透視解析幾何中角的處理

1、透視解析幾何中“角”的處理解析幾何中有關(guān)角的問題，涉及的知識點(diǎn)多，解決方法綜合而靈活，是學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn)，同時，又是高考的一個熱點(diǎn)。下文通過對一個實(shí)例多層面剖析并變式引伸，從中透視處理“角”的一般思維程序，以展示問題求解的一般策略，并由此建構(gòu)解決“角”的方法體系，最終擊破難點(diǎn)，輕取熱點(diǎn)。已知：橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，M是橢圓上的任意一點(diǎn)，試求F1MF2的最大值。分析：所求解的目標(biāo)角，已學(xué)習(xí)過的哪些知識（如概念、公式、定理等）與角相關(guān)聯(lián)？向量的數(shù)量積，余弦定理，到角公式，解法一：設(shè)M（x,y）, 由得：cos=把代入上式，化簡得=0x2a2 b2=a2-c2a2-a2 2 當(dāng)x2=0時，

2、F1MF2取為最大值arccos()解法二：根據(jù)焦半徑公式 ，由余弦定理得cos= =（下同解法一）解法三：cos= 這里，2a=|MF1|+|MF2| |MF1|·|MF2|a2 當(dāng)且僅當(dāng)|MF1|=|MF2|即（M位于短軸頂點(diǎn)B頂點(diǎn)）時等號成立（下略）評注：定義是構(gòu)筑知識體系的基礎(chǔ)，利用定義解題，如同抓住了“綱”，能收到“綱舉目張”的效果，可靠而靈巧。解法四：由橢圓的對稱性，可設(shè)M（x,y）為第一象限內(nèi)“橢圓弧”上的任意一點(diǎn)，即0x<a,0<yb(當(dāng)M位于點(diǎn)A時=0) ，可看作MF1到MF2的角tanF1MF2=令g(y)=，則g'(y)=在其定義域內(nèi)恒正,，

3、故tanF1MF2單調(diào)遞增，當(dāng)y=b即x=0時，就是點(diǎn)M位于上頂點(diǎn)B2，F(xiàn)1MF2達(dá)到最大值*。（下略）上述探索異途同歸：在點(diǎn)M從右頂點(diǎn)A2往上頂點(diǎn)B2移動過程中，F(xiàn)1MF2逐漸增大，并且當(dāng)M位于頂點(diǎn)B2時達(dá)到最大。變式：已知橢圓，M是橢圓上任意一點(diǎn)，A1、A2是橢圓的左、右頂點(diǎn)，求A1MA2的最大值。分析：|MA1|、|MA2|不是焦半徑，公式|MA1|=a+ex、定義|MA1|+|MA2|=2a不能用，并且 |MA1|=不能通過配成完全平方而化簡。故前三種解法都不可行。解：tanA1MA2= tanA1MA2單調(diào)遞增，當(dāng)y=b時，即點(diǎn)M位于上B2時A1MA2最大，其值為。至此，凸現(xiàn)了處理角

4、的常用方法：到角公式，余弦定理，（向量）數(shù)量積的定義。 引伸1：已知橢圓長軸的兩端點(diǎn)是、，且在橢圓上存在點(diǎn)M，使，則橢圓離心率e的取值范圍為（ ） A（0，1） B C D不能確定，因結(jié)論不僅僅與e有關(guān)解：選C。在橢圓上存在點(diǎn)M，使， 即 故 引伸2：橢圓的焦點(diǎn)為F1、F2，點(diǎn)M為其上的動點(diǎn)，則當(dāng)F1MF2為鈍角時，點(diǎn)M橫坐標(biāo)的取值范圍是_.解：找出分界點(diǎn)P：的橫坐標(biāo)即可。解且聯(lián)立的方程組 在“有著適度潛在距離”的相關(guān)問題之間建立精當(dāng)?shù)男蛄嘘P(guān)系，會將知識結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化，使得知識體系簡約，易于理解，可以避免因知識繁雜而不得要領(lǐng)，并且結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化的知識給聯(lián)想提供線索和橋梁，具有遷移和應(yīng)用的活力。 詳細(xì)理由如下：（一）當(dāng)b>c時，b2>c2且b2y2>0 b4>c2y2 tanF1MF2=為正且在上單調(diào)遞增 銳角F1MF2在y=b時取得最大值，（二）當(dāng)b=c時 （）當(dāng)y=b時，tanF1MF2不存在，即F1MF2=（）當(dāng)0<y<b時，b4-c2y2>0，銳角F1MF2 當(dāng)y=b時，F(xiàn)1MF2取得最大值（三）當(dāng)b<c時，（）當(dāng)0<y<時，b4>c2y2 tanF1MF2=為正且在（0，）上單調(diào)遞增 銳角F1MF2（）當(dāng)y=時，tanF1MF2不存在，即F1MF2=（）當(dāng)&