第1章 被控對象數(shù)學(xué)模型

1、過程控制過程控制第一章第一章 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 要實(shí)現(xiàn)過程控制，首先要了解和掌握被控對象的過程特性，而用數(shù)學(xué)語言對過程特性進(jìn)行描述就是被控對象的數(shù)學(xué)模型。被控對象的數(shù)學(xué)模型在過程控制系統(tǒng)的分析與綜合中起著至關(guān)重要的作用。本章在介紹被控對象數(shù)學(xué)模型的基本概念、作用和要求的基礎(chǔ)上，詳細(xì)闡述利用機(jī)理法建模和實(shí)驗(yàn)法建模的原理、方法和步驟。 第一章第一章 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型目目 錄錄l被控對象的數(shù)學(xué)模型l被控對象的數(shù)學(xué)模型的建立l機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型l實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型1.1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 的概念的概念 被控對象就是正在

2、運(yùn)行著的各種各樣的被控制的生產(chǎn)工藝設(shè)備，例如各種加熱爐、鍋爐、發(fā)酵罐、熱處理器、精餾塔等。 被控對象的數(shù)學(xué)模型就是被控對象的動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)表達(dá)式，即被控對象的輸出量（被控量）在輸入量（控制量和擾動(dòng)量）作用下變化的數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系式。1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)模型的分類: 自動(dòng)調(diào)整系統(tǒng)、程序控制系統(tǒng)、隨動(dòng)系統(tǒng)（伺服控制系統(tǒng)） 線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng) 連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng) 單輸入單輸出系統(tǒng)與多輸入多輸出系統(tǒng) 確定系統(tǒng)與不確定系統(tǒng) 集中參數(shù)系統(tǒng)和分布參數(shù)系統(tǒng) 1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.1.2 被控對象數(shù)學(xué)模型的作用被控對象數(shù)學(xué)模型的作用 設(shè)計(jì)過程控制系統(tǒng)和控制

3、參數(shù)整定 指導(dǎo)設(shè)計(jì)生產(chǎn)工藝設(shè)備 進(jìn)行仿真試驗(yàn)研究 實(shí)施工業(yè)過程的優(yōu)化 實(shí)現(xiàn)工業(yè)過程的故障檢測和診斷 培訓(xùn)系統(tǒng)運(yùn)行操作人員 1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.1.3 被控對象數(shù)學(xué)模型的要求被控對象數(shù)學(xué)模型的要求 實(shí)際生產(chǎn)工程的特性是非常復(fù)雜的，為了建立被控對象的數(shù)學(xué)模型，有時(shí)需要做一些合理的假設(shè)，突出主要因素，忽略次要因素。并在此假設(shè)條件下，得到被控對象的數(shù)學(xué)模型。作為被控對象的數(shù)學(xué)模型，總的要求是簡單且準(zhǔn)確可靠。 在過程控制中實(shí)際應(yīng)用的數(shù)學(xué)模型（傳遞函數(shù)）的階次一般不高于三階，一般采用的是帶有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)和帶有純滯后的二階振蕩環(huán)節(jié)的形式，其中最常用的是帶有純滯后環(huán)節(jié)的一

4、階慣性環(huán)節(jié)形式。1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 自（平）衡過程自（平）衡過程：被控對象受到干擾作用后平衡狀態(tài)被破壞，無須外加任何控制作用，依靠對象本身自動(dòng)趨向平衡的特性稱為自衡。具有這種特性的被控過程稱為自衡過程。 如果被控量只需稍微改變一點(diǎn)就能重新恢復(fù)平衡，該過程的自衡能力強(qiáng)。自衡能力的大小由對象靜態(tài)增益K的倒數(shù)衡量，稱為自衡率()，=1/ K。 常見的4類工業(yè)過程模型類型，即自衡非振蕩過程、無自衡非振蕩過程、自衡振蕩過程、具有反向特性的過程。1.1.4 典型的工業(yè)過程動(dòng)態(tài)特性典型的工業(yè)過程動(dòng)態(tài)特性1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 1 自衡非振蕩過程自衡非振蕩過程1

5、2( ) 1( ) ( )(1)(1)(1)sssnKG seTsKKG seG seT sT sTs其中為過程的純滯后時(shí)間 1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 2 無自衡非振蕩過程無自衡非振蕩過程( ) ( )(1)ssKKG seG seTss Ts 或 1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 3 自衡振蕩過程自衡振蕩過程22( ),0121sKG seT sTs1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 4 具有反向特性的過程具有反向特性的過程12(1)( ) ,0(1)(1)sddKT sG seTT sT s1.1 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.2.1

6、機(jī)理法建模機(jī)理法建模 機(jī)理法建模就是根據(jù)生產(chǎn)過程中實(shí)際發(fā)生的變化機(jī)理，寫出各種相關(guān)的平衡方程，如：物質(zhì)平衡方程、能量平衡方程、動(dòng)量平衡方程、相平衡方程以及反映流體流動(dòng)、傳熱、化學(xué)反應(yīng)等基本規(guī)律的運(yùn)動(dòng)方程、物性參數(shù)方程和某些設(shè)備的特性方程，從中獲得所需的被控過程的數(shù)學(xué)模型。1.2 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 的建立的建立 一般情況下，由機(jī)理推導(dǎo)的微分方程往往比較復(fù)雜，需要對模型進(jìn)行簡化，以獲得實(shí)用的數(shù)學(xué)模型。 簡化模型方法有以下三種：一是在開始推導(dǎo)時(shí)就引入簡化假定，使推導(dǎo)出的方程在符合過程主要客觀事實(shí)的基礎(chǔ)上盡可能簡單；二是在得到較復(fù)雜的高階微分方程時(shí)，用低階的微分方程或差分方程來近似

7、；三是對得到的原始方程利用計(jì)算機(jī)仿真，得到一系列的響應(yīng)曲線（階躍響應(yīng)曲線或頻率特性），根據(jù)這些特性，再用低階模型去近似。如有可能，對所得的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行驗(yàn)證，若與實(shí)際過程的響應(yīng)曲線差別較大，則需要對數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修改和完善。 1.2 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 的建立的建立l實(shí)驗(yàn)法建模是根據(jù)被控對象輸入/輸出的實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)通過數(shù)學(xué)處理后得出數(shù)學(xué)模型。此方法又稱為系統(tǒng)辨識。 l系統(tǒng)辨識是根據(jù)測試數(shù)據(jù)確定模型結(jié)構(gòu)（包括形式、方程階次以及時(shí)滯情況等），在已定模型結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，再由測試數(shù)據(jù)確定模型的參數(shù)即為參數(shù)估計(jì)。 1.2.2 實(shí)驗(yàn)法建模實(shí)驗(yàn)法建模1.2 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型

