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文檔簡介
1、余杭區(qū)初中學科骨干高級研修班結業(yè)論文理解公式學習的必要性姓 名:鄒方劍導 師:楊玉東、周丁丁、黃偉勝學 科:初中數學學 校:余杭區(qū)運河鎮(zhèn)博陸中學答 辯:2008年9月 余杭摘要數學公式是用符號(字母、運算符號)表示的量與量之間關系(定律或定理)的式子,當前,初中代數公式的教學一個普遍存在的問題是,以書本知識為本位,學生死記數學定理、公式,把主要精力放在公式應用的反復操練上,給學生的感覺學習數學公式就是“記公式、用公式”,至于為什么要學習數學公式則很茫然,逐漸喪失了學習的積極性。本文以浙教版七年級下冊平方差公式為載體,采用課堂觀察法、錄像分析法、訪談法探索了如何進行公式教學,得出了讓學生理解學習
2、公式的必要性對公式教學是很有必要的。關鍵詞 平方差公式,必要性,反思,改進1課例研究過程1.1第一次教學實踐1.1.1課堂引入T:昨天下班后在我們小區(qū)門口看到一個人在賣西瓜,我首先問多少錢一斤,他說4.1元每斤,我想怎么這么貴,于是就挑了一個稍輕一點的,賣水果的一稱3.9斤,你們說我應付多少錢?(停頓一會)哪個同學能告訴我應付多少錢?S:學生有些在拿出計算器計算,有的在列算式T:(停頓半分鐘后)那個賣西瓜的也和你們一樣拿出計算器,我對他說別算了我應付15.99元,同學們你們想知道我為什么算得這樣快嗎?S:想!.T:同學們都想知道,實際上很簡單,學完這節(jié)課后我保證你們絕大多數同學都會算這個問題,
3、很快能把這個答案算出來.1.1.2模型建立T:哦對了,你們上節(jié)課學過了什么知識?S:多項式的乘法!T:哦,學了多項式的乘法,那你們能不能幫我寫兩個兩項式乘以兩項式的例子,并把過程寫在課堂練習本上.T:寫好的請舉手,好的,現在我想知道你們在計算之后的結果有幾項?S:三項、四項、兩項T:哦,有這么多不同的結果,現在我統(tǒng)計一下結果有四項的舉手!有三項的舉手,有兩項的舉手!對于這幾種不同的類型你們比較關注哪一種情況?S:結果是兩項(學生齊答)-1-T:你們?yōu)槭裁聪矚g兩項?S:結果簡單!T:好那我們就來研究結果是兩項的,下面我們請幾位同學上來寫出兩項式乘以兩項式結果只有兩項的,在下面的同學也別閑著,你們
4、在下面寫.T:對于剛才幾位同學的板書,我們只取他們的題目與結果,整理出如下的幾個式子:(1) (x+3)(x3)=x232 (2) (1+2a)(12a)=12(2a)2 (3) (x+4y)(x4y)=x2(4y)2 (4) (y+5Z)(y5Z)=y2(5Z)2 這幾個等式就是平方差公式,你能規(guī)納出平方差公式左右兩邊的特征嗎?T:能不能用字母來表示平方差公式?S:(a+b)(a-b)=a2-b2T:能不能用一句話來敘述平方差公式?S:兩數的和乘以兩數的平方差等于兩數的平方差T:按照我們這個概念,我想(a+b)(x+y)= a2-b2,對嗎?S:不對T:為什么不對,這不是兩數之和乘以兩數之差
5、等于兩數的平方差嗎?S:它們是相同的(學生急著喊)T:既然是這樣我們數學是講究嚴密的,能不能加個字?S:這T:好的,兩數之和乘以這兩數的平方差等于這兩數的平方差.1.1.3 公式的圖示證明T:計算兩個圖形的陰影部分面積,你發(fā)現了什么規(guī)律?aaaaabb2a-b圖2圖1-b-2-S:第一個圖形的面積是(a+b)(a-b),第二個圖形的面積是a2-b2,這兩個圖形可以通過移動轉化,如把第一個圖形的右邊一個長方形移動左邊那個圖形的下面便可得到第二個圖形,所以從這個變化過程中我得到了:(a+b)(a-b)=a2-b2T:很好,這個圖形的變換就驗證了平方差公式的正確性,也就是平方差公式的幾何意義。1.1
