河南省人口預測模型

1、2017-2018學年第二學期數(shù)學建模與實驗科目考查卷專業(yè)：班級：任課教師：（姓名：學號：成績：）（論文題目）河南省人口預測模型摘要有效地控制人口的增長，不僅是使我國全面進入小康社會、到21世紀中葉建成富強民主文明的社會主義國家的需要，而且對于全人類社會的美好理想來說，也是我們義不容辭的責任。本文根據(jù)河南地區(qū)的人口統(tǒng)計數(shù)據(jù)，建立模型估計該地區(qū)2018年的人口數(shù)量。通過上網(wǎng)查找到2000-2017年河南省各年份的人口數(shù)量，首先，通過直觀觀察人口的變化規(guī)律后，發(fā)現(xiàn)該地區(qū)近10幾年的人口變動十分不穩(wěn)定，所以分了三部分來預測。我們假設該地區(qū)的人口數(shù)量是時間的二次函數(shù)，建立一個阻滯增長模型，并用最小二乘

2、法對已有數(shù)據(jù)進行擬合得到模型的具體參數(shù)，合理的建立了河南省人口發(fā)展Logistic模型并對河南省未來人口進行了初步預測，從而可以預測2018年的人口數(shù)為9456.5萬人，第二部分是通過從2005年開始預測，2018年的人口為9509.3萬人，第三部分是通過從2010年開始預測，得到2018年的人口為9538.2萬人。關鍵字：人口預測、阻滯增長模型、Logistic模型、最小二乘法目錄1. 問題重述31.1 、問題背景31.2 、要解決的問題32. 問題分析33. 模型假設34. 符號說明45. 建立模型41 .建模與求解41.1 非線性最小二乘估計51.2 線性最小二乘76. 參考文獻87.

3、附錄81. 附錄182. 附錄293. 附錄3114. 附錄4125. 附錄5121. 問題重述1.1、 問題背景人口的數(shù)量和結(jié)構(gòu)是影響經(jīng)濟社會發(fā)展的重要因素。我國是世界上人口最多的國家，故人口問題是我國最嚴重的問題。同時人口問題是當今世界上最嚴峻也是人們最關注的問題之一，所以認識人口數(shù)量的發(fā)展規(guī)律，建立合理數(shù)學模型，對未來人口做出清晰準確的預測是非常有意義的。隨著中國計劃生育的發(fā)展，人口問題也慢慢得到控制，但因人口基數(shù)太大，進而導致人口過多的問題始終無法解決，經(jīng)濟、科學、人民生活質(zhì)量始終無法有顯著的提高，人口增長過快，人民生活水平很難提高。因此，我們通過近代人口的數(shù)據(jù)，并采用指數(shù)增長模型和阻

4、滯增長模型，建立合理的數(shù)學建模來預測未來人口。1.2、 要解決的問題1、根據(jù)模型的計算結(jié)果，對未來人口發(fā)展高峰進行預測并針對中國人口的調(diào)控和管理進行分析。2、認識人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，做出較準確的預報，是有效控制人口增長的前提。2. 問題分析由題意可知，目的就是為了建立一種模型，得出合理的人口增長的趨勢，做出中國未來人口經(jīng)濟發(fā)展的規(guī)劃，人口增長模型是由生育、死亡、疾病、災害、環(huán)境、社會、經(jīng)濟等諸多因素影響和制約的共同結(jié)果，如此眾多的因素不可能通過幾個指標就能表達清楚，他們對人口增長的潛在而復雜的影響更是無法精確計算。這反映出人口系統(tǒng)具有明顯的灰色性，適宜采用指數(shù)增長模型和阻滯增長模

5、型去發(fā)掘和認識規(guī)律。3. 模型假設1 .忽略戰(zhàn)爭等不確定因素對我國人口的影響。2 .忽略該地區(qū)與其他地區(qū)人口遷入與遷出的人口影響3 .假設所給的數(shù)據(jù)真實可靠且有預測性。4 .社會穩(wěn)定，不發(fā)生重大自然災害與疾病。4.符號說明1 .設x為人口數(shù)量2 .設t年份3 .設x(t)為第t年人口數(shù)量4 .設凈增長率為r5 .設人口增長率為r(x)6 .設Xm為最大人口5 .建立模型下表(1)是從2000年到2017年的河南省人口的統(tǒng)計數(shù)據(jù)(單位：萬人)，建議人口預測模型，最后用它預報2018年河南省的人口。年份2000200120022003200420052006200720082009人口948895

6、5596139667971793809392936094299487年份20102011201220132014201520162017人口94059388940694139436948095329559表(1)1 .建模與求解記x(t)為第t年人口數(shù)量，設人口增長率r(x)為x的線性函數(shù)，即隨著人口數(shù)的增加，人口增長速度會慢慢下降：自然資源與環(huán)境條件所能容納的最大人口數(shù)為xm,即當x=xn時，增長率r(xm)=0：由上面的關系式可得出：建立Logistic人口模型：其解為：參數(shù)估計把表中的人口數(shù)據(jù)輸入。1.1 非線性最小二乘估計把表中的第一個數(shù)據(jù)作為初始條件，利用余下的數(shù)據(jù)擬合中的參數(shù)xm和