8、的建立的建立系統(tǒng)辨識的一般步驟 ：明確數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用目的及要求 掌握足夠多的驗(yàn)前知識 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì) 辨識方法應(yīng)用 用階躍響應(yīng)、頻率響應(yīng)、頻譜分析、相關(guān)函數(shù)或參數(shù)估計(jì)等方法來建立過程的數(shù)學(xué)模型。對于模型結(jié)構(gòu)，包括模型形式、時(shí)滯情況及方程階次的確定等，通常總是先作假定，再通過實(shí)驗(yàn)加以驗(yàn)證。 模型驗(yàn)證 1.2 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 的建立的建立 當(dāng)用單一的機(jī)理法或?qū)嶒?yàn)法建立復(fù)雜的被控對象的數(shù)學(xué)模型比較困難時(shí)，可采用將機(jī)理法和實(shí)驗(yàn)法相結(jié)合的方法來建立數(shù)學(xué)模型。 一是部分采用機(jī)理法推導(dǎo)相應(yīng)部分的數(shù)學(xué)模型，該部分往往是工作機(jī)理非常熟悉的部分。對于其它尚不熟悉或不很肯定的部分則采用實(shí)驗(yàn)法得出其數(shù)

9、學(xué)模型。二是先通過機(jī)理分析確定模型結(jié)構(gòu)形式，再通過實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來確定模型中各個(gè)參數(shù)的具體數(shù)值。這種方式實(shí)際上是機(jī)理法建模和參數(shù)估計(jì)兩者的結(jié)合。 1.2.3 機(jī)理法與實(shí)驗(yàn)法建模相結(jié)合機(jī)理法與實(shí)驗(yàn)法建模相結(jié)合1.2 被控對象的數(shù)學(xué)模型被控對象的數(shù)學(xué)模型 的建立的建立 從機(jī)理出發(fā)，用理論的方法得到被控對象數(shù)學(xué)模型，主要是依據(jù)物料平衡和能量平衡，一般用下式表示： 單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)入對象的物料量（或能量） 單位時(shí)間內(nèi)由對象流出的物料量（或能量） 系統(tǒng)內(nèi)物料（或能量）蓄藏量的變化率1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 機(jī)理法建模的基本步驟如下： 根據(jù)建模過程和模型使用目的做出合理假設(shè)。

10、 根據(jù)被控對象的結(jié)構(gòu)以及工藝生產(chǎn)要求進(jìn)行基本分析，確定被控對象的輸入變量和輸出變量。 根據(jù)被控對象的內(nèi)在機(jī)理，列寫原始動(dòng)態(tài)方程組。 消去中間變量，得到只含有輸入變量和輸出變量的微分方程式或傳遞函數(shù)。 在滿足控制工程要求的前提下對動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行必要的簡化。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.3.2 單容過程的數(shù)學(xué)模型單容過程的數(shù)學(xué)模型 單容過程是指只有一個(gè)儲存容量的過程。單容過程可以分為自平衡單容過程和無自平衡單容過程。1. 自平衡單容過程自平衡單容過程 單容液位控制過程如圖所示。其流入量為Q1，其大小 由閥門1的開度控制。流量為流出量Q2，它取決于用戶的需

11、要，其大小由閥門2的開度控制。以儲存罐中液位的高度h為被控量，即輸出，流入量Q1為輸入，來建立其輸入輸出關(guān)系的數(shù)學(xué)模型。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 根據(jù)物料平衡關(guān)系，即在單位時(shí)間內(nèi)儲存罐的液體流入量與單位時(shí)間內(nèi)儲存罐的液體流出量之差，應(yīng)等于儲存罐中液體儲藏量的變化率。故有： dtdVQQ21)(121QQAdtdh即：其中A是橫截面積。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 由上可見，液位變化dh/dt由兩個(gè)因素決定：一是儲存罐的截面積A；一是流入量與流出量之差Q1-Q2。 A越大，dh/dt越小；Q1-Q2越大，dh/dt越

12、大。 在過程控制系統(tǒng)中，被控對象一般都有一定儲存物料或能量的能力，儲存能力的大小通常用容量或容量系數(shù)表示，其表示符號為C。其物理意義是：引起單位被控量變化時(shí)被控對象儲存能量、物料量變化的大小。1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 本例中A是決定液位變化率大小的因素。 若以增量形式表示各變量相對于穩(wěn)態(tài)值的變化量，可得： 假設(shè)Q2與h近似成線性正比關(guān)系，與閥門2處的液阻R成反比關(guān)系，即則可得： 其中2/Qh R dthdAQQ211.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1QRhdthdRCCA 對上式取Laplace變換，可得液位變化與流入量之

13、間的傳遞函數(shù)： 1)()(1RCsRsQsH 令T=RC，K=R，可得：1)()()(1TsKsQsHsG 其中T為過程時(shí)間常數(shù)，K為過程放大系數(shù)或增益。1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 )1 (/1TteQKh 液位控制過程的階躍響應(yīng)如圖所示。當(dāng)t時(shí)，液位變化趨于穩(wěn)態(tài)值。對于該過程，輸入量的變化經(jīng)過儲存罐這個(gè)對象后，放大了K倍，故K稱為放大系數(shù)。液阻R不但影響液位過程的時(shí)間常數(shù)T，而且影響放大系數(shù)K；而容量系數(shù)C僅影響液位過程的時(shí)間常數(shù)T。時(shí)間常數(shù)T是表征液位過程響應(yīng)快慢的重要參數(shù)。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 2 2無自

14、平衡單容過程無自平衡單容過程 所謂無自平衡過程是指受擾過程的平衡狀態(tài)被破壞后，在沒有操作人員或儀表等干預(yù)下，依靠被控過程自身能力不能重新回到平衡狀態(tài)。如圖所示為無自平衡單容液位過程 。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 因閥門2換成計(jì)量泵，使在任何情況下Q2都保持不變，即與液位h的大小無關(guān)，故有： dtdhCQQ21因?yàn)镼2=0，則可得：1QdthdC 對上式取Laplace變換，可得液位變化與流入量之間的傳遞函數(shù)： TssQsHsG1)()()(1其中T=C為被控對象的積分時(shí)間常數(shù)。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 當(dāng)輸入發(fā)生

