集合A到集合B的

51、映射。這里，對(duì)于集合A中任意一個(gè)元素a，通過法則|，在集合B中不但有元素與之對(duì)應(yīng)，而且是唯一的，“有”和“唯一”就是兩個(gè)屬性。二是“單一屬性”，即在許多事物的各種屬性中，找出一種共同屬性來(lái)對(duì)概念下定義。這樣所定義的概念稱為“析取概念”。例如，在“橢圓”、“雙曲線”、“拋物線”中“析取” 共同屬性“從頂點(diǎn)向兩側(cè)伸長(zhǎng)的兩葉圓錐面和任一平面相交而成的曲線” 就定義了“圓錐曲線”。三是“關(guān)系屬性”，即以事物的相對(duì)關(guān)系作為對(duì)概念下定義的依據(jù)，如此定義的概念稱為“關(guān)系概念”。例如，“正方形”就是一個(gè)關(guān)系概念，它既要是凸四邊形，又要求四條邊相等，還要求四個(gè)角是直角。顯然，在數(shù)學(xué)中，上述三種概念都是大量存在的

52、。3.數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn) 數(shù)學(xué)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式，這種關(guān)系和形式是脫離了事物的具體物質(zhì)屬性的，因此，數(shù)學(xué)概念有與此相對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)。（1）數(shù)學(xué)概念是反映一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的思維形式，它是排除一類對(duì)象物理屬性以后的抽象，反映了一類對(duì)象在數(shù)與形方面內(nèi)在的、固有的屬性，因而它在這一類對(duì)象的范圍內(nèi)具有普遍意義。（2）數(shù)學(xué)概念是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的簡(jiǎn)明、概括的反映，并且都由反映概念本質(zhì)特征的符號(hào)來(lái)表示，這些符號(hào)使數(shù)學(xué)有比別的學(xué)科更加簡(jiǎn)明、清晰、準(zhǔn)確的表述形式。數(shù)學(xué)概念的這種特性使學(xué)生在較短時(shí)間內(nèi)掌握大量數(shù)學(xué)概念及其系統(tǒng)成為可能。例如，在數(shù)學(xué)發(fā)展史上，數(shù)

53、系的建立經(jīng)歷了兩千多年，如今，學(xué)生憑借現(xiàn)有的數(shù)的符號(hào)，可以在較短的時(shí)間內(nèi)掌握數(shù)系的全部概念。而在中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，由于沒有發(fā)明簡(jiǎn)明的數(shù)學(xué)符號(hào)而使數(shù)學(xué)的發(fā)展受到極大阻礙的例子是非常多的（如以一、二、三、四、五作為數(shù)的符號(hào)，在書寫和運(yùn)算上均不如用1、2、3、4、5方便），這說明在數(shù)學(xué)的發(fā)展中引進(jìn)恰當(dāng)?shù)姆?hào)來(lái)表示概念是非常重要的，這是數(shù)學(xué)概念的一個(gè)重要特點(diǎn)。（3）數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辨證統(tǒng)一。一些數(shù)學(xué)基本概念是一類事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面本質(zhì)屬性的抽象，具有明顯的直觀意義，但通常以形式化語(yǔ)言來(lái)表述；數(shù)學(xué)中有許多概念是在抽象之上的抽象，是由概念所引出的概念（如1、2、3是對(duì)真實(shí)事物的直接抽

54、象，而那些較大的數(shù)則是建立在已有概念的抽象分析之上：對(duì)于“已知x，則可得x+1”的理解使人們可以獲得自然數(shù)的無(wú)限序列：1，2，3，n，n+1，）；數(shù)學(xué)中還有許多概念是“思維的自由想象和創(chuàng)造的產(chǎn)物”，它們與真實(shí)世界的距離是非常遙遠(yuǎn)的，如“虛數(shù)”、“n維空間”等。所有這些都說明，數(shù)學(xué)是高度抽象的。但另一方面，數(shù)學(xué)概念又是非常具體的，任何一個(gè)數(shù)學(xué)概念的背后都有許多具體內(nèi)容支撐著。學(xué)生只有掌握了數(shù)學(xué)概念的定義，同時(shí)又能夠舉出概念的具體事例，才算真正掌握了數(shù)學(xué)概念。（4）數(shù)學(xué)概念具有很強(qiáng)的系統(tǒng)性。前已指出，數(shù)學(xué)概念往往是“抽象之上的抽象”，先前的概念往往是后續(xù)概念的基礎(chǔ)，從而形成了數(shù)學(xué)概念的系統(tǒng)。公理化

55、體系就是這種系統(tǒng)性的最高反映。數(shù)學(xué)概念的這種特性要求學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)必須做到循序漸進(jìn)，一步一個(gè)腳印，扎扎實(shí)實(shí)地打好基礎(chǔ)。值得指出的是，數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)不能與個(gè)體所掌握的數(shù)學(xué)概念的特點(diǎn)相混淆。個(gè)體所掌握的數(shù)學(xué)概念是與他本人的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平相適應(yīng)的，即同一個(gè)數(shù)學(xué)概念，由于認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平的不同，存在著不同水平的理解。例如“函數(shù)”概念，初中學(xué)生只能作“對(duì)于給定區(qū)間上的每一個(gè)x值都有唯一的一個(gè)y值與之對(duì)應(yīng)，則y就是x的函數(shù)”之類的直觀理解，而高中學(xué)生就可以用集合的語(yǔ)言，從映射的觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)理解，大學(xué)生則可以用“關(guān)系語(yǔ)言”來(lái)理解它。這種抽象水平的層次性反映了學(xué)生數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)水平對(duì)概念掌握的制約性，這是教師把握

56、概念教學(xué)要求的依據(jù)之一。二、數(shù)學(xué)概念的獲得 1.概念獲得的不同形式 學(xué)生理解和掌握概念的過程實(shí)際上是掌握同類事物的共同本質(zhì)屬性的過程。例如，學(xué)習(xí)“棱錐”這個(gè)概念，就是掌握：凸多面體、底面是多邊形、側(cè)面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形等這幾個(gè)關(guān)鍵屬性。同類事物的關(guān)鍵屬性可以由學(xué)生從大量的同類事物的不同例證中獨(dú)立發(fā)現(xiàn)，這種概念獲得的方式叫做概念形成；也可以用定義的方式向?qū)W生直接揭示，學(xué)生利用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)來(lái)理解新概念，這種獲得概念的方式叫做概念同化。概念形成與概念同化是兩種基本的概念獲得方式。通常，由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是掌握前人已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)，把前人的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)轉(zhuǎn)變成自己的經(jīng)驗(yàn)，使其成為自己解決問題的工具的過程，因此概念同化是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)概念的最基本的方式。但是，由于學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)處于發(fā)展過程之中，他們的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)比較簡(jiǎn)單、數(shù)學(xué)知識(shí)比較貧乏而具體，在學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，作為“固著點(diǎn)”的已有知識(shí)往往很少或者不具備，這時(shí)他們就只能采取概念形成的方式來(lái)學(xué)習(xí)。另一方面，隨著年齡的增長(zhǎng)，知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的不斷豐富，學(xué)生所掌握的概念系統(tǒng)也從具體到抽象、從簡(jiǎn)單到復(fù)雜、從未分化到分化、從分散到統(tǒng)一地連續(xù)不斷地獲得發(fā)展，相應(yīng)的，學(xué)生獲得概念的方式也在發(fā)生變化。年齡越小，認(rèn)知結(jié)構(gòu)越簡(jiǎn)單而具