事故樹的定量分析

1、 一、基本事件的發(fā)生概率一、基本事件的發(fā)生概率 基本事件的發(fā)生概率包括系統(tǒng)的基本事件的發(fā)生概率包括系統(tǒng)的單元單元( (部件或元部件或元件件) )故障概率故障概率及及人的失誤概率人的失誤概率等等, ,在工程上計算時在工程上計算時, ,往往用基本事件發(fā)生的往往用基本事件發(fā)生的頻率來代替其概率值頻率來代替其概率值。 1. 1. 系統(tǒng)的單元故障概率系統(tǒng)的單元故障概率 (1) (1) 可修復系統(tǒng)的單元故障概率?？尚迯拖到y(tǒng)可修復系統(tǒng)的單元故障概率?？尚迯拖到y(tǒng)的單元故障概率定義為的單元故障概率定義為: : 式中式中 q -q -單元故障概率單元故障概率; ; - -單元故障率單元故障率, , 是指單位時間內

2、故障發(fā)是指單位時間內故障發(fā)生的頻率生的頻率; ; -單元修復率單元修復率, , 是指單位時間內元件修是指單位時間內元件修復的頻率。復的頻率。 式中式中K -K -綜合考慮溫度、濕度、振動及其他綜合考慮溫度、濕度、振動及其他條件影響的修正系數(shù)條件影響的修正系數(shù), , 一般一般K=1-10;K=1-10; 0 0- - 單元故障率的實驗值單元故障率的實驗值, ,一般可根據(jù)一般可根據(jù)實驗或統(tǒng)計求得實驗或統(tǒng)計求得, ,等于元件平均故障間隔期等于元件平均故障間隔期(MTBF)(MTBF)的倒數(shù)的倒數(shù), , 即即: :0K式中式中,MTBF ,MTBF 為平均故障為平均故障間間隔期隔期, , 是指相鄰兩故

3、障是指相鄰兩故障間隔期內正常工作的平均時間間隔期內正常工作的平均時間, , 一般可按下式計一般可按下式計算獲得算獲得: : 式中式中 n-n-各單元發(fā)生故障的總次數(shù)各單元發(fā)生故障的總次數(shù)； t ti i-第第i-1i-1次到第次到第i i次故障間隔時間。次故障間隔時間。 式中式中 nn試驗元件個數(shù)試驗元件個數(shù) t ti i元件元件i i從運行到故障從運行到故障發(fā)生所經歷的時間發(fā)生所經歷的時間。2 2種種 niitnMTBF11MTBF10式中式中,MTTR ,MTTR 為平均修復時間為平均修復時間, ,是指系統(tǒng)單元出現(xiàn)故是指系統(tǒng)單元出現(xiàn)故障障, ,從開始維修到恢復正常工作所需的平均時間。從開始

4、維修到恢復正常工作所需的平均時間。 一般一般,MTBFMTTR, ,MTBFMTTR, 所以所以, ,則其故障概率為則其故障概率為: :單元修復率單元修復率一般可根據(jù)統(tǒng)計分析用下式求得一般可根據(jù)統(tǒng)計分析用下式求得: :MTTR1qteq1tq式中式中 P -P -基本事件狀態(tài)組合序號基本事件狀態(tài)組合序號; ; p p(X)-(X)-第第 p p 種組合的結構函數(shù)值。種組合的結構函數(shù)值。(1(1或或 0);0); q qi i - - 第第 i i 個基本事件的發(fā)生概率個基本事件的發(fā)生概率; ; Y Yi i - - 第第 i i 個基本事件的狀態(tài)值個基本事件的狀態(tài)值(1(1或或0)0)。)17

