周期信號的傅里葉變換

1、3.9 3.9 周期信號的傅里葉周期信號的傅里葉變換變換l 正弦正弦/ /余弦信號的傅里葉變換余弦信號的傅里葉變換l 一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換正弦正弦/ /余弦信號的傅里葉變換余弦信號的傅里葉變換)()()sin()()()cos()(21111111jtt一般周期信號的傅里葉變換一般周期信號的傅里葉變換ntjnneFtfT1)(.,11其傅里葉級數(shù)為角頻率為令周期信號周期為dtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(小結(jié)小結(jié):1.由一些沖激組成離散頻譜由一些沖激組成離散頻譜.2.位于信號的諧頻處位于信號的諧頻處.3.大小

2、不是有限值大小不是有限值,而是無窮小頻帶內(nèi)而是無窮小頻帶內(nèi)有無窮大的頻譜值有無窮大的頻譜值.周期信號的傅立葉變換存在條件周期信號的傅立葉變換存在條件 1.1.周期信號不滿足絕對可積條件周期信號不滿足絕對可積條件. .2.2.引入沖激信號后引入沖激信號后, ,沖激的積分是有意沖激的積分是有意義的義的. .3.3.在以上意義下在以上意義下, ,周期信號的傅立葉變周期信號的傅立葉變換是存在的換是存在的. .4.4.周期信號的頻譜是離散的周期信號的頻譜是離散的, ,其頻譜密其頻譜密度度, ,即傅立葉變換是一系列沖激即傅立葉變換是一系列沖激. .dtetfFtGtftfdtetfTFeFtfFTtGtf

3、FStftjTTTtjnTTnntjnnT220022111111111)()()()()()(1)(:)()()(令之間的關(guān)系形成的非周期信號的與取其一個周期的周期信號1111)(1)(1:)(221010ntjTTnnndtetfTFTFFF之間關(guān)系為與則103147)()()(1111例變換：周期單位序列的傅里葉pnnTttnnT3.10 3.10 抽樣信號的傅里抽樣信號的傅里葉變換葉變換l 時(shí)域抽樣時(shí)域抽樣l 頻域抽樣頻域抽樣抽樣量化編碼連續(xù)信號f(t)抽樣信號fs(t)數(shù)字信號抽樣脈沖p(t)問題：問題：1 1）抽樣后離散信號的頻譜是什么樣的？它與未）抽樣后離散信號的頻譜是什么樣的？

4、它與未被抽樣的連續(xù)信號的頻譜有什么關(guān)系？被抽樣的連續(xù)信號的頻譜有什么關(guān)系？2 2）連續(xù)信號被抽樣后，是否保留了原信號的所）連續(xù)信號被抽樣后，是否保留了原信號的所有信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號有信息？即在什么條件下，可以從抽樣的信號無失真的還原原始信號？無失真的還原原始信號？)(2)(snnnPP22)(1sssTTtjnsndtetpTP*時(shí)域抽樣時(shí)域抽樣)(*)(21)(PFFs)()(snnsnFPF)()()(tptftfs2)(122ssTTtjnsnnSaTEdtetpTPsss矩形脈沖抽樣矩形脈沖抽樣-自然抽樣自然抽樣)(2)(snsssnFnSaTEF上式表明上式表明:

5、 :信號在時(shí)域被抽樣后信號在時(shí)域被抽樣后, ,它的頻譜它的頻譜F Fs s( () )是連是連續(xù)信號的頻譜續(xù)信號的頻譜F(F() )以抽樣頻率以抽樣頻率s s為間隔為間隔周期地重復(fù)而得到的周期地重復(fù)而得到的. .在重復(fù)過程中在重復(fù)過程中, ,幅度幅度被抽樣脈沖被抽樣脈沖p(t)p(t)的傅立葉系數(shù)所加權(quán)的傅立葉系數(shù)所加權(quán), ,加權(quán)加權(quán)系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀系數(shù)取決于抽樣脈沖序列的形狀. .-mmF()1抽樣前抽樣前E sFs()ms抽樣后抽樣后sTTtjnsnTdtetpTPsss1)(122nsssnFTF)(1)(沖激抽樣沖激抽樣-理想抽樣理想抽樣上式表明上式表明: :由于沖激序列的

