(王宜舉)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)第二章答案

1、第二章第二章 隨機(jī)變量隨機(jī)變量習(xí)題二答案習(xí)題二答案 解 投擲色子兩次，全部的基本結(jié)果共36個(gè)。其中最小點(diǎn)數(shù)為1的結(jié)果11個(gè)： (1,1)， (1,2)， (1,3) ，(1,4)， (1,5) ， (1,6) ， (6,1)， (5,1) ，(4,1)， (3,1)， (2,1)由古典概型，得 p1=11/36 其余類似計(jì)算。分布律如下： 1.將一顆色子投擲兩次，用 表示兩次投擲中得到的最小點(diǎn)數(shù)，試求 的分布律12345611/369/367/365/363/361/36kp 解 事件 =k即前k-1次失敗，而第k次成功，由獨(dú)立性得 pk=pqk-1,k=1,2,3.事件 =k即前k-1次有兩

2、次成功而其余失敗，而第k次成功。由二項(xiàng)概率公式，前k-1次有兩次成功而其余失敗的概率為 ，又由獨(dú)立性得2231kkCp q2331(),3,4,5kkPkCp qk 2.某試驗(yàn)成功的概率為p，失敗的概率為q=1-p，其中0p1?，F(xiàn)將該試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)多次，并用 表示試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)第一次成功時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)，用 表示試驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)第三次成功時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)，分別求 和 的分布律。 3.一房間有3個(gè)同樣的窗戶，其中有一個(gè)是打開(kāi)的?，F(xiàn)房間有一只小鳥(niǎo)飛來(lái)飛去，試圖從開(kāi)著的窗戶飛走。它飛向各窗戶是等可能的。用 表示小鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)。 （1）若小鳥(niǎo)在飛行過(guò)程中是無(wú)記憶的，求 的分布律； 。 （

3、2）若小鳥(niǎo)在飛行過(guò)程中是有記憶的，也就是它飛向同一窗戶的嘗試至多一次，求 的分布律。 解 小鳥(niǎo)每次試飛能飛出房間的概率是1/3。 （1）若小鳥(niǎo)在飛行過(guò)程中是無(wú)記憶的，則各次嘗試相互獨(dú)立，從而， 即前k-1次失敗，而第k次成功，由乘法公式得： k11212/3 ,1,2,333kkkPkk1212112311/3,2112()() (),3233()1/3PPP A AP A P A APP A A A （2）若小鳥(niǎo)是有記憶的，則各次嘗試不相互獨(dú)立，用Ai表示事件：第i次飛出窗戶，則 4.一座樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備。調(diào)查表明在任一時(shí)刻每個(gè)設(shè)備被使用的概率為0.1。令 為同一時(shí)刻設(shè)備被使用的臺(tái)

4、數(shù)，求其分布律。(5,0.1)b550.10.9,0,1,5kkkPkCk解 服從二項(xiàng)分布 5.每次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率為0.3。當(dāng)A發(fā)生的次數(shù)超過(guò)2次時(shí)，指示燈發(fā)出信號(hào)。（1）進(jìn)行了5次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率；（2）進(jìn)行了7次獨(dú)立試驗(yàn)，求指示燈發(fā)出信號(hào)的概率。 解 設(shè)A發(fā)生的次數(shù)為 ， 服從二項(xiàng)分布 , 指示燈發(fā)出信號(hào)即 （1）n=5, （2）n=7, ( ,0.3)b n0.30.7,0,1,kkn knPkCkn555k=320.30.7kkkPC777k=320.30.7kkkPC2 6.甲乙兩人投籃，投中的概率分別為0.6，0.7。今各投3次，求（1）兩人投中次數(shù)相等的

5、概率；（2）甲比乙投中次數(shù)多的概率。33330.60.4,0,1,2,30.70.3,0,1,2,3kkkkkkPkCkPkCk 解 用 分別表示甲乙兩人投中次數(shù)， 均服從二項(xiàng)分布 , , (3, )bp, 3033333k=03030333330(1)0.60.40.70.3(2),) (0.60.40.70.3kkkkkkkkjkjkkkjjjkjPPkCCPPkjPk PjCC 7.有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下。先作第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)檢驗(yàn)無(wú)次品接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，當(dāng)5件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，否則拒收。設(shè)產(chǎn)品的次品率為0.

