第3章 彈性地基梁理論

1、第第3 3章章 彈性地基梁理論彈性地基梁理論u 概述u 彈性地基梁的計算模型u 彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解u 彈性地基短梁、長梁及剛性梁3.1 概述概述l 彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地彈性地基梁，是指擱置在具有一定彈性地基上，各點與地基緊密相貼的梁，如鐵路基上，各點與地基緊密相貼的梁，如鐵路枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。枕木、鋼筋混凝土條形基礎(chǔ)梁等。l 彈性地基梁與普通梁的區(qū)別彈性地基梁與普通梁的區(qū)別p普通梁式靜定的或有限次超靜定結(jié)構(gòu)；彈性地基梁是無窮多次超靜定結(jié)構(gòu)。p普通梁的支座通?？醋鰟傂灾ё?，即只考慮梁的變形；彈性地基梁則必須同時考慮地基的變形。3.2 彈性地基梁的

2、計算模型彈性地基梁的計算模型l 局部彈性地基模型局部彈性地基模型p 溫克爾假設(shè)溫克爾假設(shè)：kpy p 把地基模擬為剛性把地基模擬為剛性支座上一系列獨立支座上一系列獨立的彈簧。的彈簧。p 缺點缺點：局部彈性地基模型沒有反映地基的變形連續(xù)性，不能全面的反映地基梁的實際情況。但如果地基的上部為較薄的土層，下部為堅硬巖石，這時將得出比較滿意的結(jié)果。l 半無限體彈性地基模型半無限體彈性地基模型彈性地基梁的受力和變形p 假設(shè)假設(shè)把地基看作一個均質(zhì)、連續(xù)、彈性的半無限體。p 優(yōu)點優(yōu)點反映了地基的連續(xù)整體性，同時從幾何上、物理上對地基進(jìn)行了簡化。p 缺點缺點 彈性假設(shè)沒有反映土壤的非彈性性質(zhì)； 均質(zhì)假設(shè)沒有反

3、映土壤的不均勻性； 半無限體的假設(shè)沒有反映地基的分層特點； 數(shù)學(xué)處理上比較復(fù)雜。3.3 彈性地基梁撓度曲線微分彈性地基梁撓度曲線微分方程式及其初參數(shù)解方程式及其初參數(shù)解l基本假定基本假定p地基梁在外荷載作用下產(chǎn)生變形的過程中，梁底面與地基表面始終緊密相貼，即地基的沉陷或隆起與梁的撓度處處相等；p由于梁與地基間的摩擦力對計算結(jié)果影響不大，可以略去不計，因而，地基反力處處與接觸面相垂直；p地基梁的高跨比較小，符合平截面假設(shè)，因而可直接應(yīng)用材料力學(xué)中有關(guān)梁的變形及內(nèi)力計算結(jié)論。l彈性地基梁的撓度曲線微分方程式彈性地基梁的撓度曲線微分方程式彈性地基梁的微元分析0 Y)(xqkydxdQ 0 AMdxd

4、MQ 考察 微段的平衡有：化簡得：省略二階微量化簡得：合并二式得：)(xqkydxMd 22dxdy 22dxydEIdxdEIM 33dxydEIdxdMQ 根據(jù)材料力學(xué)有：代入化簡得到撓曲微分方程：)(44xqkydxydEIl對應(yīng)齊次微分方程的通解對應(yīng)齊次微分方程的通解044 kydxydEI0 )(xq令撓曲微分方程中 ，得到對應(yīng)齊次微分方程： xAxAexAxAeyaxax sincossincos4321 xxshBxxshBxxchBxxchBysincossincos4321)(),()(),(42421332221121212121BBABBABBABBA 且令：通解為：利用

5、雙曲函數(shù)關(guān)系：shaxchaxeshaxchaxeaxax ,得到另一通解：l初參數(shù)解初參數(shù)解p初參數(shù)法初參數(shù)法)sincos()cossin(sincossincos214321axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBaaxshaxBaxshaxBaxchaxBaxchaxBy)sincos()cossin(axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxBEIQ 2132 )sincos()cossin(43axchaxaxshaxBaxchaxaxshaxB)cossincossin(axchaxBaxchaxBaxshaxBaxshaxBEIM432122 )cossin