15、階躍擾動(dòng)后，輸出量將無限制地變化下去，不會(huì)停止。這與實(shí)際物理過程是相吻合的。因?yàn)楫?dāng)流入量Q1階躍變化后，液位h將隨之而變，而流出量不變，所以儲存罐的液位h要么一直上升直至液體溢出，要么一直下降直至液體被抽干。1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 無自平衡單容過程階躍響應(yīng)曲線如圖所示。當(dāng)過程具有純滯后時(shí)，如圖所示：seTsKsQsHsG1)()()(1其中為過程的純滯后時(shí)間 有自平衡過程的傳遞函數(shù)為： 無自平衡過程的傳遞函數(shù)為：seTssQsHsG1)()()(11.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 有自平衡過程的階躍響應(yīng)過程如圖所示 ：1

16、.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.3.3 多容過程的數(shù)學(xué)模型多容過程的數(shù)學(xué)模型 具有一個(gè)以上存儲容量的過程稱為多容過程。在實(shí)際生產(chǎn)過程中被控對象大多具有一個(gè)以上的存儲容量。 如圖所示的液位過程由管路分離的兩個(gè)儲存罐組成，它有兩個(gè)儲水的容器稱為雙容過程。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 不計(jì)兩個(gè)儲存罐之間管路所造成的時(shí)間延遲，以閥門1的流量Q1為輸入量，第二個(gè)儲存罐的液位h為輸出量，求此兩容過程的數(shù)學(xué)模型根據(jù)物料平衡關(guān)系，可以列寫出下列增量方程 dthdCQQ1121212RhQdthdCQQ2232323RhQ式中：Q1、 Q

17、2 、 Q3為流過閥門1、閥門2、閥門3的流量；h1、h2為儲存罐1和2的液位；C1、C2為其溶液系數(shù)； R1、R2 為閥門2、閥門3的液阻。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 對上式進(jìn)行Laplace變換，整理可得雙容過程的數(shù)學(xué)模型) 1)(1(111)()()()()(212312212sTsTKsTRsTsQsHsQsQsG 如圖所示為該雙容過程的階躍響應(yīng)曲線。 由圖可見，與自平衡單容過程的階躍響應(yīng)曲線相比，雙容過程的單位階躍響應(yīng)曲線從一開始就變化較慢。這是因?yàn)樵趦蓚€(gè)儲存罐之間存在液體流通阻力，延緩了輸出量的變化。顯然，如果依次相接的儲存罐越多，過程容量越

18、大，這種延緩就會(huì)越長。 1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 若儲存罐1與儲存罐2之間管道長度有延遲，則傳遞函數(shù)為： sesTsTKsG) 1)(1()(21 若將閥門3改為定量泵，使該過程的輸出量與液位的高低無關(guān)，則無自平衡雙容過程的傳遞函數(shù)如下：sTsTKsGC) 1()(1式中TC=C21.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 若改為如圖所示的串接并聯(lián)，Q2的大小不僅與液位h1有關(guān)，而且與后接儲存罐的液位h2有關(guān)。此時(shí)過程的傳遞函數(shù)為：1)()()()(1221221012sTTTsTTKsQsHsG式中：T1=R2C1、T2=R3C2

19、、T12=R3C1、K0=R3。1.3 機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型機(jī)理法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 實(shí)驗(yàn)測試法建模是根據(jù)被控過程輸入、輸出的實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)學(xué)處理后得到數(shù)學(xué)模型。與機(jī)理法建模相比，測試法建模的主要特點(diǎn)是在預(yù)先設(shè)計(jì)一個(gè)合理的測試方案下，無需深入了解被控過程機(jī)理，通過試驗(yàn)數(shù)據(jù)以獲得被控過程的數(shù)學(xué)模型。實(shí)驗(yàn)測試法建模是把被研究的被控過程視為一個(gè)黑匣子，完全從外特性上測試和描述它的動(dòng)態(tài)性質(zhì)。對于一些復(fù)雜的工業(yè)過程，測試方案設(shè)計(jì)顯得尤為重要。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 非參數(shù)模型辨識方法，或稱經(jīng)典辨識方法： 測試的動(dòng)態(tài)特性是以時(shí)間或頻率為自變量的實(shí)驗(yàn)曲

20、線，稱為非參數(shù)模型。 是在假定被控過程是線性的前提下，不必事先確定模型的具體結(jié)構(gòu)。這類方法可適用于任意復(fù)雜的過程，應(yīng)用比較廣泛。 為了獲得動(dòng)態(tài)特性，必須加入激勵(lì)信號使被控對象處于被激勵(lì)的狀態(tài)。根據(jù)激勵(lì)信號和數(shù)據(jù)分析方法的不同，實(shí)驗(yàn)方法要有以下幾種： 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 時(shí)域方法：輸入階躍信號，通過被控對象的階躍響應(yīng)曲線求出傳遞函數(shù)。頻域方法：輸入不同頻率的正弦波，測出輸入變量與輸出變量的幅值比和相位差，通過獲得的被控對象的頻率特性，求得傳遞函數(shù)。統(tǒng)計(jì)相關(guān)法：輸入某種隨機(jī)信號或直接利用本身存在的隨機(jī)噪聲進(jìn)行觀察和記錄，應(yīng)用統(tǒng)計(jì)分析方法研究被控對象的動(dòng)

21、態(tài)特性。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 參數(shù)模型辨識方法，稱為現(xiàn)代辨識方法 ： 假定一種模型結(jié)構(gòu)，通過極小化模型與被控過程之間的誤差準(zhǔn)則函數(shù)來確定模型的參數(shù)。 最小二乘法 梯度校正法 極大似然法1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.4.1 階躍響應(yīng)曲線法建立被控對象的模型階躍響應(yīng)曲線法建立被控對象的模型 階躍響應(yīng)曲線法是對處于開環(huán)、穩(wěn)態(tài)的被控過程，使其控制輸入量產(chǎn)生一階躍變化，測得被控過程的階躍響應(yīng)曲線，然后再根據(jù)階躍響應(yīng)曲線，求取被控過程輸入與輸出之間的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)關(guān)系傳遞函數(shù)。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對

22、象的數(shù)學(xué)模型 為得到可靠的測試結(jié)果，做測試時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：試驗(yàn)測試前，被控過程應(yīng)處于相對穩(wěn)定的工作狀態(tài)。否則，就容易將被控過程的其它動(dòng)態(tài)變化與試驗(yàn)時(shí)的階躍響應(yīng)混淆在一起，影響辨識結(jié)果；輸入的階躍變化量不能太大，以免對生產(chǎn)的正常進(jìn)行造成影響，但也不能太小，以防其它干擾影響的比重相對較大。一般階躍變化在正常輸入信號最大幅值的515之間，大多取10；完成一次試驗(yàn)測試后，應(yīng)使被控過程恢復(fù)原來工況并穩(wěn)定一段時(shí)間，再做第二次試驗(yàn)測試；在相同條件下應(yīng)重復(fù)多做幾次試驗(yàn)，從幾次的測試結(jié)果中選擇兩次以上比較接近的響應(yīng)曲線作為分析依據(jù)，以減少隨機(jī)干擾因素的影響；分別做階躍輸入信號為正、反方向兩種變化情況的試驗(yàn)對比