6、1，求 （1）這批產(chǎn)品第一次檢驗(yàn)被接受的概率； （2）需作第二次檢驗(yàn)的概率； （3）這批產(chǎn)品第一次檢驗(yàn)未能作決定而第二次檢驗(yàn)時(shí)被接受的概率； （4）這批產(chǎn)品被接受的概率。101055,()0.10.9,0,1,2,10()0.10.9,0,1,2,5kkkkkkPkCkPkCk 解 分別用表示第一、二次檢驗(yàn)產(chǎn)品時(shí)的次品數(shù),均服從二項(xiàng)分布.即10310102(1)(0)0.90.349(2)(12)0.10.90.581(3)(12,0)(12) (0)0.581 0.590.343(4)(0)(12,0)0.692kkkkPPCPPPPP 8.一電話總機(jī)每分鐘收到的呼叫次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分

7、布。求（1）某分鐘恰有8次呼叫的概率；（2）某分鐘的呼叫次數(shù)大于3的概率。解 設(shè)每分鐘收到的呼叫次數(shù)為 ，則84240(),0,1,2,!4(1)(8)0.029778!4(2)(3)1(2)0.23811!kkkPkekkPePPek 9.在區(qū)間【0,1】上任意投擲一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，以 表示其坐標(biāo)。設(shè)這個(gè)質(zhì)點(diǎn)落在【0,1】中任意小區(qū)間的概率與小區(qū)間的長(zhǎng)度成正比，試求 的分布函數(shù)。( )()0, ()()001, ()(0)1, ()( )100( )0111F xPxxPxPxPxPxxxPxPxF xxxx 解當(dāng)當(dāng)當(dāng) 10.以 表示某商店從早晨開(kāi)始營(yíng)業(yè)起直到第一個(gè)顧客到達(dá)的等待時(shí)間（以分計(jì)）。設(shè)其

8、分布函數(shù)為求參數(shù) ，并計(jì)算下述概率1,0( )0,0 xexF xx (1)(3);(2)(4);(3)(34);(4)(2.5);PPPP( )0(0)(0 )11F xxFF 解 因?yàn)樵邳c(diǎn) =0連續(xù)，故得3434(1)(3)(3)1(2)(4)1(4)1(4)(3)(34)(4)(3)(4)(2.5)0PFePPFePFFeeP 11.某器件的壽命（以小時(shí)計(jì)）具有以下的概率密度：現(xiàn)有大批此種器件（設(shè)各器件損壞與否相互獨(dú)立），現(xiàn)從中任取5件，問(wèn)其中至少有2只壽命大于1500小時(shí)的概率是多少？21000,1000( )0 xf xx解 以 表示該種器件的壽命，從而2150010002(1500

9、)3Pdxx5551145(5,2/3)()(2/3) (1/3)(2)1(1)1(1/3)(2/3) (1/3)0.955kkkbPkCPPC 以 表示5件器件中壽命超過(guò)1500小時(shí)的件數(shù)。由獨(dú)立性，概率分布 12.設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間 （以分鐘計(jì)）服從指數(shù)分布某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi).他一個(gè)月要到銀行5次，以 表示一個(gè)月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開(kāi)窗口的次數(shù)，試寫(xiě)出 的分布律，并求概率P 1.51e,0( )50,xxf xx0225525()C (e ) (1e ),0,1,2,3,4,5(1)1(0)1(1e )0.5167kkkPkkPP 【解】依題意，該顧

10、客未等到服務(wù)而離開(kāi)的概率為即 ,其分布律為2 (5,e )b25101(10)ede5xPx【解解】密度函數(shù)1,05( )50,xf x其他22244201616(2)16(2)0122( 12)(02)5xkxkkkkkkPkPk 方程有實(shí)根，即解得 13.若隨機(jī)變量k在（0，5）上服從均勻分布，則方程 有實(shí)根的概率是多少？ 24420 xkxk【解解】 10.050.12(|10.05| 0.12)0.060.06PP1(2)( 2)21(2)0.0456 14.由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度（cm） N（10.05,0.062）規(guī)定長(zhǎng)度在10.050.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格品的概率.【

11、解解】 故 (120200)120160160200160PP404040210.8 4031.251.29 15.某種元件的壽命 （小時(shí)）服從正態(tài)分布N（160，2），若要求P120 2000.8，允許最大不超過(guò)多少？【解解】 可取的值為可取的值為0，1，4，91(0)(0)5117(1)(1)(1)61530PPPPP 16.設(shè)隨機(jī)變量 的分布律為求 = 2的分布律.1/5 1/6 1/5 1/15 11/30 Pk2 1 0 1 3故 的分布律為1(4)(2)511(9)(3)30PPPP 1/5 7/30 1/5 11/30Pk0 1 4 917.(0,1),(1), (2)2lnUe

12、 設(shè)隨機(jī)變量求下列隨機(jī)變量的密度函數(shù)101( )0(1)0,( )0,( )0,( )()(ln )(ln )( )( )(ln )1/=1/xfxyyeFyfyyeFyPeyPyFyfyFyfyyy解其它當(dāng)或時(shí)當(dāng)0時(shí)(2)0,( )0,( )0yFyfy當(dāng)時(shí)/ 2/ 20,( )(2ln)()1()yyyFyPyPeF e 當(dāng)時(shí)/ 2/ 21( )( )()2yyfyFyfee 18.設(shè)隨機(jī)變量 服從正態(tài)分N（1,12), 服從正態(tài)分布N(2,22)，且P| -1|P| -2|0時(shí)，2(ln)/ 2d( )1( )e,0d2yFyfyyyy故( )()0YFyP Yy(2) 當(dāng)y1時(shí)，2( )()(21)Y