分式方程（一）

1、第三章 分式4分式方程（一）江西省九江市第十一中學(xué) 張遠(yuǎn)東總體說(shuō)明本節(jié)共三個(gè)課時(shí),它分為分式方程的認(rèn)知,分式方程的解答,以及分式方程在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。彼此之間由淺入深。是“實(shí)際問(wèn)題分式方程建模求解解釋解的合理性”過(guò)程。本章在前面幾節(jié)陸續(xù)介紹了分式，分式的乘除，分式的加減，為本節(jié)解分式方程打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)。同時(shí)應(yīng)注意對(duì)學(xué)生進(jìn)行過(guò)程性評(píng)價(jià)，要延遲評(píng)價(jià)學(xué)生運(yùn)算的熟練程度，允許學(xué)生經(jīng)過(guò)一定時(shí)間達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)要求的目標(biāo)，把評(píng)價(jià)重點(diǎn)放在對(duì)算理的理解上。一、學(xué)生知識(shí)狀況分析 學(xué)生的知識(shí)技能基礎(chǔ)：學(xué)生在小學(xué)以及七年級(jí)學(xué)過(guò)解應(yīng)用題，以及在本章第三節(jié)所講述的分式加減時(shí)所引入的問(wèn)題的提出及問(wèn)題的解答。對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行建模

2、有初步地了解，具備分析問(wèn)題，處理問(wèn)題的能力。 學(xué)生活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)：在相關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了一些問(wèn)題建?；顒?dòng)，解決了一些簡(jiǎn)單的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，感受到找出問(wèn)題等量關(guān)系的作用。獲得了解決實(shí)際問(wèn)題所必須的一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。同時(shí)在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn)，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析 教學(xué)時(shí)要有意識(shí)地進(jìn)一步提高學(xué)生的閱讀理解能力，鼓勵(lì)學(xué)生從多角度思考問(wèn)題，解釋所獲得結(jié)果的合理性。對(duì)于常用的數(shù)量關(guān)系，雖然學(xué)生以前大都接觸過(guò)，但在本節(jié)的教學(xué)中仍要注意復(fù)習(xí)、總結(jié)，并抓住用兩個(gè)已知量表示第三個(gè)量的表達(dá)式，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，進(jìn)一步提高分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。為

3、此，本課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)是： 知識(shí)與技能：（1）通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，感受分式方程刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效模型的意義。 （2）通過(guò)觀察，歸納分式方程的概念。（3）體會(huì)到分式方程作為實(shí)際問(wèn)題的模型，能夠根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立分式方程的數(shù)學(xué)模型，并能歸納出分式方程的描述性定義。 過(guò)程與方法：采用的是嘗試歸納相結(jié)合的方法，根據(jù)開始提出的多個(gè)實(shí)際問(wèn)題。教師鼓勵(lì)學(xué)生進(jìn)行嘗試，利用具體情境中的等量關(guān)系列出分式方程，歸納出分式方程的定義。 情感與態(tài)度：在建立分式方程的數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中培養(yǎng)能力和克服困難的勇氣，并從中獲得成就感，提高解決問(wèn)題的能力。三、教學(xué)過(guò)程分析 本節(jié)課設(shè)計(jì)了6教學(xué)環(huán)節(jié)：小麥實(shí)驗(yàn)田問(wèn)題高速公路問(wèn)題電腦網(wǎng)絡(luò)培

4、訓(xùn)問(wèn)題捐款問(wèn)題管理問(wèn)題課時(shí)小節(jié)。第一環(huán)節(jié) 小麥實(shí)驗(yàn)田問(wèn)題 活動(dòng)內(nèi)容 有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田，第一塊使用原品種，第二塊使用新品種，分別收獲小麥9000kg和15000kg。已知第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量比第二塊少3000kg，分別求出這兩塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量。 你能找出這一問(wèn)題中的所有等量關(guān)系嗎？ 如果設(shè)第一塊實(shí)驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為，那么第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量是_kg. 根據(jù)題意，可得方程： _活動(dòng)目的 為了讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象、概括分式方程這一“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，體會(huì)分式方程的模型在解決實(shí)際生活問(wèn)題中作用，設(shè)置了這么一個(gè)例題，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生努力尋找問(wèn)題中的所有等量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解