23、，以反映非線性對被控過程的影響。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 由階躍響應(yīng)曲線求出傳遞函數(shù)，首先要根據(jù)被控過程階躍響應(yīng)曲線的形狀，選定模型傳遞函數(shù)的形式，然后再確定具體參數(shù)。在工業(yè)生產(chǎn)中，大多數(shù)過程的過渡過程都是有自平衡能力的非振蕩衰減過程，其傳遞函數(shù)可以用一階慣性環(huán)節(jié)加滯后、二階慣性環(huán)節(jié)加滯后或n階慣性環(huán)節(jié)加滯后幾種形式來近似：seTsKsG1)(sesTsTKsG) 1)(1()(21sneTsKsG) 1()(1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 對于無自平衡特性的被控對象，可以選用以下傳遞函數(shù)近似：seTssG1)(sesT

24、sTKsG) 1()(21snesTsTKsG) 1()(21TssG1)() 1()(21sTsTKsGnsTsTKsG) 1()(211.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 對于具體的被控對象，傳遞函數(shù)形式的選用一般從以下兩方面考慮：u根據(jù)被控過程的先驗(yàn)知識選用合適的傳遞函數(shù)形式；u根據(jù)建立數(shù)學(xué)模型的目的及對模型的準(zhǔn)確性要求，選用合適的傳遞函數(shù)形式。 在滿足精度要求的情況下，盡量選用低階傳遞函數(shù)的形式。大量的實(shí)際工業(yè)過程一般都采用一、二階傳遞函數(shù)的形式來描述。 確定了傳遞函數(shù)形式之后，由階躍響應(yīng)曲線來求取被控對象動(dòng)態(tài)特性的特征參數(shù)（即放大系數(shù)K、時(shí)間常數(shù)T、遲延時(shí)

25、間等），被控過程的數(shù)學(xué)模型（傳遞函數(shù)）就可確定。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 過程的階躍響應(yīng)曲線如下圖所示。t=0時(shí)曲線斜率最大，之后斜率減小，逐漸上升到穩(wěn)態(tài)值y()，則該響應(yīng)曲線可用一階慣性環(huán)節(jié)來近似。此時(shí)，需要確定的參數(shù)只有T和K。 由階躍響應(yīng)曲線確定傳遞函數(shù)參數(shù)K和T的方法為：由階躍響應(yīng)曲線定出y()，然后確定K= y()/x0值，再在階躍響應(yīng)曲線的起點(diǎn)處做切線，該切線與y()的交點(diǎn)所對應(yīng)的時(shí)間即為T。 1. 由由階躍響應(yīng)曲線確定一階慣性環(huán)節(jié)的特性參數(shù)階躍響應(yīng)曲線確定一階慣性環(huán)節(jié)的特性參數(shù)1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型

26、 根據(jù)測試數(shù)據(jù)直接計(jì)算T：令 則2/Tt )(%39)2/(yTyTt )(%63)(yTy)(%5 .86)2(yTyTt2 在階躍響應(yīng)曲線上找到上述幾個(gè)數(shù)據(jù)所對應(yīng)的時(shí)間t1、t2、t3，則可計(jì)算出T。如果由t1、t2 和t3分別取的數(shù)值T有差異，可以用求平均值的方法對T加以修正。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 如果被控過程的階躍響應(yīng)曲線是一條如圖所示的S形單調(diào)曲線，可以選用有純滯后的一階慣性環(huán)節(jié)作為該過程的傳遞函數(shù)。2. 由由階躍響應(yīng)曲線確定一階慣性環(huán)節(jié)加滯后環(huán)節(jié)的階躍響應(yīng)曲線確定一階慣性環(huán)節(jié)加滯后環(huán)節(jié)的特性參數(shù)特性參數(shù)1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模

27、型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 已知階躍響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)值與階躍輸入的幅值之比即為被控過程的放大系數(shù)，故常利用作圖法和兩點(diǎn)計(jì)算法確定被控過程時(shí)間常數(shù)與滯后時(shí)間。 作圖法作圖法 在上圖中階躍響應(yīng)曲線斜率最大（A點(diǎn)）處作一條切線，該切線與時(shí)間軸交于B點(diǎn)，與y(t)的穩(wěn)態(tài)值y()交于C點(diǎn)，C點(diǎn)在時(shí)間軸上的投影為D點(diǎn)，BD即為被控過程的時(shí)間常數(shù)T，OB即為被控過程的滯后時(shí)間。 由于階躍響應(yīng)曲線的最大斜率處不易找準(zhǔn)，因而切線的方向會(huì)有較大的隨意性，通過作圖求得的時(shí)間常數(shù)T與滯后時(shí)間值會(huì)有較大誤差。可以采用如下計(jì)算方法求取T與值。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 計(jì)算法計(jì)算

28、法 利用階躍響應(yīng)y(t)上兩個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)計(jì)算T和。為了計(jì)算方便，首先將y(t)轉(zhuǎn)換成無量綱形式y(tǒng)0(t)，如圖所示。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 )()()()(00ytyKxtyty 其階躍響應(yīng)無量綱的形式如下：tettyTt10)(0 在圖中選取二個(gè)不同時(shí)刻 和 ，以及對應(yīng)的 和，和 ，其中 ， ，通過計(jì)算可確定 和 。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 21tt01( )y t02( )y t1t2tT120102( )1( )1tTtTy tey te 21010220110201021( )1( )1( )1( )1(

29、 )1( )ttTlny tlny tt lny tt lny tlny tlny t1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 為了方便計(jì)算，可選 ，代入上兩式可得 21122()2Ttttt 計(jì)算出T和后，還應(yīng)該把計(jì)算的結(jié)果與實(shí)測曲線進(jìn)行比較，以檢驗(yàn)所得模型的準(zhǔn)確性。 若計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值的差距可以接受，表明所求得的一階慣性加滯后環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)滿足要求。否則，表明用一階慣性加滯后環(huán)節(jié)近似被控過程的傳遞函數(shù)不合適，應(yīng)選用高階傳遞函數(shù)。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 0102( )0.39, ( )0.632y ty t 對無滯后的二階環(huán)節(jié)