5、3()()()1 (1121iixTPqqiinYniYpp1. 1. 狀態(tài)枚舉法狀態(tài)枚舉法表表 3-14 事故樹事故樹 P(T) 計算表計算表該方法規(guī)律性強該方法規(guī)律性強, , 適于編制程序上機計適于編制程序上機計算算, , 可用來計算較復雜系統(tǒng)事故發(fā)生概可用來計算較復雜系統(tǒng)事故發(fā)生概率。但當率。但當 n n 值較大時值較大時, , 計算中要涉及計算中要涉及2 2n n個狀態(tài)組合個狀態(tài)組合, , 并需求出相應頂事件的狀并需求出相應頂事件的狀態(tài)態(tài), , 因而計算工作量很大因而計算工作量很大, , 花費時間較花費時間較長。長。2 2 直接分步算直接分步算法法 該方法該方法適用于事故樹的規(guī)模不大，

6、又沒適用于事故樹的規(guī)模不大，又沒有重復的基本事件，無須布爾代數(shù)化簡時使有重復的基本事件，無須布爾代數(shù)化簡時使用。用。 其計算方法是：從底部的邏輯門連接的其計算方法是：從底部的邏輯門連接的事件算起，逐次向上推移，直至計算出頂事事件算起，逐次向上推移，直至計算出頂事件件T的發(fā)生概率。的發(fā)生概率。直接分布算法的的規(guī)則如下：直接分布算法的的規(guī)則如下：1）與門連接的事件，計算概率積）與門連接的事件，計算概率積nniiAqqqqq211qA與門事件的概率與門事件的概率qi與門連接的第與門連接的第i個基本事件的發(fā)生概率個基本事件的發(fā)生概率n 與門連接的輸入事件數(shù)與門連接的輸入事件數(shù)2）或門連接的事件，計算概

7、率和）或門連接的事件，計算概率和qB或門事件的概率或門事件的概率qi或門連接的第或門連接的第i個基本事件的發(fā)生概率個基本事件的發(fā)生概率n 或門連接的輸入事件數(shù)或門連接的輸入事件數(shù)niiniiBqqq11)1 (1【例例3-8】用直接分用直接分步算法計算右圖所示步算法計算右圖所示事故樹頂事件的發(fā)生事故樹頂事件的發(fā)生概率。各基本事件下概率。各基本事件下的數(shù)字即為其發(fā)生概的數(shù)字即為其發(fā)生概率率解：第一步，求解：第一步，求A2的概率，其為或門連接，有的概率，其為或門連接，有106525. 0)01. 01)(05. 01)(05. 01 (1)1)(1)(1 (17652qqqqA第二步，求第二步，求

8、A1的概率，其為與門連接，有的概率，其為與門連接，有04261. 0106525. 05 . 00 . 18 . 021432AAqqqqq第三步，頂上事件發(fā)生的概率，或門連接，有第三步，頂上事件發(fā)生的概率，或門連接，有052184. 0)01. 01)(04261. 01 (1)1)(1 (111qqgA)183(1krkxiriqg 3 3 最小割集法最小割集法 【例例3-9】若某事故樹有如下幾個最小割集，求其頂上若某事故樹有如下幾個最小割集，求其頂上事件發(fā)生的概率。事件發(fā)生的概率。 ,653422311xxKxxKxxK解：由根據(jù)式解：由根據(jù)式3-18，頂上事件發(fā)生的概率為：，頂上事件發(fā)

9、生的概率為： )1)(1)(1 (1)1)(1)(1 (165423131321qqqqqqqqqqgkxikxikxirkxiiiiri,5421322311xxxKxxKxxK321323121321321)()()1)(1)(1 (131kkkkkkkkkkkkkkkrkqqqqqqqqqqqqqqqqgr21kkqq323121xxxxKK3213231xxxxxxx32121qqqqqkk543215432543213213231qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqkkkkkkk543215432543213215423231)()(qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

