2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案

1、2012年全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題參考答案第一試一、選擇題：（本題滿分42分，每小題7分）1已知，那么的大小關(guān)系是 （ C ）A. B. C. D.2方程的整數(shù)解的組數(shù)為 （ B ）A3. B4. C5. D6.3已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，E為BC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE1，連接AE，與CD交于點(diǎn)F，連接BF并延長(zhǎng)與線段DE交于點(diǎn)G，則BG的長(zhǎng)為 （ D ）A B C D4已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為 （ B ）A. B0. C1. D.5若方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根滿足，則實(shí)數(shù)的所有可能的值之和為 （ B ）A0. B. C. D.6由1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字組成四位數(shù)（數(shù)字可重復(fù)使用），要求

2、滿足.這樣的四位數(shù)共有 （ C ）A36個(gè). B40個(gè). C44個(gè). D48個(gè).二、填空題：（本題滿分28分，每小題7分）1已知互不相等的實(shí)數(shù)滿足，則2使得是完全平方數(shù)的整數(shù)的個(gè)數(shù)為 1 3在ABC中，已知ABAC，A40，P為AB上一點(diǎn)，ACP20，則4已知實(shí)數(shù)滿足，則第二試 （A）一、（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為30，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以. 根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡(jiǎn)得，所以，因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是解得所以，直角三角形

3、的斜邊長(zhǎng)，三角形的外接圓的面積為. 二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點(diǎn)D.證明：.證明：連接OA，OB，OC. OAAP，ADOP，由射影定理可得，. 又由切割線定理可得，D、B、C、O四點(diǎn)共圓，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD，. 三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是ABC的外接圓的切線.設(shè)M，若AM/BC，求拋物線的解析式.解 易求得點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又AB的中點(diǎn)E

4、的坐標(biāo)為，所以AE.因?yàn)镻A為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 又因?yàn)锳M/BC，所以，即. 把代入解得（另一解舍去）.因此，拋物線的解析式為. 第二試 （B）一（本題滿分20分）已知直角三角形的邊長(zhǎng)均為整數(shù)，周長(zhǎng)為60，求它的外接圓的面積.解 設(shè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為（），則.顯然，三角形的外接圓的直徑即為斜邊長(zhǎng)，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以. 根據(jù)勾股定理可得，把代入，化簡(jiǎn)得，所以， 因?yàn)榫鶠檎麛?shù)且，所以只可能是或解得或 當(dāng)時(shí)，三角形的外接圓的面積為；當(dāng)時(shí)，三

5、角形的外接圓的面積為. 二（本題滿分25分）如圖，PA為O的切線，PBC為O的割線，ADOP于點(diǎn)D，ADC的外接圓與BC的另一個(gè)交點(diǎn)為E.證明：BAEACB. 證明：連接OA，OB，OC，BD.OAAP，ADOP，由射影定理可得，.又由切割線定理可得，D、B、C、O四點(diǎn)共圓，PDBPCOOBCODC，PBDCOD，PBDCOD， ，. 又BDABDP90ODC90ADC，BDAADC， BADACD，AB是ADC的外接圓的切線，BAEACB.三（本題滿分25分）題目和解答與（A）卷第三題相同.第二試 （C）一（本題滿分20分）題目和解答與（B）卷第一題相同. 二（本題滿分25分）題目和解答與（B）卷第二題相同.三（本題滿分25分）已知拋物線的頂點(diǎn)為P，與軸的正半軸交于A、B（）兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)C，PA是ABC的外接圓的切線.將拋物線向左平移個(gè)單位，得到的新拋物線與原拋物線交于點(diǎn)Q，且QBOOBC.求拋物線的解析式.解 拋物線的方程即，所以點(diǎn)P，點(diǎn)C.設(shè)ABC的外接圓的圓心為D，則點(diǎn)P和點(diǎn)D都在線段AB的垂直平分線上，設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為.顯然，是一元二次方程的兩根，所以，又AB的中點(diǎn)E的坐標(biāo)為，所以AE. 因?yàn)镻A為D的切線，所以PAAD，又AEPD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得. 又由DADC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）. 將拋物線向左平移個(gè)單位