概率統(tǒng)計(jì)第8講

1、統(tǒng)計(jì)學(xué)原理統(tǒng)計(jì)學(xué)原理第八講第八講參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)統(tǒng)計(jì)方法分類(lèi)統(tǒng)計(jì)方法分類(lèi)統(tǒng)計(jì)方法統(tǒng)計(jì)方法描述統(tǒng)計(jì)描述統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)推斷統(tǒng)計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì) 從總體中抽取一部分單位進(jìn)行調(diào)查，從總體中抽取一部分單位進(jìn)行調(diào)查，進(jìn)而利用樣本提供的信息來(lái)推斷總體的進(jìn)而利用樣本提供的信息來(lái)推斷總體的未知參數(shù)和數(shù)值特征的方法和過(guò)程就是未知參數(shù)和數(shù)值特征的方法和過(guò)程就是參數(shù)估計(jì)。參數(shù)估計(jì)。 1.估計(jì)量估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。：用于估計(jì)總體參數(shù)的統(tǒng)計(jì)量。例如例如: 樣本均值就是總體均值樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量。的一個(gè)估計(jì)量。提示提示：參數(shù)用：參數(shù)用

2、表示，估計(jì)量表示，估計(jì)量用用 表示。表示。 2.估計(jì)值估計(jì)值：抽樣后計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值。：抽樣后計(jì)算出來(lái)的統(tǒng)計(jì)量的具體值。例如例如：樣本均值：樣本均值 x =80，則，則80就是就是 的估計(jì)值。的估計(jì)值。估計(jì)量和估計(jì)值估計(jì)量和估計(jì)值 （一）基本概念（一）基本概念 用樣本的估計(jì)量的觀測(cè)值直接作為總體參用樣本的估計(jì)量的觀測(cè)值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。數(shù)的估計(jì)值。 例如：例如：用樣本均值直接用樣本均值直接作為作為總體均值的估計(jì)。總體均值的估計(jì)。用兩個(gè)樣本標(biāo)準(zhǔn)差直接用兩個(gè)樣本標(biāo)準(zhǔn)差直接作為作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)?？傮w標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)。主題一：點(diǎn)估計(jì)主題一：點(diǎn)估計(jì)x Xp P X2 122 nxxxS

3、p p p P 122 優(yōu)良估計(jì)量總體參數(shù) 評(píng)判估計(jì)量的優(yōu)劣，常用的優(yōu)良性準(zhǔn)評(píng)判估計(jì)量的優(yōu)劣，常用的優(yōu)良性準(zhǔn)則有：則有： 無(wú)偏性無(wú)偏性 有效性有效性 一致性（相合性）一致性（相合性）v無(wú)偏性無(wú)偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被 估計(jì)的總體參數(shù)。估計(jì)的總體參數(shù)。 x課堂練習(xí)課堂練習(xí)v 設(shè)設(shè) 為來(lái)自正態(tài)總體為來(lái)自正態(tài)總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 若若 是是 的無(wú)偏估計(jì)量，則常數(shù)的無(wú)偏估計(jì)量，則常數(shù)C為為。12,nXXX2(0,)N21()nC XX212xv一致性一致性：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的：隨著樣本容量的增大，估計(jì)量的 值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體

4、參數(shù)值越來(lái)越接近被估計(jì)的總體參數(shù)x 1、優(yōu)點(diǎn)：、優(yōu)點(diǎn)： （1）簡(jiǎn)單明了；）簡(jiǎn)單明了； （2）能提供具體估計(jì)值。）能提供具體估計(jì)值。 2、缺點(diǎn)：、缺點(diǎn)： （1）無(wú)法提供誤差情況；）無(wú)法提供誤差情況； （2）估計(jì)的可靠程度無(wú)從知曉。）估計(jì)的可靠程度無(wú)從知曉。 一、基本概念一、基本概念 在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出可能包含總體參在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出可能包含總體參數(shù)真實(shí)值的一個(gè)區(qū)間，并且還給出該區(qū)間包數(shù)真實(shí)值的一個(gè)區(qū)間，并且還給出該區(qū)間包含總體參數(shù)真實(shí)值的含總體參數(shù)真實(shí)值的可能性可能性大小。大小。 比如，通過(guò)估計(jì)得到某校數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)以比如，通過(guò)估計(jì)得到某校數(shù)學(xué)平均分?jǐn)?shù)以95%的可能性落在的可能性落在758