10、qqg)193() 1()(1111kkxrikkksrkkxikrkxirisririqqqTP由由【例例3-9】可以看出，如果事故樹的各最小割集中彼可以看出，如果事故樹的各最小割集中彼此有重復事件時，其頂上事件的發(fā)生概率可以用如下公此有重復事件時，其頂上事件的發(fā)生概率可以用如下公司計算：司計算：srikkx)203(1PrPxiriqg【例例3-10】若某事故樹有如下幾個最小徑集，求其頂若某事故樹有如下幾個最小徑集，求其頂上事件發(fā)生的概率。上事件發(fā)生的概率。 ,653432211xxPxxPxxP解：根據(jù)式解：根據(jù)式3-20，其頂上事件發(fā)生的概率為：，其頂上事件發(fā)生的概率為： )1)(1

11、(1 )1)(1 (1 )1)(1 (1 65432131321qqqqqqqqqqgPxiPxiPxirPxiiiiri)213 ( )1 () 1()1 ()1 (111 risririPxipprppsrPPxiPxiqqqgsriPPx設各基本事件的發(fā)設各基本事件的發(fā)生概率為生概率為: : q q1 1 =0.01; =0.01; q q2 2=0.02; q=0.02; q3 3=0.03; =0.03; q q4 4=0.04; q=0.04; q5 5=0.05=0.05 解解: : 該事故樹有三個最小割集該事故樹有三個最小割集: : E E1 1=X X1 1, X, X2 2

12、, X, X3 3, ,; E E2 2=X X1 1, X, X4 4; E E3 3=X X3 3, X, X5 5 事故樹有四個最小徑集事故樹有四個最小徑集: : P P1 1=X X1 1, X, X3 3, ,; P P2 2=X X1 1, X, X5 5; P P3 3=X X3 3, X, X4 4 ; ; P P3 3=X X2 2, X, X4 4, X, X5 5 按式按式(3-19) (3-19) 和和(3-21)(3-21)計算頂事件的發(fā)生概計算頂事件的發(fā)生概率率，工作量很大，且，工作量很大，且當事故樹中的當事故樹中的最小割最小割( (徑徑) )集較多時集較多時會發(fā)生

13、會發(fā)生組合爆炸組合爆炸問題。但在許多工程問題。但在許多工程問題中問題中, , 這種這種精確計算是不必要精確計算是不必要的的, , 這是因為這是因為統(tǒng)計得到的統(tǒng)計得到的基本數(shù)據(jù)往往是不很精確基本數(shù)據(jù)往往是不很精確的的, ,因此因此, , 用基本事件的數(shù)據(jù)計算頂事件發(fā)生概率值時用基本事件的數(shù)據(jù)計算頂事件發(fā)生概率值時精精確計算沒有實際意義確計算沒有實際意義。所以。所以, , 實際計算中實際計算中多采多采用近似算法用近似算法。 三、三、頂事件發(fā)生概率的近似頂事件發(fā)生概率的近似算法算法 該近似法，就是將事故樹中邏輯門代表的該近似法，就是將事故樹中邏輯門代表的邏輯運算看做是代數(shù)運算邏輯運算看做是代數(shù)運算。

14、【例例 3-123-12】用近似算法用近似算法求右圖事故樹頂事件的求右圖事故樹頂事件的發(fā)生概率，并與精確值發(fā)生概率，并與精確值比較。各事件的發(fā)生概比較。各事件的發(fā)生概率為率為q q1 1 =0.01; q=0.01; q2 2=0.02; =0.02; q q3 3=0.03; q=0.03; q4 4=0.04=0.04 1）頂事件發(fā)生概率的近似計算）頂事件發(fā)生概率的近似計算事故樹的函數(shù)結構式為事故樹的函數(shù)結構式為)(4321xxxxT用代數(shù)積、和代替邏輯積、和，頂事件發(fā)生的近似用代數(shù)積、和代替邏輯積、和，頂事件發(fā)生的近似概率為概率為000212. 0)04. 003. 002. 0(01.