6、傅里葉系數(shù)由于沖激序列的傅里葉系數(shù)P Pn n為為常數(shù)常數(shù), ,所以所以F(F() )是以是以s s為周期等為周期等幅地重復(fù)幅地重復(fù), ,如下圖所示：如下圖所示：F()- mm抽樣前抽樣前Fs()1/Tss- s抽樣后抽樣后nsssnFTF)(1)(nnFFFtf)()()()()()()(11其其中中*頻域抽樣頻域抽樣nnTtftf)(1)(111上式表明：上式表明： 若若f(tf(t) )的頻譜的頻譜F(F() )被間隔為被間隔為1 1的沖激序列在頻域中抽樣，則的沖激序列在頻域中抽樣，則在時(shí)域中等效于在時(shí)域中等效于f(tf(t) )以抽樣間隔為以抽樣間隔為周期而平移。從而也就說明了周期而平

7、移。從而也就說明了“周周期信號的頻譜是離散的期信號的頻譜是離散的”這一規(guī)律。這一規(guī)律。nnTtftf)(1)(1113.11 3.11 抽樣定理抽樣定理l 時(shí)域抽樣定理時(shí)域抽樣定理l 頻域抽樣定理頻域抽樣定理一個帶限信號一個帶限信號f(t),f(t),如果頻譜如果頻譜| |m m, ,則則信號信號f(t)f(t)可以唯一地由其均勻時(shí)間間隔可以唯一地由其均勻時(shí)間間隔T Ts s1/(2f1/(2fm m) )上的抽樣值上的抽樣值f(nTf(nTs s) )確定確定. .且抽樣頻率且抽樣頻率f fs s2f2fm m( (s s22m m). ). 而而f fs s=2f=2fm m稱為奈奎斯特稱

8、為奈奎斯特(Nyquist(Nyquist) )頻率頻率; ;T Ts s=1/(2f=1/(2fm m) )稱為奈奎斯特間隔稱為奈奎斯特間隔. .時(shí)域抽樣定理時(shí)域抽樣定理Tsfs(t)tTsh(t)Tsf(t)卷積卷積Fs()ms1cH()相相乘乘F()m一個時(shí)限信號一個時(shí)限信號f(t),f(t),如果集中于如果集中于| |t|t|t tm m, ,則其頻譜則其頻譜F(F() )可以唯一由可以唯一由其均勻頻率間隔其均勻頻率間隔f fs s (f(fs s1/(2t1/(2tm m)上上的抽樣值的抽樣值F(nF(ns s) )確定確定. .頻域抽樣定理頻域抽樣定理時(shí)域抽樣與頻域抽樣的對稱性時(shí)域

9、抽樣與頻域抽樣的對稱性f(t)f(t)F(F() ) 以以s s為周期重復(fù)為周期重復(fù)T Ts sF(F() )f(t) f(t) 以以T Ts s為周期重復(fù)為周期重復(fù)s s若若f(t)f(t)被等間隔被等間隔T T取樣取樣, ,將等效于將等效于F(F() )以以s s=2=2 /T/T為周期重復(fù)為周期重復(fù); ;而而F(F() )被等間隔被等間隔s s取樣取樣, ,則等效于則等效于f(t)f(t)以以T T為周期重復(fù)為周期重復(fù). .因此因此, ,在時(shí)域中進(jìn)行抽樣的過程在時(shí)域中進(jìn)行抽樣的過程, ,必然導(dǎo)必然導(dǎo)致頻域中的周期函數(shù)致頻域中的周期函數(shù); ;在頻域中進(jìn)行抽樣的在頻域中進(jìn)行抽樣的過程過程,