6、.4 公式的應用1.1.4.1例題:你能用平方差公式直接計算下列各式嗎?(y+3)(y-3) (1-5b)(1+5b) (a+3b)(a-3b) (-x+2)(-x-2)1.1.4.2練習:計算(3x+5y)(3x-5y) (1/2b+a)(-1/2b+a) (x+y)(x-2y)-(-y+2x)(2x+y) 918.9 1.2 第一次教學反思與建議1.2.1暴露的問題1.2.1.1兩個情境有必要嗎?課堂引入的情境與模型建立的情境過渡不自然,有點牽強!1.2.1.2有學習過程但耗時過多本節(jié)課模型的建立耗時22分鐘,占整節(jié)課的22/40,導致學生從應用的角度理解公式的時間較少。1.2.1.3平方
7、差公式的美在哪?數學的美體現在結構美,本節(jié)課只從圖形的角度證明了平方差公式的結構美,但沒有從代數的角度邏輯證明平方差公式。1.2.1.4平方差公式簡化的作用沒有得到更好的體現公式的最大的作用就是能簡化運算,但本節(jié)課的例題與練習設計在這方面體現得不夠,學生對平方差公式的作用體驗得不夠。1.2.2改進建議1.2.2.1合理安排用好情境合理選擇情境,使情境能讓學生體驗到學習平方差公式的必要性,可以只用其中一個情境。1.2.2.2理解平方差公式的美增加平方差公式的邏輯證明步驟,讓學生體驗到公式的美,理解平方差公-3-式為什么只有兩項。1.2.2.3要幫助學生理解平方差公式的結構特征平方差公式的結構對平
8、方差公式的教學很重要,在教學中要創(chuàng)造條件,幫助學生理解并熟記平方差公式的結構特征。1.2.2.4合理安排好時間,使各環(huán)節(jié)時間更加合理;1.2.2.5設計好公式的應用,讓學生體驗到平方差公式的真正作用。1.3第二次教學實踐:相比第一次教學實踐有三點變化,其余相同。1.3.1模型建立T:昨天下班后在我們小區(qū)門口看到一個人在賣西瓜,我首先問多少錢一斤,他說4.1元每斤,我想怎么這么貴,于是就挑了一個稍輕一點的,賣水果的一稱3.9斤,你們說我應付多少錢?(停頓一會)哪個同學能告訴我應付多少錢?學生有些在拿出計算器計算,有的在列算式T:(停頓半分鐘后)誰能告訴我我應付多少錢?S:15.99學生齊答.T:
9、你是用什么方法算的?S:計算器列算式T:用計算器算的舉手,用列算式算的舉手,哦還有的不是用這兩種方法算的,你來說說看你是怎樣算的?S:我是用(4+0.1)(4-0.1)算的T:結果是多少?.S:42-0.12=15.99T:不錯,但是我有點納悶,第一步到第二步是怎么來的?S:乘法公式T:你能不能把這個乘法公式寫出來?(學生重新板演補充過程)T:按他的想法,你會算9.18.9、10.19.9各等于多少?S:9.18.9=92- 0. 12=81-0.01=80.99,10.19.9=102- 0. 12=100-0.01=99.99T:看到上面這些算式有些同學可能會想,是不是所有類似這樣的算式都
10、成立呢?S:是T:那我們能不能得出一個什么猜想?S:(a+b)(a-b)=a2-b2-4-1.3.2公式的證明T:我們猜想(a+b)(a-b)=a2-b2,你是怎么得出這個結論的?S:利用多項式的乘法計算出來的。T:怎樣算你說我來寫(板書平方差公式的證明過程(a+b)(a-b)= a2-ab+ab-b2=a2-b2)很好,這就是我們這節(jié)課我們要研究的平方差公式(板書課題),你能用一句話來概括平方差公式嗎?S:兩數之和乘以這兩數平方差等于這兩數的平方差。T:計算兩個圖形的陰影部分面積,你發(fā)現了什么規(guī)律?aaaaabb2a-b圖3圖4-bS:第一個圖形的面積是(a+b)(a-b),第二個圖形的面積
11、是a2-b2,這兩個圖形可以通過移動轉化,如把第一個圖形的右邊一個長方形移動左邊那個圖形的下面便可得到第二個圖形,所以從這個變化過程中我得到了:(a+b)(a-b)=a2-b2T:很好,這個圖形的變換就驗證了平方差公式的正確性,也就是平方差公式的幾何意義。1.3.3公式的應用1.3.3.1例題:完成表格(a+b)(a-b)aba2-b2最后結果(y+3)(y-3)(a+3b)(a-3b)(1-5b)(1+5b)(-x+2)(-x-2)1.3.3.2練習:計算-5-(3x+5y)(3x-5y) (x+y)(x-2y)-(-y+2x)(2x+y)918.9 20072009-200821.3.3.