30、，只需確定參數(shù)K、T1和T2。其相應(yīng)的階躍響應(yīng)曲線如圖所示。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 2. 由由階躍響應(yīng)曲線確定二階慣性環(huán)節(jié)的特性參數(shù)階躍響應(yīng)曲線確定二階慣性環(huán)節(jié)的特性參數(shù) 化為無量綱形式的階躍響應(yīng)y0(t)后，傳遞函數(shù)如下表示： ) 1)(1(1)(21sTsTsG 其相應(yīng)的單位階躍響應(yīng)為2112221101)(TtTteTTTeTTTty 根據(jù)上式，可以利用階躍響應(yīng)曲線上兩個(gè)點(diǎn)的數(shù)據(jù)求出T1和T2。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1112221212121212121212121 211220.60.21()2.1

31、6(1.740.55)ttTTttTTTTeeTTTTTTeeTTTTTTttTTtTTt 若選取y0(t1)=0.4、y0(t2)=0.8兩點(diǎn)，再從曲線上確定對應(yīng)的t1和t2，即可得到方程組1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 上式的近似解為 采用上式來確定T1和T2時(shí)，應(yīng)滿足條件：1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 12/0.32tt 120.32/0.46tt 當(dāng) 時(shí)，被控對象的數(shù)學(xué)模型可近似為一階慣性環(huán)節(jié)。12/=0.32tt12()/ 2.12Ttt。 當(dāng) 時(shí)，被控對象的數(shù)學(xué)模型可近似為一階慣性環(huán)節(jié)，時(shí)間常數(shù)為 當(dāng) 時(shí)，被控過

32、程數(shù)學(xué)模型可近似為 ，其時(shí)間常數(shù)為12/=0.46tt2( )/(1)G sKTs12()/4.36Ttt。 當(dāng) 時(shí)，被控過程數(shù)學(xué)模型應(yīng)用高于二階的環(huán)節(jié)近似，即 ，其時(shí)間常數(shù)為 。式中的n可根據(jù) 由下表查出。 n n1 12 23 34 45 56 68 8101012121414t t1 1/t/t2 20.32 0.32 0.46 0.46 0.53 0.53 0.58 0.58 0.62 0.62 0.65 0.65 0.680.685 50.71 0.71 0.730.735 5 0.75 0.75 12/0.46tt ( )/(1)nG sKTs12()/ 2.16Tttn12/tt

33、高階被控對象數(shù)學(xué)模型的階數(shù)高階被控對象數(shù)學(xué)模型的階數(shù) n 與與 的關(guān)系的關(guān)系12/tt1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 若用二階慣性加滯后環(huán)節(jié)近似上圖所示的階躍響應(yīng)曲線，靜態(tài)放大系數(shù)K仍直接計(jì)算。純滯后時(shí)間可根據(jù)階躍響應(yīng)曲線開始出現(xiàn)變化的時(shí)刻來確定，見下圖；然后在時(shí)間軸上截去純滯后，化為無量綱形式的階躍響應(yīng)y0(t)，利用上述方法計(jì)算出T1和T2。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 對于無自平衡過程，其階躍響應(yīng)如圖所示。無自平衡被控過程的階躍響應(yīng)隨時(shí)間t將無限增大，但其變化速度會(huì)逐漸趨于穩(wěn)定。 3. 由由階躍響應(yīng)曲線確定無自衡被控過

34、程數(shù)學(xué)模型的階躍響應(yīng)曲線確定無自衡被控過程數(shù)學(xué)模型的的特性參數(shù)的特性參數(shù)1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 20( ), ( )tan()y ttytt 若用式 來近似上圖的階躍響應(yīng)曲線，為了從曲線確定時(shí)間常數(shù)T，作階躍響應(yīng)曲線的漸近線，即穩(wěn)態(tài)部分的切線與時(shí)間軸交于t2，與時(shí)間軸的夾角為，如圖所示?？傻?0/ tanTxseTssG1)(則有： 這樣就得到了被控過程的傳遞函數(shù) 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 ( )/sG seTs 這個(gè)方法簡單，但在在t1A時(shí)間段誤差比較大。 從圖可看出，在 0 t1 之間，可取純滯后= t1。在

35、階躍響應(yīng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)后，主要是以積分作用為主，則有 在t1A時(shí)間段，慣性環(huán)節(jié)起主要作用，可取T2= t2-t1，則被控過程的傳遞函數(shù)為 sesTsTKsG) 1()(21 如果對時(shí)間段t1A有更高的精度要求，則可選高階環(huán)節(jié)作為被控過程的傳遞函數(shù)。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 10/ tanTx 階躍響應(yīng)法是辨識過程特性最常用的方法。如前所述，階躍響應(yīng)曲線的獲得是在過程正常輸入的基礎(chǔ)上再疊加一個(gè)階躍變化而成。如果實(shí)際生產(chǎn)不允許由較長時(shí)間和較大幅值的輸入變化，可以考慮采用矩形脈沖實(shí)驗(yàn)法來進(jìn)行。即在正常基礎(chǔ)上，給過程施加一個(gè)理想脈沖輸入，測取輸出量的變化曲線，并據(jù)此

36、估計(jì)過程參數(shù)。至于矩形脈沖的高低寬窄，可根據(jù)生產(chǎn)實(shí)際情況而定。 由于階躍響應(yīng)法比較簡單，因此，可在實(shí)驗(yàn)獲取矩形脈沖響應(yīng)曲線后，先將其轉(zhuǎn)換為階躍響應(yīng)曲線，然后再按照階躍響應(yīng)曲線法確定各個(gè)參數(shù)。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 如圖所示，矩形脈沖信號可以看成兩個(gè)極性相反、幅值相同、時(shí)間相差的階躍信號疊加而成。因此，其輸出響應(yīng)也是由兩個(gè)時(shí)間相差、極性相反、形狀完全相同的階躍響應(yīng)疊加而成。 在t=0之間，h1(t)=y(t)，階躍響應(yīng)曲線就是矩形脈沖響應(yīng)曲線。T后，h1(t)=y(t)+h1(t-)，某時(shí)刻時(shí)的階躍響應(yīng)數(shù)值h1(t)，就等于當(dāng)前時(shí)刻的脈沖響應(yīng)數(shù)值y(t)

37、加上時(shí)間以前的h1(t-) 。依次類推，即可把脈沖響應(yīng)曲線轉(zhuǎn)換為階躍響應(yīng)曲線。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 用階躍響應(yīng)法辨識被控過程數(shù)學(xué)模型的方法在工程實(shí)際中應(yīng)用最廣泛，也比較簡便有效。但是，相應(yīng)曲線法需要進(jìn)行專門的試驗(yàn)，生產(chǎn)過程需要由正常運(yùn)行狀態(tài)轉(zhuǎn)入偏離正常運(yùn)行的試驗(yàn)狀態(tài)，對生產(chǎn)的正常運(yùn)行或多或少會(huì)造成一定影響。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.4.2 頻域法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型頻域法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 用頻率特性測試法可得到被控過程的頻率特性曲線。其測試原理如圖所示，在所測過程的輸入端加入特定頻率的正弦信號，同

