函數(shù)恒成立、能成立問題及課后練習(xí)(含答案)

1、恒成立、能成立問題專題一、根底理論回憶1、恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；2、能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；3、恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M 另一轉(zhuǎn)化方法：假設(shè)在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，假設(shè) 在D上恰成立，那么等價(jià)于在D上的最大值.4、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，那么5、設(shè)函數(shù)、，對(duì)任意的，存在，使得，那么6、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，那么7、設(shè)函數(shù)、，存在，存在，使得，那么8、假設(shè)不等式在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；9、假設(shè)不等式在區(qū)間D上恒成立，等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；二、經(jīng)典題型解析題型一、簡(jiǎn)單型例1、函數(shù)，其中， 1對(duì)任

2、意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；構(gòu)造新函數(shù) 2對(duì)任意，都有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)解：1由成立，只需滿足的最小值大于即可對(duì)求導(dǎo)，故在是增函數(shù)，所以的取值范圍是 例2、設(shè)函數(shù)，對(duì)任意，都有在恒成立，求實(shí)數(shù)的范圍分析：思路、解決雙參數(shù)問題一般是先解決一個(gè)參數(shù)，再處理另一個(gè)參數(shù)以此題為例，實(shí)質(zhì)還是通過函數(shù)求最值解決方法1：化歸最值，；方法2：變量別離，或；方法3：變更主元新函數(shù)，簡(jiǎn)解：方法1:對(duì)求導(dǎo)，單調(diào)函數(shù)由此可知，在上的最大值為與中的較大者，對(duì)于任意，得的取值范圍是例3、兩函數(shù)，對(duì)任意，存在，使得，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍為 答案：題型二、更換主元和換元法例1、函數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)

3、是區(qū)間上的減函數(shù)，()求的值；()假設(shè)上恒成立，求的取值范圍； ()分析：在不等式中出現(xiàn)了兩個(gè)字母：及,關(guān)鍵在于該把哪個(gè)字母看成是一個(gè)變量，另一個(gè)作為常數(shù)。顯然可將視作自變量，那么上述問題即可轉(zhuǎn)化為在內(nèi)關(guān)于的一次函數(shù)大于等于0恒成立的問題。()略解：由()知：，在上單調(diào)遞減，在上恒成立，只需，其中恒成立，由上述結(jié)論：可令,那么，而恒成立，。例2、二次函數(shù)對(duì)恒有，求的取值范圍。解： 對(duì)恒有即變形為 當(dāng)時(shí)對(duì)任意的都滿足只須考慮的情況 即 要滿足題意只要保證比右邊的最大值大就行?，F(xiàn)求在上的最大值。令 所以又是二次函數(shù)所以且例3、對(duì)于滿足0a4的所有實(shí)數(shù)a求使不等式都成立的x的取值范圍答案： 或題型三

4、、別離參數(shù)法欲求某個(gè)參數(shù)的范圍，就把這個(gè)參數(shù)別離出來此類問題可把要求的參變量別離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題：假設(shè)對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，那么；假設(shè)對(duì)于取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，那么.例1、當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，那么的取值范圍是 .解析: 當(dāng)時(shí)，由得.例2、函數(shù)為常數(shù)是實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).求的值與的范圍；假設(shè)對(duì)中的任意實(shí)數(shù)都有在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.假設(shè)，試討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù).解：、略由題意知，函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).在上恒成立題型四、數(shù)形結(jié)合恒成立問題與二次函數(shù)聯(lián)系零點(diǎn)、根的分布法例1、假設(shè)對(duì)任

5、意,不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是_解析：O對(duì),不等式恒成立、那么由一次函數(shù)性質(zhì)及圖像知，即。例2、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：畫出兩個(gè)凼數(shù)和在上的圖象如圖xy03 知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)總有所以O(shè)例4、函數(shù)假設(shè)不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是 .解：在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系中分別作出函數(shù)及的圖象，由于不等式恒成立，所以函數(shù)的圖象應(yīng)總在函數(shù)的圖象下方，因此，當(dāng)時(shí)，所以故的取值范圍是題型五、其它最值處理方法假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上；假設(shè)在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,那么等價(jià)于在區(qū)間D上的.利用不等式性質(zhì)1、存在實(shí)數(shù)，使得不等式有解，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為_

6、。解：設(shè)，由有解，又，解得。2、假設(shè)關(guān)于的不等式恒成立，試求a的范圍解：由題意知只須a比的最小值相同或比其最小值小即可，得由 所以 利用分類討論1、函數(shù)在區(qū)間-1，2 上都不小于2，求a的值。解：由函數(shù)的對(duì)稱軸為x=a所以必須考察a與-1，2的大小，顯然要進(jìn)行三種分類討論1當(dāng)a2時(shí)f(x)在-1，2上是減函數(shù)此時(shí)= f(2)=4-4a+4即a 結(jié)合a2，所以a22當(dāng)a 時(shí) f(x)在-1，2上是增函數(shù)，此時(shí)f(-1)=1+2a+4= f(-1)=1+2a+4結(jié)合a 即a 3當(dāng)-1<a<2時(shí) = f(a)= 即a或a 所以綜上1，2，3滿足條件的a的范圍為：a或 a利用導(dǎo)數(shù)迂回處理1