6、()sincos(axshaxaxchaxBaxshaxaxchaxB 43把四個積分常數(shù)改用四個初參數(shù)來表示，根據(jù)初參數(shù)的物理把四個積分常數(shù)改用四個初參數(shù)來表示，根據(jù)初參數(shù)的物理意義來尋求簡化計算的途徑。意義來尋求簡化計算的途徑。p用初參數(shù)表示積分常數(shù)用初參數(shù)表示積分常數(shù)彈性地基梁作用的初參數(shù)00000000QQMMyyxxxx 梁左端邊界條件：02403030302012141214121MEIBQEIBQEIByB 得到積分常數(shù)： 44EIkb 其中：1040320202010430320320430104040320201022214222221 QMbkbkyQQMbkbkyMbkQ

7、bkMybkQbkMyy 用初參數(shù)表示的齊次微分方程的解：axshaxaxchaxaxshaxaxshaxaxchaxaxchaxcossinsincossincos 4321 其中：微分關(guān)系為：12412 dddd34232 dddd實際工程中常遇到的支座形式與荷載作用下梁端參數(shù)的值l彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解彈性地基梁的撓度曲微分方程的特解p集中荷載作用下的特解項集中荷載作用下的特解項集中力作用于地基梁 集中力集中力Pi作用下的特解項作用下的特解項OA和AB段撓曲微分方程分別為：04042442414414 ydxydydxyd 2214032020101 bkQbkMyy- Pyy

8、y 12)()()()(pApApApApxxbkQxxbkMxxxxyy 413212111221iAAAApQMy 11110, 04444 PPydxyd 由A點的變形連續(xù)條件和受力情況有：當(dāng) 時，特解項為零。pxx )()()()(ppppxxiPxxiPxxiPxxiPPQPMbkPbkPy- 12324212 pxx當(dāng) 時， 集中力偶集中力偶Mi作用下的特解項作用下的特解項集中力偶作用于地基梁 mxximxximxximxxmxxmQmMbkmbkmymmmm- )()()()( 41233222mxx 當(dāng) 時，取特解項為零。p分布荷載作用下的特解項分布荷載作用下的特解項分布荷載作

9、用于地基梁分布荷載可分解成多個集中力，分布荷載可分解成多個集中力，按集中力求解特項。按集中力求解特項。 xxdubkaqyauxq)( - 4荷載在右邊截面x處引起的撓度特解項為：)(uxybkaqdud- 42 x截面以左所有荷載引起的撓度特解項為： 均布荷載均布荷載 )()()()(aaaaxxqxxqxxqxxqqQqMbkbkqy- 222412221baxxx 荷載均布與ab段,xxa（積分限（積分限 ） )()()()()()()()(ababababxxxxqxxxxqxxxxqxxxxqqQqMbkbkqy- 223324411222bxx ,baxx（積分限（積分限 ） 當(dāng)荷

10、載滿跨均布時，積分限是（0，x），故有： 232412221 qQqMbkbkqyqqqq- 三角形分布荷載三角形分布荷載三角形荷載作用于地基梁qxxxuqabau -xxuxuqadubkqy )( 4微段上荷載引起的撓度附加項為： )()()()()()(aaaaxxabqxxabqxxabqxxaabqxxqQxxqMbkxxqxxxxkqy- 32231221411121 baxxx 當(dāng) 時，積分限是 ，,xxa )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(abbabbabbabbxxxxxxababqxxxxxxababqxxxxxxababqxx

11、xxxxababqxxxxqQxxxxqMxxxxkqxxxxkqy 33244321142212122122121-bxx 當(dāng) 時，積分限是 ，,baxx 32431224121 lqQlqMkblqxkblqyqqqq-當(dāng)三角形荷載布滿全跨時，積分限是（0，x）有： 梁全跨布滿梯形荷載的特解項梁全跨布滿梯形荷載的特解項梯形荷載作用于地基梁只須把均布荷載與三角形荷載作用下兩式疊加即可。 23241324312222124121 qQqMbkbkqylqQlqMkblqxkblqyqqqqqqqq-p 共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń夤餐饔孟聯(lián)锨⒎址匠痰耐ń鈗qMpQMyii 、0000 綜合

12、荷載作用于地基梁302201022 bkMyy)()(21211 -xbklqbkq )()(mpxxixxibkmbkPbkQ- 324402 302203104022 bkQbkMy)(1412 - bklqbkq)()(mpxxixxibkmpbk- 233222 0y)(pxxiPQMbkbkyM- 220104303202242 433242 lqqmmxxii)( -)(pxxiPQMbkbkyQ- 110403202022 322422 lqqmmxxi)( -302201022 bkMyy)()(21211 -xbklqbkq )()(mpxxixxibkmbkPbkQ- 32