38、時(shí)記錄輸入和輸出的穩(wěn)定波形（幅度與相位），在所選定范圍的各個(gè)頻率重復(fù)上述測試，便可測得該被控過程的頻率特性。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 用正弦輸入信號測定頻率特性的優(yōu)點(diǎn)是能直接從記錄曲線上求得頻率特性。穩(wěn)態(tài)正弦激勵(lì)實(shí)驗(yàn)利用線性系統(tǒng)頻率保持性，即在單一頻率輸入時(shí)，系統(tǒng)的輸出也是單一頻率，而把系統(tǒng)的噪聲干擾及非線性因素引起輸出畸變的諧波分量都看作干擾，在實(shí)驗(yàn)過程中容易發(fā)現(xiàn)干擾的存在和影響。實(shí)驗(yàn)測量裝置應(yīng)能濾出與激勵(lì)頻率一致的正弦信號，顯示其響應(yīng)幅值與相對于激勵(lì)信號的相移，或者給出其同相分量及正交分量。通過測出被測過程通頻帶內(nèi)抽樣頻點(diǎn)的幅、相值，就可畫出Nyqu

39、ist圖或Bode圖，進(jìn)而獲得被控過程的傳遞函數(shù)。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1.4.3 統(tǒng)計(jì)相關(guān)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型統(tǒng)計(jì)相關(guān)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 利用統(tǒng)計(jì)相關(guān)分析法辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型可在正常運(yùn)行的生產(chǎn)過程中使用。 首先給被控過程輸入一種特殊的、對正常生產(chǎn)過程影響不大的隨機(jī)測試信號，通過對被控過程的輸入、輸出數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)分析得到被控過程的數(shù)學(xué)模型。 相關(guān)分析法的基本方法是：向被控過程輸入隨機(jī)信號x(t)，測量輸出信號y(t)，計(jì)算出輸入信號的自相關(guān)函數(shù)Rxx()和輸入信號與輸出信號的互相關(guān)函數(shù)Rxy() ；再通過Rxx()和Rxy() 求出被

40、控過程的沖激響應(yīng)g(t)，最后通過Laplace變換求出傳遞函數(shù)G(s)。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1. 有關(guān)隨機(jī)過程的基本概念有關(guān)隨機(jī)過程的基本概念 1) 隨機(jī)變量、隨機(jī)信號及隨機(jī)過程 在研究被控過程的特性時(shí)，常常需要進(jìn)行某種試驗(yàn)，如果試驗(yàn)重復(fù)多次，即使試驗(yàn)條件完全相同，每次觀測結(jié)果也會(huì)有所差別。對于這種現(xiàn)象，通常稱之為隨機(jī)現(xiàn)象或概率現(xiàn)象。 一般來說，在相同條件下重復(fù)觀測同一事件，若用X表示觀測數(shù)據(jù)x1,x2,xn，X會(huì)隨不同觀測而變化。這種變化是隨機(jī)的，沒有什么確定規(guī)則。但是，對于大量觀測來說，X的變化可能遵循某種概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律，則稱X為隨機(jī)變量。

41、1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 在圖中，x1(t)是隨時(shí)間隨機(jī)變化的信號，稱為隨機(jī)信號。同樣， x2(t) xn(t)都是隨機(jī)信號，用X(t)表示這一信號簇 x1(t), x2(t) xn(t) 。 X(t)不僅隨不同的觀測曲線有所不同，還會(huì)隨時(shí)間變化。將X(t)稱為隨機(jī)函數(shù)或隨機(jī)過程，把xi(t)稱為隨機(jī)過程的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 2) 隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)描述總體平均值和均方值 隨機(jī)過程一般只能用統(tǒng)計(jì)描述方法來刻畫它的數(shù)學(xué)特征。若有K個(gè)隨機(jī)信號實(shí)現(xiàn)，K又足夠大，就可以用隨機(jī)信號在t=T1時(shí)刻的總體平均值和總

42、體均方值來描述隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，即KiiTxKTx111)(1)(KiiTxKTx11212)(1)( 隨機(jī)信號的總體平均值和總體均方值，體現(xiàn)了隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 3) 各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程 如果隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性在各個(gè)時(shí)刻都不變，即有 )()()()()()(322212321TxTxTxTxTxTx這樣的隨機(jī)過程稱為平穩(wěn)隨機(jī)過程。 如果平穩(wěn)隨機(jī)過程在任一時(shí)刻的總體平均值與任意一個(gè)隨機(jī)信號的時(shí)間平均值相等，則稱其為各態(tài)歷經(jīng)的平穩(wěn)隨機(jī)過程。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 4) 自相關(guān)函數(shù)

43、與互相關(guān)函數(shù) 若信號x(t)在時(shí)刻t的值總是在一定程度上影響時(shí)刻t+的值x(t+)，則稱x(t)與x(t+)是相關(guān)的。一個(gè)信號的未來值與現(xiàn)在值之間的依賴關(guān)系，即相關(guān)程度可用“自相關(guān)函數(shù)”Rxx()來度量。 Rxx()定義如下： TTTxxdttxtxTR)()(21lim)( 兩個(gè)信號x(t)和y(t)之間的互相關(guān)函數(shù)Rxy()的定義如下： TTTxydttytxTR)()(21lim)(1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 5) 功率譜密度 信號x(t)的自相關(guān)函數(shù)Rxx()是對信號時(shí)域特性的描述，對于Rxx() （時(shí)間函數(shù)）進(jìn)行Fourier變換，就得到信號特性

44、的頻域描述。在Fourier變換中，考慮到Rxx()是的偶函數(shù)這一性質(zhì)，其變換結(jié)果事實(shí)上是的實(shí)函數(shù)。用Sxx()表示即為 dRSxxxxcos)()( Sxx()稱為信號x(t)的譜密度函數(shù)，或稱能量譜密度。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 6) 白噪聲 白噪聲具有特殊的物理性質(zhì)，是系統(tǒng)辨識中具有重要意義的激勵(lì)信號。白噪聲的定義是：如果平穩(wěn)隨機(jī)信號x(t)的能量譜密度Sxx()恒定不變，即常數(shù)，)(xxS則稱x(t)為白噪聲。 白噪聲信號只是理論抽象，實(shí)際并不存在。但是，當(dāng)某個(gè)實(shí)際隨機(jī)信號的頻帶遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于物理系統(tǒng)的頻帶，且在該物理系統(tǒng)的通頻帶內(nèi)實(shí)際信號的Sxx(