10、,必然導(dǎo)致時(shí)域中的周期函數(shù)。必然導(dǎo)致時(shí)域中的周期函數(shù)。作業(yè)作業(yè): : 3-41 3-41 改改)1000()(2tSatf下次課包括下次課包括4.1-4.54.1-4.5節(jié)的內(nèi)容，節(jié)的內(nèi)容，請預(yù)先做好聽課準(zhǔn)備。請預(yù)先做好聽課準(zhǔn)備。第三章總結(jié) 及習(xí)題課知識點(diǎn)回顧知識點(diǎn)回顧: :周期信號傅里葉級數(shù)分析周期信號傅里葉級數(shù)分析非周期信號的傅里葉變換非周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換周期信號的傅里葉變換 典型周期信號的典型周期信號的FSFS 典型非周期信號的典型非周期信號的FTFT 傅里葉變換基本性質(zhì)傅里葉變換基本性質(zhì) 抽樣信號的抽樣信號的FTFT 抽樣定理抽樣定理,.)2, 1(sin)(2:

11、,.)1 ,0(cos)(2:)sincos(2)(:10010011111110ntdtntfTbntdtntfTatnbtnaatfTttnTttnnnn正弦分量幅度余弦分量幅度三角形式傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)(FS)為所有的整數(shù)其中指數(shù)形式ndtetfTFnFenFtfTtttjnnntjn10011)(1)()()(:111函數(shù)函數(shù)f(t)的對稱性與的對稱性與FS系數(shù)關(guān)系系數(shù)關(guān)系20111101cos)(4cos2)(:)(1)TnnntdtntfTatnaatftf為偶函數(shù)2011111)sin()(4)sin()(:)(2)TnnndttntfTbtnbtftf為奇函數(shù)為所有的奇數(shù)且公

12、式同上和為奇諧函數(shù)nbatnbtnatftfnnnnn,)sincos()(:)(3)111傅里葉變換的定義傅里葉變換的定義deFtfdtetfFtjtj)(21)(:)()(:反變換正變換典型信號的典型信號的FTjatueat1)(22|2aaeta)2()(SatGjt2)sgn(1)(t)(21jtu1)()()()(cos000t)()(sin000 jtnTnt)()(111非周期信號的非周期信號的FT的性質(zhì)的性質(zhì))(2)(:ftF對稱性)()(Ftf已知)()(:11niiiniiiFatfa線性)(|1)(:aFaatf尺度變換偶函數(shù)奇函數(shù)虛函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)實(shí)函數(shù)奇函數(shù)偶函數(shù)奇偶

13、虛實(shí)性)(,)(:)(,)(:)(,| )(:|XRXRF)()()( :)()()(:)()(nnnnFtfjtFjtf頻域微分時(shí)域微分dFtfjttfFjFdft)()()0()(:)()0()()(:頻域積分時(shí)域積分0)()(:0tjeFttf時(shí)移)()(:00 Fetftj頻移dFdffFdttfParseval222| )(|21| )(|)(:定理)()()()(:2121FFtftf時(shí)域卷積)()(21)()(:2121FFtftf頻域卷積一般周期信號的一般周期信號的FTdtetfTFnFeFTFtfFTtjnTTnnntjnnn11112211)(1)(2)(周期信號的周期信號

14、的FS與其單周期信號的與其單周期信號的FT之間的關(guān)系之間的關(guān)系1)(101nnFTF)()(snnsnFPF時(shí)域抽樣信號的時(shí)域抽樣信號的FT)(2)(:snsssnFnSaTEF自然抽樣nsssnFTF)(1)(:理想抽樣nnTtftf)(1)(111頻域抽樣信號的頻域抽樣信號的FT頻域抽樣定理頻域抽樣定理時(shí)域抽樣定理時(shí)域抽樣定理msmsmfTff212|或msmsmtftTtt212|或.)sin()cos()()sin()cos()()sin()cos()(,)()(:111100111021110121的波形畫出且如圖和已知周期信號例題nnnnnnnnntndtnacatftndtncc