7、r。得到圖1擬合效果圖1,求得xm=9448.5,r=0.0885,2018年人口的預測值為9456.5萬人。圖1擬合效果圖1從圖1(程序見附錄1)中可以看出擬合的效果不是特別理想，總體的趨勢是人口的數(shù)量逐漸減少，但是減少的數(shù)量不是很大，而且減少的速率越來越小，這也符合人口阻滯模型的規(guī)律。造成這的原因主要有以下幾點：樣本點太少，橫跨的時間維度也不是很大。圖1中的數(shù)據(jù)不是持續(xù)增長，而是起起伏伏。國家的宏觀調(diào)控，計劃生育政策。經(jīng)濟的微觀調(diào)控，現(xiàn)在人們的生活壓力越來越大，考慮的因素也越來越多。人們的觀念也有所改變。人口移民。自然災害等諸多因素。從圖中可以看出人口數(shù)量從2000年到2004增長，到了2

8、005年有突然減少。為了減少誤差，下面從2005年開始進行擬合。得到圖2擬合效果圖2,求得xm=17697,r=0.0023,2018年人口的預測值為9509.3萬人。圖2擬合效果圖2從圖2(程序見附錄2)中可以看出擬合的效果比剛才的要好，總體的趨勢是人口的數(shù)量逐漸增加，但是增加的數(shù)量不是很大，而且增加的速率越來越小，這也符合人口阻滯模型的規(guī)律。為了結(jié)果更準確，下面從2010年開始進行擬合。得到圖3擬合效果圖3,求得xm=20638,r=0.0032,2018年人口的預測值為9538.2萬人。從圖3(程序見附錄3)中可以看出擬合的效果比剛才的還要好，總體的趨勢是人口的數(shù)量逐漸增加，但是增加的數(shù)

9、量不是很大，而且增加的速率越來越小，這也符合人口阻滯模型的規(guī)律。實際情況是2017年人口已經(jīng)達到了9559萬人，而預測的2018年的人口數(shù)為9538.2萬人。和實際情況有出入。主要原因是近幾年人口老齡化問題嚴重，國家又實行放開二胎政策，所以人口的數(shù)量會有相應增加。1.2 線性最小二乘為了利用簡單的最小二乘法估計這個模型的參數(shù)r和xm,把Logistics方程表示為利用向后差分，得到差分方程x(k)x(k1)1rsx(k)(k=2,3，,18)tx(k)式中：步長？t=1。下面擬合其中的參數(shù)r和s,求得xm=9474.7,r=-0.4201。編寫的Matlab程序如附錄4。也可以利用向后差分，得

10、到差分方程x(k1)x(k)1rsx(k),(k=1,2,.,17)tx(k)再進行擬合。求得xm=9491.0,r=0.3942o擬合的Matlab程序如附錄5。從上面的三種擬合方法可以看出，擬合同樣的參數(shù)，由于方法不同，可能結(jié)果相差很大。6 .參考文獻11司守奎、孫兆亮.數(shù)學建模算法與應用(第2版).北京：國防工業(yè)出版社，2016.017 .附錄1. 附錄1x=nonzeros(9488,9555,9613,9667,9717,9380,9392,9360,9429,9487,9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2000:1:20

11、17't0=t(1);x0=x(1);fun=(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)反0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0);cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1)xm=cs(1)r=cs(2)xhat=fun(cs,t;2018)plot(t,x,t;2018,xhat)cs=1.0e+03*9.44850.0001xm=9.4485e+03r=0.0885xhat=1.0e+03*9.48809.48469.48169.47889.47629.47389.47179.46979.46799.

12、46639.46479.46349.46219.46099.45999.45899.45809.45729.45652. 附錄2x=nonzeros(9380,9392,9360,9429,9487,9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2005:1:2017't0=t(1);x0=x(1);fun=(cs,td)cs(1)./(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0);cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1)xm=cs(1)r=

13、cs(2)xhat=fun(cs,t;2018)plot(t,x,t;2018,xhat)cs=1.0e+04*1.76970.0000xm=1.7697e+04r=0.0023xhat=1.0e+03*9.38009.39009.39999.40999.41989.42989.43979.44969.45969.46959.47959.48949.49939.50933. 附錄3x=nonzeros(9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2010:1:2017't0=t(1);x0=x(1);fun=(cs,td)cs(1).

14、/(1+(cs(1)/x0-1)*exp(-cs(2)*(td-t0);cs=lsqcurvefit(fun,rand(2,1),t(2:end),x(2:end),zeros(2,1)xm=cs(1)r=cs(2)xhat=fun(cs,t;2018)plot(t,x,t;2018,xhat)cs=1.0e+04*2.06380.0000xm=2.0638e+040.0032xhat=1.0e+03*9.40509.42169.43839.45499.47169.48829.50499.52159.53824. 附錄4x=nonzeros(9488,9555,9613,9667,9717,9380,9392,9360,9429,9487,9405,9388,9406,9413,9436,9480,9532,9559');t=2000:1:2017'a=ones(17,1),-x(2:end);b=diff(x)./x(2:end);cs=ab;r=cs(1)xm=r/cs(2)r=-0.4201xm=9.4