12、3若 x-y=7,x+y=2,則x2-y2= ?1.4第二次教學反思與建議1.4.1教學反思1.4.1.1幫助學生更進一步理解了平方差公式的結構特征第二次授課通過圖示證明、邏輯證明、找a、b的方法幫助學生理解平方差公式的結構結構特征,也體驗到平方差公式的結構美。1.4.1.2體現了學習平方差公式的簡便運算的作用第二次教學學生進一步體驗平方差公式能簡便運算,特別是“20072009-20082”與“若 x-y=7,x+y=2,則x2-y2= ?”兩題更能體驗到平方差公式對運算的簡便作用。1.4.2暴露的問題1.4.2.1學習平方差公式的必要性沒有得到更好的體現課堂引入的情境與學生所熟悉的情境有點
13、不符,在現實生活中很明顯是付16元,沒必要付15.99元,這也就體現不出學生要學習平方差公式的必要性。1.4.2.2忽視了學生學習的主動性沒有學生主動參與的課堂是不完美的課堂,第二次授課與第一次授課類似,沒有讓學生主動參與到平方差公式的模型建立中來。1.4.3教學建議1.4.3.1完善引入情境課堂引入的情境是個假情境,與學生所熟悉的情境有點不符,課后訪談中有一生說道,最簡單的方法就是16元,沒必要付15.99元,體現不出學生要學習平方差公式的必要性,也不能有助于體驗平方差公式模型的結構美,所以我們建議把這個假情境換掉,直接換一個既能體現平方差公式的簡便作用,又能幫助學生理解平方差公式模型的結構
14、的情境。1.4.3.2讓學生主動參與平方差公式模型的建立在教學中要充分發(fā)揮學生的主動性,讓學生主動參與到平方差公式模型的建立,更能讓學生體驗學習平方差公式的必要性。1.5第三次教學實踐(相比第二次教學實踐有一點不同,其余相同,-6-即模型的建立不同)T:我們來個比賽好不好。S:好T(呈現式子:(4+0.1)(4-0.1)、(6+0.2)(6-0.2)、(12+0.3)(12-0.3):看誰算得又對又快!全部算好的就舉手.(教師在講臺上做,學生在下面做,10秒鐘不到,老師說我已做好了,學生發(fā)出一聲驚呼)T:我已經是第一了,看誰是第二?。?分鐘后,有一個學生做好了,稍后時間其余學生也做好了,教師把
15、答案寫在黑板上)T:你們的答案與我一樣嗎?S:一樣!T:有些同學可能會說那是你老師上課前就算好的,所以比我們快,為了檢驗老師是否真的算得快,下面請你們出題然后我們一起做,看誰做得快,但是出的題樣子一定要和我的一樣。(學生很興奮,有幾個學生出了以下幾個題:(3+0.1)(3-0.1)、(5+0.3)(5-0.3)、(10+3)(10-3)、(50+4)(50-4)等題,但都是教師算得快)T:你知道教師師為什么算得這么快嗎?因為老師發(fā)現了其中有規(guī)律,你能找出這個規(guī)律嗎?(經過師生交流后,學生找出了(4+0.1)(4-0.1)=42-0.12、(6+0.2)(6-0.2) =62-0.22、(3+0
16、.1)(3-0.1)= 32-0.12、(5+0.3)(5-0.3) =52-0.32、(10+3)(10-3)= 102-32、(50+4)(50-4)= 502-42)T:很好,能用字母表示這個規(guī)律嗎?S:能,(a+b)(a-b)=a2-b2.T:好,這就是把具體問題抽象成數學問題,誰能用語言來敘述一下。S:兩個數的和與這兩個數的差的積等于這兩數的平方差。1.6第三次教學反思1.6.1成功之處1.6.1.1學生主動參與讓學生體會到學習平方差公式的必要性師生出題、師生競賽的過程中,由于教師計算總是比學生快得多,學生就-7-會產生一種疑惑:老師算得這么快這里面肯定有什么規(guī)律!這個規(guī)律能得高計算
17、的速度。同時學生的主動參與也激發(fā)了學生學習的積極性。1.6.1.2幫助學生理解了平方差公式結構特征在模型的建立過程中,學生舉了很多與老師一樣的式子,最后又在老師的幫助下找出了它們的規(guī)律,學生從(4+0.1)(4-0.1)=42-0.12、(6+0.2)(6-0.2) =62-0.22、(3+0.1)(3-0.1)= 32-0.12、(5+0.3)(5-0.3) =52-0.32、(10+3)(10-3)= 102-32、(50+4)(50-4)= 502-42無形中發(fā)現了平方差公式的結構美,同時通過圖形證明、邏輯證明了平方差公式的結構美,證明了平方差公式的結果為什么只有兩項。1.6.1.3學生
18、體驗到平方差公式的簡化運算的作用第二次教學學生進一步體驗平方差公式能簡便運算,特別是“20072009-20082”與“若 x-y=7,x+y=2,則x2-y2= ”兩題更能體驗到平方差公式對運算的簡便作用。1.6.2不足之處:圖示證明方法單一平方差公式的圖示證明有好幾種方法,但本課例中只提供了一種證明方法,這樣處理雖然在時間方面得到了很好的把握,但證明的多樣性在這里就弱化了。2.我們的收獲與啟示2.1收獲作為乘法公式的起始課,平方差公式教學要讓學生體驗學習它的必要性、作用和理解它的結構特征,但對于公式教學還需:2.1.1使學生學到研究問題、發(fā)現規(guī)律的方法,提高學生的創(chuàng)新意識與能力,同時激發(fā)學生的成就感。2.1.2有計劃地進行數學的
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