45、)幅值基本不變時(shí)，就可近似看作白噪聲信號。辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型時(shí)，若采用白噪聲作為輸入信號，將會(huì)使辨識的計(jì)算變得非常簡單。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 7) 偽隨機(jī)M序列 雖然采用白噪聲作為輸入信號辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型時(shí)，會(huì)使辨識工作變得非常簡單。但用物理方法產(chǎn)生白噪聲信號非常困難，因此人們就研究探討了另一種信號作為替代，這就是所謂的偽隨機(jī)二位式最大周期長度序列信號，簡稱M序列信號。人們研究發(fā)現(xiàn)，M序列信號的自相關(guān)函數(shù)比較接近函數(shù)，其統(tǒng)計(jì)特性也很接近白噪聲，而且容易產(chǎn)生。此外，用M序列信號作為過程辨識的輸入測試信號，具有抗干擾能力強(qiáng)、對系統(tǒng)正常運(yùn)行影響

46、小、接近于最佳測試信號等優(yōu)點(diǎn)。由于M序列信號是人為產(chǎn)生的，具有某些隨機(jī)信號的統(tǒng)計(jì)特性，故稱偽隨機(jī)信號。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 偽隨機(jī)二位式M序列信號（簡稱PRBS）具有下列特征： PRBS只有a兩個(gè)電平，正負(fù)電平切換總是發(fā)生在時(shí)間間隔t的整數(shù)倍上。此處t稱作碼元寬度，具體大小可根據(jù)被辨識系統(tǒng)的截止頻率確定。 PRBS是周期性信號，周期T=Nt ，N取奇整數(shù)。若PRBS為最大長度序列（M序列），則應(yīng)取N=2n-1，其中n為整數(shù)，N相應(yīng)是7，15，31等，稱為周期長度。n取不同數(shù)值，PRBS則有不同周期長度。在一個(gè)周期中，PRBS有(N+1)/2個(gè)碼元寬度

47、為“1”電平，另外(N-1)/2個(gè)碼元寬度為“0”電平。實(shí)際使用中，常將+a電平規(guī)定為“0”電平，-a電平規(guī)定為“1”電平。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 作為隨機(jī)序列信號，可能會(huì)接連出現(xiàn)若干個(gè)“0”或若干個(gè)“1”。我們把兩個(gè)“1”之間所夾的“0”的個(gè)數(shù)稱作“0”游程長度，兩個(gè)“0”之間所夾的“1”的個(gè)數(shù)稱作“1”游程長度。 對于PRBS M序列信號，游程個(gè)數(shù)和長度的規(guī)律是：每一個(gè)周期中，各種長度的游程總數(shù)為2n-1個(gè)，其中“1”游程的總個(gè)數(shù)與“0”游程總個(gè)數(shù)各占一半。長度為n的“1”游程和長度為n-1的“0”游程各有一個(gè)。長度為i的游程個(gè)數(shù)為2n-i-1個(gè)

48、，其中“1”游程個(gè)數(shù)和“0”游程個(gè)數(shù)各占1/2。 一旦掌握了游程個(gè)數(shù)和長度的出現(xiàn)規(guī)律，M序列的確定就只剩下各種長度的“1”游程和“0”游程怎么排列的問題了。因此，游程問題對于M序列信號的判斷和確定都十分重要。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 在實(shí)際應(yīng)用中，總把M序列的邏輯“0”和邏輯“1”變換成幅度為a和-a的序列，如下圖所示，該信號為111100010011010。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 M序列信號的自相關(guān)函數(shù)：tNtNatttNNaRxx) 1(11)(22其相應(yīng)圖形如下圖所示：由圖可見，若N夠大，t足夠小時(shí)，圖

49、中三角波的水平線與橫坐標(biāo)之間的距離將趨于零，自相關(guān)函數(shù)Rxx()就近似為理想脈沖，此時(shí)的M序列信號則近似于白噪聲。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 2. 相關(guān)函數(shù)法辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型的基本原理相關(guān)函數(shù)法辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型的基本原理 相關(guān)函數(shù)法辨識被控過程數(shù)學(xué)模型的基本依據(jù)是Wiener-Hopf方程。 duuRugduuRugRxxxxxy00)()()()()(這就是著名的Wiener-Hopf方程。 由Wiener-Hopf方程可知，只要知道輸入的自相關(guān)函數(shù)以及輸入和輸出之間的互相關(guān)函數(shù)，即可推求出被控過程的單位脈沖響應(yīng)g(t)。對g(t)進(jìn)行La

50、place變換，可求得被控過程的傳遞函數(shù)G(s)，也就辨識出了過程的數(shù)學(xué)模型。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 3. 3. 用白噪聲信號辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型用白噪聲信號辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型 用白噪聲信號作為被控過程的輸入，由于白噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)Rxx()=K()，將其代入Wiener -Hopf方程中可得 0)()()()(KgduuKugRxy即有)(1)(xyRKg 可見，只要在被控過程輸入端加上白噪聲試驗(yàn)信號，測取輸入與輸出之間的互相關(guān)函數(shù)Rxy()，由上式求取g(t)是很簡單的。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型

51、 3. 3. 用白噪聲信號辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型用白噪聲信號辨識被控過程的數(shù)學(xué)模型 Rxy()的測取方法是先對x(t)和 y(t)進(jìn)行采樣，然后按下式計(jì)算101( )nxyii niRnx yN 理論上要求N無窮大，實(shí)際中不可行。解決的方法是采用周期性的白噪聲。周期性白噪聲的Rxx()=K (-nT)是周期性函數(shù)。在周期白噪聲輸入下，互相關(guān)函數(shù)也是周期性的，其計(jì)算也只要在一個(gè)周期內(nèi)進(jìn)行就可以了。 如果周期白噪聲輸入信號的周期T足夠大，被測過程的脈沖響應(yīng)在一個(gè)周期內(nèi)可以衰減為零，在周期內(nèi)則有 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 )()(KgRxy 因此，采用周期白噪

52、聲作為輸入測試信號， Rxy()的計(jì)算顯得特別簡單。 采用周期白噪聲輸入信號雖然簡化了計(jì)算，但是，周期白噪聲的產(chǎn)生卻很困難。白噪聲本身是隨機(jī)信號，要使兩兩周期內(nèi)的信號形式和狀態(tài)完全相同，這幾乎是不可能的。所以，上述關(guān)于周期白噪聲作為輸入試驗(yàn)信號的討論，只有理論上的意義，并無實(shí)用價(jià)值。實(shí)際中常常采用的是二電平M序列偽隨機(jī)信號。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 4. 采用二電平采用二電平M序列偽隨機(jī)信號辨識數(shù)學(xué)模型序列偽隨機(jī)信號辨識數(shù)學(xué)模型1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1) M序列信號的產(chǎn)生 M序列信號可以用線性移位寄存器產(chǎn)生。