15、tftnbtnaatftftf)(1tft0T1)(2tft0T11)(tftT21)()()(:21tftftf由函數(shù)對稱性可知解%.95),/(,)(00總能量的分量的能量貢獻(xiàn)為信號以下所有頻譜使得在秒弧度頻率并確定的能量試求信號例題tueat:2ajFadtedttfEat1)(,21)(,:022因?yàn)樵撔盘栍袕念l域計(jì)算從時(shí)域中計(jì)算由定義解)/(706.12)(1295.0%95,021)(111|)(|1000002220sradaarctgaaaaarctgadadFEParseval則有的能量包含當(dāng)定理根據(jù)?0,:).()(),(,)(,6100|0100|1)(:,:3nnant

16、ftytytfaTHS才保證值對于什么樣的問且的輸出為濾波器輸入到濾波器時(shí)的信號為其傅里葉級數(shù)系數(shù)當(dāng)基波周期為其頻率響應(yīng)是波器一連續(xù)時(shí)間理想低通濾例題. 0,8|8|100|12|100|.12,)(.)(,)(12)(1將恒為值的即對于因此有其高次諧波可表示為是周期信號在低通濾波器的通帶內(nèi)所有頻率分量都這意味著是其本身輸出的通過理想低通濾波器后的基波頻率解nannnnntftftftf2:).(),()(:4Ftf求如圖為周期信號已知例題)(tft01441.2)() 1(24sin4)() 1(24sin2)1(2)(4212)(11)( :21232121nnnFnndtetGtGTdt

17、etfTFFSnnntjnTtjnn求解利用周期信號的方法解)() 1(24sin4)(2)()(2)()()()24(4sin2)1(2)(4)()(.)(2)( :1211nnnFTtTttftfetttGtftnnTTjT的卷積求解與號將信號轉(zhuǎn)換為主周期信方法解tdfttfbatfdtdFTFtf)1(2)3(sin)()2()() 1 (:),()(:502求下列信號的已知例題abjabjeaFajbatfdtdeaFabatfaFaatf)(|)()(|1)()(|1)() 1 ( :解)() 0(2)2(21)1( 2)2(21)1( 2)() 1() 3 ()()()(4sin)

18、()()(21)() 2( :00022FeFjdfeFtfeFtfFFFjttfFFtfjtjj解dxxxdxxxFT20)sin()2(2sin) 1 (:6及其性質(zhì)證明下式利用例題002sin2)()0(2)()(21)0()(21)(21)()()(221)()(21)()1(:dxxxdSafdSadSafdeSadeFtfSaSatftGtftjtj即義根據(jù)傅里葉反變換的定則設(shè)證dxxxdSadSadtdFdttfParsevalSatftGtf22211222)sin()()(4211|)(|21)()(2)()()()2(:即定理根據(jù)則設(shè)證.),()().()(),()(),3

19、()3()()()()(:7的值和并求出性質(zhì)證明的利用是的是的且和已知例題BABtAytgFTHFTthFFTtfthtftgthtfty3,31)3(31)()3(3131)3(91)()(91)()(91)3()3()3(91)()()()(:BAtytgYYGYHFGHFGHFY即由時(shí)域卷積和尺度性質(zhì)解)()()()()()()( )()(:8ffjFtfFtf試證明若例題)()()()( )()(2)(| )()( )()(2)()()( )()2(1)( )( )()()( )()()( )()()()()()()(:ffjfjffdejfdeffdejfdtefdtdetufdtefdtufdtefdfFtffdftfjjjtjtjtjtjtt證明kHzfkHzfkHzfkHzfkHzfFFKFFtytfccccc2 . 0)5(5 . 0)4(1)3(2)2(2) 1 (?.),(,5.1.,)(),(,:92121低通濾波器低通濾波器低通濾波器低通濾波器高通濾波器理由該如何選擇出端盡量恢復(fù)原信號使輸每種濾波器只能用一次及作為分別