大自然的分形幾何

1、.大自然的分形幾何1975年，分形學(xué)的創(chuàng)始人曼德爾布羅特B.B.Mandelbrot出版了他的法文專著?分形對(duì)象：形、機(jī)遇與維數(shù)?，這標(biāo)志著分形理論正式誕生。1982年曼德爾布羅特又出版了另一歷史著作?大自然的分形幾何?，此書雖是前書的增補(bǔ)本，但在曼德爾布羅特看來它卻是分形理論的“宣言書，分形迷們把它當(dāng)作是一部“分形的圣經(jīng)。曼德爾布羅特的分形理論是在他考察了自然界中許多不規(guī)那么的現(xiàn)象。曼德爾布羅特認(rèn)為，分形幾何扮演了兩種角色。它技術(shù)決定論混沌的幾何學(xué)，又是描繪山巒、云團(tuán)和星系的幾何學(xué)。自然科學(xué)與幾何學(xué)總是攜手并進(jìn)的。17世紀(jì)，開普勒發(fā)現(xiàn)能用橢圓描繪行星繞太陽運(yùn)行的軌道。這鼓勵(lì)了牛頓用萬有引力定

2、律解釋這些橢圓軌道。同樣，理想的擺做往復(fù)運(yùn)動(dòng)可以用正弦波形表示。簡單的動(dòng)力學(xué)常常和簡單的幾何外形相聯(lián)絡(luò)。這一種數(shù)學(xué)圖像暗示，物體的形狀和作用于它的力之間有一種平滑的關(guān)系。在行星和擺的例子中還暗示物理學(xué)是決定論的，由系統(tǒng)的過去便能預(yù)測(cè)其將來。曼德爾布羅特也談到了他的分形幾何學(xué)產(chǎn)生的背景。他指出，兩種新近的科學(xué)進(jìn)展深深影響了幾何外形相聯(lián)絡(luò)。首先是由于認(rèn)識(shí)到自然界充滿了某種稱為決定論混沌的事物。宇宙中許多外表看來服從決定論定律的簡單物理系統(tǒng)，其行為仍然是不可預(yù)測(cè)的。例如，受兩個(gè)力作用的擺。用決定論的觀念已無法預(yù)測(cè)其運(yùn)動(dòng)，這使大多數(shù)人吃驚。第二種進(jìn)展來自對(duì)我們周圍見到的最不規(guī)那么而復(fù)雜的現(xiàn)象：山巒和云

3、團(tuán)的外形，星系在宇宙中的分布，離家近點(diǎn)，金融市場(chǎng)價(jià)格的起伏等，做數(shù)學(xué)描繪所獲得的成果。獲取這種數(shù)學(xué)描繪的一條途徑在于找到“模型。換言之，需設(shè)想或發(fā)現(xiàn)一些數(shù)學(xué)規(guī)那么，使之能對(duì)實(shí)現(xiàn)的某些部分做“數(shù)學(xué)上的偽造做成山巒或云團(tuán)的照片、最深層空間的天體圖、報(bào)紙金融版的圖表等。實(shí)際上，伽利略曾聲稱，“自然界偉大的書是用數(shù)學(xué)語言寫成的，并補(bǔ)充說，“其特征為三角形、圓形和其他幾何圖形，沒有這些幾何圖形人們只能在黑暗的迷宮中做毫無結(jié)果的游蕩。然而不管模擬決定論混沌還是模擬不規(guī)那么系統(tǒng)，這些歐幾里得外形已經(jīng)沒什么用。這些現(xiàn)象需要的幾何遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得構(gòu)造特別是需要稱之為分形幾何的新幾何學(xué)。19

4、75年，曼德爾布羅特由描繪碎石的拉丁文fractus，創(chuàng)造出分形fractal一詞。分形是幾何外形，它與歐幾里得外形相反，是沒有規(guī)那么的。首先，它們處處無規(guī)那么可言。其次，它們?cè)诟鞣N尺度上都有同樣程度的不規(guī)那么性。不管從遠(yuǎn)處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個(gè)模樣它是自相似的。在大自然中自相似的例子有很多，隨處可見，像大樹的枝葉、花草與山川河流。整體中的小塊，從遠(yuǎn)處看是不成形的小點(diǎn)，近處看那么發(fā)現(xiàn)它變得輪廓清楚，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。自然界提供了許多分形實(shí)例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)那么保證了小尺度上的