15、 0)(4321qqqqg2）頂事件發(fā)生概率的精確計算）頂事件發(fā)生概率的精確計算由事故樹的函數(shù)結構式，化簡求得由事故樹的函數(shù)結構式，化簡求得2個最小割集個最小割集為為,4312211xxxKxxK由式由式3-19知，頂事件發(fā)生概率是精確值為知，頂事件發(fā)生概率是精確值為00021176. 004. 003. 002. 001. 0)04. 003. 001. 002. 001. 0()(432143121qqqqqqqqqg3）頂事件發(fā)生概率近似計算的誤差）頂事件發(fā)生概率近似計算的誤差頂事件發(fā)生概率近似計算結果與精確值的相對誤頂事件發(fā)生概率近似計算結果與精確值的相對誤差為：差為：%1133. 0

16、001133. 000021176. 000021176. 0000212. 0可以看出，按照該近似方法計算頂事件發(fā)生概率，可以看出，按照該近似方法計算頂事件發(fā)生概率，其相對誤差相當小。其相對誤差相當小。 則得到用最則得到用最小割集求頂事小割集求頂事件發(fā)生件發(fā)生概率的概率的逼近公式逼近公式, , 即即： 2.2.最小割集逼近法最小割集逼近法: :在式在式 (3-19) (3-19) 中中, , 設設: :kkkxrikksrkkxikrkxiFqFqFqrisriri 12111(3-22) (3-22) 式式 (3-22)(3-22)中的中的F F1 1，F(xiàn) F1 1-F-F2 2，F(xiàn) F1

17、 1-F-F2 2+F+F3 3，等等 , , 依此給出了頂事件發(fā)生概率依此給出了頂事件發(fā)生概率P(T)P(T)的上限和下限的上限和下限, , 可根據(jù)需要求出任意精確度的概率上、下限?？筛鶕?jù)需要求出任意精確度的概率上、下限。 用最小割集逼近法求解用最小割集逼近法求解 【例例 3-113-11】。 由式由式 (3-22) (3-22) 可得可得 : :則有則有 : P(T)1.906: P(T)1.9061010-3-3 P(T)1.90486P(T)1.904861010-3-3 P(T)1.904872P(T)1.9048721010-3-3 從中可取任意近似區(qū)間。從中可取任意近似區(qū)間。 近

18、似計算結果與精確計算結果的相對誤差近似計算結果與精確計算結果的相對誤差列于列于表表3-15 3-15 中。中。表表 3-15 頂事件發(fā)生概率近似計算及相對誤差頂事件發(fā)生概率近似計算及相對誤差 由表可知由表可知, , 當以當以F F1 1作為頂事件發(fā)生概率作為頂事件發(fā)生概率時時, , 誤差只有誤差只有0.0590.059%；以以F F1 1 -F -F2 2作為頂事件作為頂事件發(fā)生概率時發(fā)生概率時, ,誤差僅有誤差僅有0.00062990.0006299% 。實際。實際應用中應用中, , 以以F F1 1 ( ( 稱作稱作首項近似法首項近似法 ) ) 或或F F1 1-F-F2 2作為頂事件發(fā)生

19、概率的近似值作為頂事件發(fā)生概率的近似值, , 就可達到基就可達到基本精度要求。本精度要求。 與最小割集法相似與最小割集法相似, , 利用最小徑集也可以求得頂事件利用最小徑集也可以求得頂事件發(fā)生概率的上、下限。在式發(fā)生概率的上、下限。在式(3-21) (3-21) 中中 , , 設設：則則 P(T)P(T) 1-S 1-S1 1 P(T) P(T) 1-S1-S1 1+S+S2 2 P(T) P(T) 1-S1-S1 1+S+S2 2- S- S3 3 (3-23(3-23) ) 3. 3.最小徑集逼近法。最小徑集逼近法。 式式 (3-23) (3-23) 中的中的1-S1-S1 1, , 1-S 1-S1 1+S+S2 2 , , 1- 1-S S1 1+S+S2 2- S- S3 3 , , 等等, , 依次給出了頂事件發(fā)生依次給出了頂事件發(fā)生概率的上、下限。從理論上講概率的上、下限