5、決問(wèn)題的能力。教學(xué)效果： 在第一問(wèn)中，同學(xué)們七嘴八舌，得到了許多等量關(guān)系。1、第一塊實(shí)驗(yàn)田的面積=第二塊實(shí)驗(yàn)田的面積。2、每公頃的產(chǎn)量。3、第一塊實(shí)驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量。感覺(jué)到每人都能想一點(diǎn)，但都不全。第三問(wèn)得到也有多種方案。例1、，2、這時(shí)教師就應(yīng)適時(shí)引導(dǎo)，每步的實(shí)際意義是什么？這樣幫學(xué)生排除了第二種形式。第二環(huán)節(jié) 高速公路問(wèn)題 活動(dòng)內(nèi)容 從甲地到乙地有兩條長(zhǎng)路：一條是全長(zhǎng)600的普通公路，另一條是全長(zhǎng)480的高速公路。某客車在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45，由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間是由普通公路從甲地到乙地所需時(shí)間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙

6、地所需的時(shí)間。 這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？ 如果設(shè)客車由高速公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為 ，那么它由普通公路從甲地到乙地所需的時(shí)間為 _。 根據(jù)題意，可得方程_-活動(dòng)目的 再次讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)際問(wèn)題抽象、概括分式方程這一“數(shù)學(xué)化”的過(guò)程，體會(huì)分式方程的模型作用，設(shè)置了這么一個(gè)例題，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生努力尋找問(wèn)題中的所有等量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教學(xué)效果：這次討論的聲音比第一次要少些，可能感覺(jué)比上一題容易。找出的等量關(guān)系有（1）600km=客車在普通公路上行駛的平均速度客車由普通公路從甲地到乙地的時(shí)間。（2）480 km=客車在高速公路上行駛的平均速度客車由高速公路從甲地到乙地的時(shí)間

7、。（3）客車在高速公路上行駛的平均速度減去客車在普通公路上行駛的平均速度（4）由高速公路從甲地到乙地的時(shí)間由普通公路從甲地到乙地的時(shí)間。同樣注意引導(dǎo)學(xué)生每一步的實(shí)際意義。第三環(huán)節(jié) 電腦網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)問(wèn)題 活動(dòng)內(nèi)容 王軍同學(xué)準(zhǔn)備在課外活動(dòng)時(shí)間組織部分同學(xué)參加電腦網(wǎng)絡(luò)培訓(xùn)，按原定的人數(shù)估計(jì)共需費(fèi)用300元。后因人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍，費(fèi)用享受了優(yōu)惠，一共只需要480元，參加活動(dòng)的每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用比原計(jì)劃少4元，原定的人數(shù)是多少？ 這一問(wèn)題中有哪些等量關(guān)系？ 如果設(shè)原定是人，那么每人平均分?jǐn)俖元。 人數(shù)增加到原定人數(shù)的2倍后，每人平均分?jǐn)俖元。 根據(jù)題意，可得方程_-.活動(dòng)目的 由淺入深，出了一道

8、比上題難度大一點(diǎn)的問(wèn)題。還是為了訓(xùn)練學(xué)生找出問(wèn)題中的所有等量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。教學(xué)效果： 這次學(xué)生討論的聲音又大了點(diǎn)，找出了如下的等量關(guān)系（1） 實(shí)際參加活動(dòng)的人數(shù)=原定人數(shù)。（2） 原計(jì)劃每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用=實(shí)際每個(gè)同學(xué)平均分?jǐn)偟馁M(fèi)用+4元。 根據(jù)題意：第四環(huán)節(jié) 捐款問(wèn)題 這個(gè)題目不要求學(xué)生討論。讓學(xué)生獨(dú)立完成?；顒?dòng)內(nèi)容 為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園。某學(xué)校號(hào)召同學(xué)們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元，第二次捐款總額為5000元，第二次捐款人數(shù)比第一次多20人，而且兩次人均捐款恰好相等。如果設(shè)第一次捐款人數(shù)為人，那么滿足怎樣的方程？活動(dòng)目的 這次讓學(xué)生獨(dú)