13、4402 302203104022 bkQbkMy)(1412 - bklqbkq)()(mpxxixxibkmpbk- 233222 3.4 彈性地基短梁、長梁及剛性梁彈性地基短梁、長梁及剛性梁l彈性地基梁的分類彈性地基梁的分類（a）短梁 （b）無限長梁 （c）半無限長梁 （d）剛性梁換算長度換算長度aL44EIkb l長梁的計算長梁的計算p無限長梁作用集中力無限長梁作用集中力Pi的計算的計算無限長梁作用集中力的計算采用梁撓曲方程齊次解式，即：)sincos()sincos(axAaxAeaxAaxAeyaxax4321 0 xy由 有：021 AA由對稱條件 有：0 xdxdy AAA 4

14、3考慮地基反力與外載的平衡條件：iaxPdxaxaxekbA )sin(cos02kbaPAi2 化簡得到：其中：)sin(cosaxaxekbaPyaxi 2無限梁右半部分有：65827242 iiiiPQPMkbPkbPy 其中：axeaxaxeaxeaxaxeaxaxaxaxsin)sin(coscos)sin(cos 8765 對于梁的左半部分，只需將式中 和 改變負(fù)號即可。Q p無限長梁在集中力偶無限長梁在集中力偶mi作用下作用下的計算的計算無限長梁作用集中力偶的計算2000ixxmMy 反對稱條件：0321 AAAbkmAi24 代入齊次微分方程通解得：無限長梁右半部分的變形及內(nèi)力

15、為：76538222 iiiimQmMkbmkbmy 對于左半部分，只需將上式中y與M變號即可。p半無限長梁半無限長梁作用初參數(shù)作用初參數(shù)的計算的計算半無限長梁作用的初參數(shù)0 xyaxshaxBaxshaBaxchaxBaxchaxBysincossincos4321 將 代入：得到：004231 shaxBchaxBshaxBchaxB0000QQMMxx ,再由：20220301222 EIMBEIMEIQB 得到：如梁端作用有初參數(shù) ,則可得到 與 之間的關(guān)系：00 ,y00 ,y00QM ,80507080607025060221222 MQQMQMMQkMQbky )()()(最終有

16、：)()(0020000222MQbkMQbky p半無限長梁在梯形荷載半無限長梁在梯形荷載作用下作用下的計算的計算00QMbklqqbklxbkqy故任一截面的變形與內(nèi)力為：bkxqy)( 是齊次微分方程的一個特解。)(xqkydxydEI 44梯形荷載作用于半無限長梁0yl剛性梁的計算剛性梁的計算xLqqxkxxkyxQxLqqxxkxkyxMxxyxy221)(62621)()()(020323020000剛性梁的計算按靜定梁的平衡條件，得到剛性梁的變形與內(nèi)力為：3.5 算例算例兩端自由的彈性地基梁，長 ，寬 ， ，地基的彈性壓縮系數(shù) ，求梁1、2、3截面的彎矩mL4mb20. 2310

17、1333mNEI 341004mkNK/. p例子例子1 1(1)(1)判斷梁的類型判斷梁的類型)/(.mEIbk11067144 考慮Pi集中載距右端為1m， 故屬于短梁。75. 2L1m1m1m1m(2)(2)計算初參數(shù)計算初參數(shù)梁左端條件：梁右端條件：0000 QM00 QM 022202242022231302200333232403302 )()()()()()()()()()( qpbkybkQqpbkybkMii代入共同作用下?lián)锨⒎址匠痰耐ń獾茫簩⒏鲾?shù)值代入后得：041299291304160104927810343322380000 . yy解得：)(.)(.radm)()()()()()(33232403323022013212403123021242266242 ipbkybkMmNqbkybkM號號號號）（3 3）計算各截面的彎矩）計算各截面的彎矩)()()(34242403423023242 ipbkybkM號號 ）（mNq 813520332332)()( 020432432 )()( q長度及彈性特征系數(shù)，作用荷載如圖，如果 和 均 ，求i截面的p例子例子2 2DACE752. 。和和、iiiiQMy （1）由于故為無限長梁。752. DA 752. CE（2）求出每一荷載單獨作用下地基梁的內(nèi)力和變形，然后再