5、特征成長后就變成大尺度上的特征。用明顯的數(shù)學(xué)模型加工出的分形工藝品為謝爾賓斯基Sierpinski墊圈。取一個(gè)三角形并把它分割成四個(gè)較小的三角形，拿掉中心部分的第四個(gè)三角形，便留下一個(gè)白三角形。每一個(gè)新三角形也重復(fù)上述做法，便能獲得尺度不斷縮小具有同樣形式的構(gòu)造，邊長總是教上一步邊長縮小一倍。當(dāng)客體的部分和整體完全相似，就可以說客體是線性自相似的。然而，最重要的一些分形和線性自相似還是有區(qū)別的。其中有些是描繪普通隨機(jī)性的分形，另一些是能描繪混沌，或非線性系統(tǒng)的分形在這種系統(tǒng)中對(duì)系統(tǒng)行為起作用的因素，其作用程度與其產(chǎn)生的效果不成比例。讓我們?yōu)樯蟽煞N情況舉出實(shí)例。由于分形能構(gòu)造海岸線、山巒和云團(tuán)而

6、知名，也曾用于為影片?星際旅行?制作過一些場(chǎng)景。我國古代的讀書人,從上學(xué)之日起,就日誦不輟,一般在幾年內(nèi)就能識(shí)記幾千個(gè)漢字,熟記幾百篇文章,寫出的詩文也是字斟句酌,瑯瑯上口,成為滿腹經(jīng)綸的文人。為什么在現(xiàn)代化教學(xué)的今天,我們念了十幾年書的高中畢業(yè)生甚至大學(xué)生,竟提起作文就頭疼,寫不出像樣的文章呢?呂叔湘先生早在1978年就鋒利地提出:“中小學(xué)語文教學(xué)效果差,中學(xué)語文畢業(yè)生語文程度低,十幾年上課總時(shí)數(shù)是9160課時(shí),語文是2749課時(shí),恰好是30%,十年的時(shí)間,二千七百多課時(shí),用來學(xué)本國語文,卻是大多數(shù)不過關(guān),豈非咄咄怪事!尋根究底,其主要原因就是腹中無物。特別是寫議論文,初中程度以上的學(xué)生都知

7、道議論文的“三要素是論點(diǎn)、論據(jù)、論證,也通曉議論文的根本構(gòu)造:提出問題分析問題解決問題,但真正動(dòng)起筆來就犯難了。知道“是這樣,就是講不出“為什么。根本原因還是無“米下“鍋。于是便翻開作文集錦之類的書大段抄起來,抄人家的名言警句,抄人家的事例,不參考作文書就很難寫出像樣的文章。所以,詞匯貧乏、內(nèi)容空洞、千篇一律便成了中學(xué)生作文的通病。要解決這個(gè)問題,不能單在布局謀篇等寫作技方面下功夫,必須認(rèn)識(shí)到“死記硬背的重要性,讓學(xué)生積累足夠的“米。曼德爾布羅特介紹說，分形模擬著作是從少量的人類智慧和大量的博物學(xué)知識(shí)開場(chǎng)。人類智慧從觀察某些事物入手，像立體派畫家那樣做觀察?！霸茍F(tuán)不是球形，山巒不是錐形，海岸線

8、不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會(huì)沿直線行進(jìn)。曼德爾布羅特強(qiáng)調(diào)，“所有這些自然構(gòu)造都具有不規(guī)那么形狀，它們是自相似的。換言之，我們發(fā)現(xiàn)，把整體中的一部分放大便能進(jìn)一步提醒其深層構(gòu)造，而它幾乎就是我們一開場(chǎng)處理的那種原始構(gòu)造的復(fù)制品。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學(xué)生才能開展的教學(xué)方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進(jìn)步學(xué)生的語文素養(yǎng)煞費(fèi)苦心。其實(shí),只要應(yīng)用得當(dāng),“死記硬背與進(jìn)步學(xué)生素質(zhì)并不矛盾。相反,它恰是進(jìn)步學(xué)生語文程度的重要前提和根底。正是由于曼德爾布羅特看到了大自然中存在著這樣的規(guī)律和特性，他創(chuàng)造了一種新幾何學(xué)大自然的分形學(xué)。與當(dāng)今“老師一稱最接近的“老師概念，最早也要追溯至宋元時(shí)期。金代元好問?示侄孫伯安?詩云：“伯安入小學(xué)，穎悟非凡貌，屬句有夙性，說字驚老師。于是看，宋元時(shí)期小學(xué)老師被稱為“老