53、 如圖所示，將n個(gè)具有移位功能的觸發(fā)器連接成一排，組成移位寄存器。 圖中，每個(gè)方塊代表一級觸發(fā)器，可存放一位二進(jìn)制數(shù)“0”或“1”，并用Ci表示。在移位脈沖作用下，一排數(shù)碼C1, C2, , Cn都右移一位。每級的狀態(tài)經(jīng)過模2域求和后反饋第一級的輸入端并作為第一級的移位數(shù)碼輸入，而第n級Cn每移位一次輸出一個(gè)數(shù)碼。這樣，在移位脈沖作用下，就會(huì)在輸出端形成一個(gè)二位式序列。1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 在上圖中，F(xiàn)i表示各級是否參與反饋， Fi為“l(fā)”表示該級參與反饋， Fi為“0”表示不參與反饋。 Fi取不同的值，就組成不同的反饋邏輯，移位寄存器就有不同的二位

54、式序列輸出。 如下圖所示的四級移位寄存器，C3與C4作模2求和后輸入第一級的輸入端。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 A. 若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(0,0,0,0)時(shí)，在移位脈沖的激勵(lì)下，輸出序列為： 000000000000000000000 B. 若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(1,0,0,0)時(shí)，在移位脈沖的激勵(lì)下，輸出序列為： 000100110101111， 000100110101111， 000100110101111， 000100110101111， C. 若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(0,0,1,0)時(shí)，在

55、移位脈沖的激勵(lì)下，輸出序列為： 010011010111100， 010011010111100， 010011010111100， 010011010111100, D. 若(C1,C2,C3,C4)初始狀態(tài)為(1,1,1,1)時(shí)，在移位脈沖的激勵(lì)下，輸出序列為： 111100010011010， 111100010011010， 111100010011010， 111100010011010, 。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 除了初始狀態(tài)全為零時(shí)，輸出序列全為“0”之外，其余三種初始狀態(tài)的輸出序列順序每隔15位重復(fù)一次，構(gòu)成周期長度為15的周期序列；

56、在給定的反饋邏輯條件下，任一非零初始狀態(tài)所得到的一個(gè)序列都可以通過其它序列的平移得到。反饋組合邏輯不同，同樣級數(shù)的移位寄存器輸出序列周期長度不一樣。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 2) M序列信號有關(guān)參數(shù)的確定 產(chǎn)生M序列信號還需確定周期長度N、脈沖寬度t以及電平幅度a等參數(shù)，這幾個(gè)參數(shù)的確定原則如下： 脈沖寬度（碼元寬度、步長） t的確定，一般取t =(23) C， C為被測過程的截止周期。也可根據(jù)被測過程的頻帶寬度確定。 N的確定，N應(yīng)根據(jù)被測過程的過渡過程時(shí)間ts而定。只有使M序列信號周期T大于ts ，才能保證一個(gè)周期內(nèi)計(jì)算所得的Rxx()具有足夠的準(zhǔn)

57、確度。因此，一般取N t=(1.21.5) ts。 電平幅度a的確定，a的大小應(yīng)根據(jù)被測過程的動(dòng)態(tài)線性范圍以及生產(chǎn)工藝要求而定，a的最大幅值不應(yīng)超過被測過程的線性變化范圍。在此基礎(chǔ)還要考慮生產(chǎn)工藝允許的輸出偏離大小。在二者均滿足的前提下，電平幅度a應(yīng)盡量大一些，以便盡可能提高輸出測量的準(zhǔn)確度。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 利用相關(guān)函數(shù)法辨識過程的數(shù)學(xué)模型，主要是依據(jù)Wiener-Hopf方程，通過求取相關(guān)函數(shù)，計(jì)算出被測過程的脈沖響應(yīng)，從而得到數(shù)學(xué)模型。3) 根據(jù)試驗(yàn)測試數(shù)據(jù)辨識過程的數(shù)學(xué)模型1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型

58、 在被測過程正常運(yùn)行情況下進(jìn)行試驗(yàn)辨識時(shí)，施加在過程輸入端的信號是M序列信號與正常運(yùn)行輸入的疊加，過程輸出也相應(yīng)為M序列信號正常運(yùn)行輸入引起的輸出與引起的輸出的疊加。由Wiener-Hopf方程可得： 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 00011( )( ) ()( ) () ( ) ()TN txyNiRx t y tdtx t y tdtTN tasign x iy i tN 0)(10)(1)(ixixixsign式中tNxyxydRtxNaxaRtaNNg02)()()()() 1()( 式中，Rxy()是M序列信號與被測過程的總輸出之間的互相關(guān)函數(shù)。根

59、椐下式計(jì)算Rxy() 再根據(jù)下式求取被測過程的單位脈沖響應(yīng) 最后對上式取Laplace反變換即可確定出被測過程的傳遞函數(shù)模型。 tNxyxydRtxNaxaRtaNNg02)()()()() 1()(1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 1. 線性系統(tǒng)描述線性系統(tǒng)描述 對于一個(gè)單輸入、單輸出（SISO）線性定常系統(tǒng)，可以用連續(xù)時(shí)間模型描述，如微分方程、傳遞函數(shù)；也可用離散時(shí)間模型來描述，如差分方程、脈沖傳遞函數(shù)。 如果對被控過程的連續(xù)輸入信號u(t)、輸出信號y(t)進(jìn)行采樣，則可得到一組輸入序列u(k)和輸出序列z(k)，輸入序列和輸出序列之間的關(guān)系可用下面的差分

60、方程進(jìn)行描述（不考慮純滯后）： 1.4.4 最小二乘法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型最小二乘法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)模型 上式中，k為采樣次數(shù)；u為被控過程輸入序列；y為被控過程輸出序列；n為模型階數(shù)；a1,a2,an和b1,b2,bn為常系數(shù)。 被控過程建模（辨識）的任務(wù)，一是確定模型的結(jié)構(gòu)，即確定模型的階數(shù)n和滯后（在差分方程中用表示d ，d= /T ，T為采樣周期）；二是確定模型結(jié)構(gòu)中的參數(shù)。最小二乘法是在n和已知的前提下，根據(jù)輸入、輸出數(shù)據(jù)推算模型參數(shù)a1,a2,an及b1,b2,bn常用的方法之一。 1.4 實(shí)驗(yàn)法建立被控對象的數(shù)學(xué)