7、、 假設(shè)當(dāng)時(shí)在0，1恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍解：在0，1 上恒成立，即在0，1上恒成立即在0，1上的最大值小于或等于0令所以，又所以即在0，1上單調(diào)遞減所以，即 得 2、函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求的取值范圍解： 因?yàn)楹瘮?shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以有解.即能成立, 設(shè).由得, .于是,由題設(shè),所以a的取值范圍是3、函數(shù)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；假設(shè)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：略當(dāng)時(shí)，不等式即恒成立.由于，亦即，所以.令，那么，由得.且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也就是函數(shù)在定義域上的最大值.因此要使恒成立，需要，所以的取值范圍為.注：恒成立問題多與參數(shù)的取值

8、范圍問題聯(lián)系在一起，是近幾年高考的一個(gè)熱門題型，往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)。小結(jié)：恒成立與有解的區(qū)別：不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的上界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，。 或的下界小于或等于；不等式對(duì)時(shí)恒成立，。即的下界大于或等于；不等式對(duì)時(shí)有解，.。 或的上界大于或等于；三、恒成立、能成立問題專題練習(xí)1、兩函數(shù)，。1對(duì)任意，都有)成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2存在，使成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；3對(duì)任意，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；4存在，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；2、設(shè)，假設(shè)對(duì)于任意的，都有滿足方程，這時(shí)的取值集合為 A B C D3、假設(shè)任意滿足的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，那么實(shí)數(shù)的最大值是 _ . 4、不

9、等式有解，那么的取值范圍是 5、不等式在內(nèi)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。6、設(shè)函數(shù). 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值； 假設(shè)對(duì)任意的不等式成立，求a的取值范圍。7、A、B、C是直線上的三點(diǎn)，向量，滿足：.1求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；2假設(shè)x0，證明：f(x)；3假設(shè)不等式時(shí)，及都恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍8、設(shè)，且e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(I)求 p 與 q 的關(guān)系；(II)假設(shè)在其定義域內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，求 p 的取值范圍；(III)設(shè)，假設(shè)在上至少存在一點(diǎn)，使得成立, 求實(shí)數(shù) p 的取值范圍.課后作業(yè)答案：1、解析：1設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立，故。令，得或。由導(dǎo)數(shù)知識(shí)，可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

10、且，由，得。2據(jù)題意：存在，使成立，即為：在有解，故，由1知，于是得。3它與1問雖然都是不等式恒成立問題，但卻有很大的區(qū)別，對(duì)任意，都有成立，不等式的左右兩端函數(shù)的自變量不同，的取值在上具有任意性，要使不等式恒成立的充要條件是：。 ，在區(qū)間上只有一個(gè)解。，即.4存在，都有，等價(jià)于，由(3)得，點(diǎn)評(píng)：此題的三個(gè)小題，外表形式非常相似，究其本質(zhì)卻大相徑庭，應(yīng)認(rèn)真審題，深入思考，多加訓(xùn)練，準(zhǔn)確使用其成立的充要條件。2、B。解析：由方程可得，對(duì)于任意的，可得，依題意得。3、答案：。解析：由不等式可得，由線性規(guī)劃可得。4、解：原不等式有解有解，而，所以。5、解：畫出兩個(gè)凼數(shù)和在xy03上的圖象如圖知當(dāng)時(shí)

11、，當(dāng)，時(shí)總有所以6、解：1分令得的單調(diào)遞增區(qū)間為a,3a令得的單調(diào)遞減區(qū)間為，a和3a，+4分當(dāng)x=a時(shí)，極小值=當(dāng)x=3a時(shí)，極小值=b. 6分 由|a，得ax2+4ax3a2a.7分0<a<1，a+1>2a.上是減函數(shù). 9分于是，對(duì)任意，不等式恒成立，等價(jià)于又7、解：(1)y2f /(1)ln(x1)0，y2f /(1)ln(x1)由于A、B、C三點(diǎn)共線即y2f /(1)ln(x1)12分yf(x)ln(x1)12f /(1)f /(x)，得f /(1)，故f(x)ln(x1)4分2令g(x)f(x)，由g/(x) x0，g/(x)0，g(x)在(0，)上是增函數(shù)6分故

12、g(x)g(0)0 即f(x)8分3原不等式等價(jià)于x2f(x2)m22bm3令h(x)x2f(x2)x2ln(1x2)，由h/(x)x10分 當(dāng)x1，1時(shí)，h(x)max0，m22bm30令Q(b)m22bm3，那么 得m3或m312分8、解：(I) 而，所以(II)由 (I) 知 ， 4分令，要使在其定義域 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)函數(shù)，只需 h(x) 在 (0,+¥) 內(nèi)滿足：h(x)0 或 h(x)0 恒成立. 5分 當(dāng)時(shí)，所以在 (0,+¥) 內(nèi)為單調(diào)遞減，故； 當(dāng)時(shí)，其圖象為開口向上的拋物線，對(duì)稱軸為，只需，即p1時(shí)， h(x)0，f (x) 在 (0,+

13、¥) 內(nèi)為單調(diào)遞增，故 p1適合題意. 綜上可得，p1或 p0 9分 (III)g(x) = 在 1,e 上是減函數(shù)x = e 時(shí)，g(x)min = 2，x = 1 時(shí)，g(x)max = 2e 即g(x) Î 2,2e 10分 p0 時(shí)，由 (II) 知 f (x) 在 1,e 遞減 Þ f (x)max = f (1) = 0 < 2，不合題意。 0 < p < 1 時(shí)，由x Î 1,e Þ x0f(x)=p (x)2lnxx2lnx 右邊為 f (x) 當(dāng) p = 1 時(shí)的表達(dá)式，故在 1,e 遞增 f (x)x2ln xe2ln e = e2 < 2，不合題意。 12分 p