5、5之間。之間。 1.將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱(chēng)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比率稱(chēng)為置信水平為置信水平 。 2.表示為表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的概率 。 3.常用的置信水平值有常用的置信水平值有 99%, 95%, 90%。相應(yīng)的相應(yīng)的 為為0.01，0.05，0.10。置信度（水平）置信度（水平） 1.按照置信度要求所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)按照置信度要求所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱(chēng)為區(qū)間稱(chēng)為置信區(qū)間置信區(qū)間。 2. 在某種程度上相信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的在某種程度上相

6、信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)?？傮w參數(shù)。 3.但用具體一個(gè)樣本計(jì)算出的置信區(qū)間可能但用具體一個(gè)樣本計(jì)算出的置信區(qū)間可能包含也可能不包含總體參數(shù)的真實(shí)值。包含也可能不包含總體參數(shù)的真實(shí)值。置信區(qū)間置信區(qū)間 抽樣平均誤差抽樣平均誤差v 也叫也叫抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差，即估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)，即估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)差，簡(jiǎn)稱(chēng)。一般用反映了估計(jì)量與被估差，簡(jiǎn)稱(chēng)。一般用反映了估計(jì)量與被估參數(shù)之參數(shù)之標(biāo)準(zhǔn)誤標(biāo)準(zhǔn)誤間的平均差異程度。間的平均差異程度。 說(shuō)明說(shuō)明：未特別說(shuō)明，本講的抽樣標(biāo)準(zhǔn)：未特別說(shuō)明，本講的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差特指誤差特指樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)差。重要公式重要公式 n X x抽樣極限誤差抽樣極限誤差v 也

7、叫邊際誤差，常用也叫邊際誤差，常用表示?？珊?jiǎn)稱(chēng)表示?？珊?jiǎn)稱(chēng)為極限誤差或允許誤差。反映估計(jì)的精為極限誤差或允許誤差。反映估計(jì)的精度，度， 越小越精確。越小越精確。 1. 1.區(qū)間的中心區(qū)間的中心 點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)，如：，如： 2.區(qū)間的半徑區(qū)間的半徑 允許（極限）誤差允許（極限）誤差 3.區(qū)間的置信度區(qū)間的置信度 區(qū)間包含總體參數(shù)的概率區(qū)間包含總體參數(shù)的概率 xx xpx 、區(qū)區(qū)間間估估計(jì)計(jì)三三要要素素2xp2s二、一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)二、一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)1.1.假定條件：假定條件： 總體服從正態(tài)分布；如果不是正態(tài)分布，可由總體服從正態(tài)分布；如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來(lái)近似正態(tài)分布來(lái)近似

8、 ( (n30n30）。）。2.2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量：使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量：3.3.區(qū)間估計(jì)為：區(qū)間估計(jì)為：)1 ,0( Nnuxz_2xzn/ 210105.361.9625105.363.92101.44,109.28xzn36.105xX隨機(jī)對(duì)隨機(jī)對(duì)100名本校學(xué)生的午餐費(fèi)進(jìn)行調(diào)查名本校學(xué)生的午餐費(fèi)進(jìn)行調(diào)查，得樣本均值，得樣本均值5元，假如總體的標(biāo)準(zhǔn)差為元，假如總體的標(biāo)準(zhǔn)差為1.5元，試求本校大學(xué)生平均午餐費(fèi)的元，試求本校大學(xué)生平均午餐費(fèi)的95%的的置信區(qū)間。置信區(qū)間。1.1.假定條件：假定條件：總體服從正態(tài)分布總體服從正態(tài)分布, ,且方差且方差 未知未知小樣本小樣本 ( (n n30)

9、30)2.2.使用使用t t分布統(tǒng)計(jì)量：分布統(tǒng)計(jì)量：3.3.區(qū)間估計(jì)為：區(qū)間估計(jì)為：)1(ntnsxt_2(1)sx tnn/ 224.771490221476.8,1503.2sxtn1490 x77.24s/2tt 分布分布說(shuō)說(shuō) 明明v 在大樣本（在大樣本（n30）的情況下，因）的情況下，因?yàn)闉閠分布的臨界值與正態(tài)分布的臨界值分布的臨界值與正態(tài)分布的臨界值近似相等。所以，在總體方差未知但近似相等。所以，在總體方差未知但是大樣本的情況下，也可以使用正態(tài)是大樣本的情況下，也可以使用正態(tài)分布的臨界值代替分布的臨界值代替t分布的臨界值。分布的臨界值。/ 27.7739.5