9、立思考，不再借助別人的力量。根據(jù)前面幾題的練習(xí)，看同學(xué)們對(duì)找等量關(guān)系到底掌握了多少。特別關(guān)注那些后進(jìn)生。以便及時(shí)調(diào)整教學(xué)進(jìn)度。教學(xué)效果：這次不允許討論，學(xué)生花的時(shí)間比上二題多些。當(dāng)然有的學(xué)生還是反應(yīng)很快，還有一部分學(xué)生則花了有5分鐘的時(shí)間。在這個(gè)班，說(shuō)明學(xué)生之間的差異還是很大的。第五環(huán)節(jié) 管理問(wèn)題活動(dòng)內(nèi)容 某商場(chǎng)有管理人員40人，銷售人員80人，為了提高服務(wù)水平和銷售量，商場(chǎng)決定從管理人員中抽調(diào)一部分人充實(shí)銷售部分，使管理人員與銷售人員的人數(shù)比為1：4，那么應(yīng)抽調(diào)的管理人員數(shù)滿足怎樣的方程？ 活動(dòng)目的 這個(gè)例題還是采取獨(dú)立思考的原則，主要是針對(duì)剛才教師發(fā)現(xiàn)上一題做慢，做錯(cuò)的同學(xué)。努力引導(dǎo)他們找

10、到問(wèn)題中的等量關(guān)系。教學(xué)效果：再次提醒剛才做錯(cuò)的和做的很慢的同學(xué)。讓他們找到等量關(guān)系。由于我的提醒和同學(xué)們的注意力高度集中，從檢查的效果來(lái)看，比上一次大有進(jìn)步。第六環(huán)節(jié) 課時(shí)小節(jié)活動(dòng)內(nèi)容 對(duì)于一個(gè)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題找到它的等量關(guān)系建立分式方程 分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程 同時(shí)注意每一步的實(shí)際意義。活動(dòng)目的 讓學(xué)生感受到在實(shí)際問(wèn)題中，一定要找到它的等量關(guān)系，最好是越多越好。根據(jù)等量關(guān)系來(lái)列方程，這個(gè)方程不是唯一的，今天的分式方程就是以前沒(méi)有接觸過(guò)的。同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生有條理的思考及其語(yǔ)言表達(dá)能力。教學(xué)效果： 小節(jié)最好由同學(xué)們討論，再派代表來(lái)敘述。而不是讓老師說(shuō)。教師只是順勢(shì)把學(xué)生的話進(jìn)行一個(gè)歸納。關(guān)注學(xué)

11、生從現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，關(guān)注學(xué)生能否嘗試用不同方法尋求問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系，并用分式方程表示，能否表達(dá)自己解決問(wèn)題的過(guò)程。大家基本都知道核心是找到等量關(guān)系，從而找到它的方程。布置作業(yè)：P87隨堂練習(xí)第一題P88習(xí)題3.61，2，3四、教學(xué)反思1、教材只是為教師提供最基本的教學(xué)素材，教師完全可以根據(jù)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行適當(dāng)調(diào)整。這些問(wèn)題的提出要根據(jù)本班學(xué)生的實(shí)際情況，學(xué)生能力強(qiáng)的，就要找一些難度大的。學(xué)生能力弱的，就要找一些難度小的。還可以因勢(shì)利導(dǎo)的編一些與同學(xué)們生活息息相關(guān)的例子。當(dāng)然，這些問(wèn)題的提出都必須以現(xiàn)實(shí)生活為背景。不要出一些與實(shí)際生活不符的純理論問(wèn)題。 2、課堂上要把激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性放在首位，多讓學(xué)生說(shuō)，幫助學(xué)生培養(yǎng)發(fā)展有條理的思考及其語(yǔ)言表達(dá)能力。同時(shí)要多注意困難學(xué)生的疑問(wèn)。不要讓一些思維活躍的學(xué)生的回