10、1.6453639.52.1337.37, 41.63sxzn5 .39x77. 7s課堂練習(xí)課堂練習(xí)v 從一批元件中隨機(jī)抽取從一批元件中隨機(jī)抽取2525只，測(cè)得只，測(cè)得其平均使用壽命為其平均使用壽命為950950小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)小時(shí)，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為差為100100小時(shí)。假設(shè)這批元件的使用壽小時(shí)。假設(shè)這批元件的使用壽命服從正態(tài)分布，試以命服從正態(tài)分布，試以95%95%的置信度估的置信度估計(jì)這批元件的使用壽命。計(jì)這批元件的使用壽命。1.假定條件假定條件總體服從二項(xiàng)分布總體服從二項(xiàng)分布樣本量足夠大，可用正態(tài)分布近似樣本量足夠大，可用正態(tài)分布近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z(0,1)(1

11、)pzNppn2(1- )pppzn1z/2(1)65%(165%)65%1.9610065%9.35%55.65%,74.35%pppzn1z課堂練習(xí)課堂練習(xí)v 設(shè)從一大批產(chǎn)品中抽取設(shè)從一大批產(chǎn)品中抽取100100個(gè)作為樣個(gè)作為樣品，測(cè)得有以及品品，測(cè)得有以及品6060個(gè)，求這批產(chǎn)品的個(gè)，求這批產(chǎn)品的一級(jí)品率的置信水平一級(jí)品率的置信水平95%95%為置信區(qū)間。為置信區(qū)間。說(shuō)說(shuō) 明明v 對(duì)總體比例進(jìn)行估計(jì)時(shí)，一定得對(duì)總體比例進(jìn)行估計(jì)時(shí)，一定得是大樣本。并且，由于總體比例未知，是大樣本。并且，由于總體比例未知，方差一定未知。所以，對(duì)比例進(jìn)行估方差一定未知。所以，對(duì)比例進(jìn)行估計(jì)時(shí)，只有計(jì)時(shí)，只有“

12、方差未知，大樣本方差未知，大樣本”一種一種情況。情況。 主題三：樣本容量的確定主題三：樣本容量的確定 一、估計(jì)總體均值時(shí)一、估計(jì)總體均值時(shí)v說(shuō)明：說(shuō)明：計(jì)算結(jié)果如果是小數(shù)的話，應(yīng)向上取計(jì)算結(jié)果如果是小數(shù)的話，應(yīng)向上取整，即不論小數(shù)為多少，一律進(jìn)一位。整，即不論小數(shù)為多少，一律進(jìn)一位。222Znv 某市職工家庭調(diào)查，根據(jù)歷史資料，該市某市職工家庭調(diào)查，根據(jù)歷史資料，該市職工家庭人均收入標(biāo)準(zhǔn)差為職工家庭人均收入標(biāo)準(zhǔn)差為2400元，用重置元，用重置抽樣，要求平均收入的極限誤差不超過(guò)抽樣，要求平均收入的極限誤差不超過(guò)200元，在概率保證度元，在概率保證度95.45%下，求樣本的必要下，求樣本的必要單位數(shù)目。單位數(shù)目。v二、估計(jì)總體成數(shù)時(shí)二、估計(jì)總體成數(shù)時(shí) 說(shuō)明：說(shuō)明： 因?yàn)橐驗(yàn)镻(1-P)0.25，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)P=0.5時(shí)，取時(shí)，取0.25，所以當(dāng)，所以當(dāng)P未知時(shí)，取未知時(shí)，取P=0.5確定最大的樣本容確定最大的樣本容量。量。22)1(PPZnv 某市職工家庭調(diào)查，用重置抽樣，要求某市職工家庭調(diào)查，用重置抽樣，要求恩格爾系數(shù)的極限誤差不超過(guò)恩格爾系數(shù)的極限誤差不超過(guò)4%，在，在95.45%的概率保證度