精選習(xí)題線性微分方程組

1、第五章 線性微分方程組研究對象 一階線性微分方程組1 基本概念1）一階微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)型含有個未知函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)的微分方程組 （5.1）稱為一階微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)型，其中是定義在維空間的某區(qū)域內(nèi)已知的連續(xù)函數(shù)，是自變量。2）初值問題求滿足方程組（5.1）及初值條件的解的問題稱為一階微分方程組的初值問題（或柯西問題）。表示如下及。3）通解方程組（5.1）含有個獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱為它的通解。4)高階線性方程與一階方程組等價階線性微分方程的初值問題其中是區(qū)間上確定的函數(shù)，是確定的常數(shù)，它的解為。只要令，它可以化為下列一階線性微分方程組的初值問題，其中，并且它的解為。 同時，給定其中一個初值問題的解

2、，就可構(gòu)造另一個初值問題的解，在這個意義下，稱上面兩個初值問題是等價的。5）一階線性微分方程組若（5.1）中函數(shù)關(guān)于是線性的，即 （5.2）則稱（5.2）為一階線性微分方程組，簡稱為線性方程組，其中在區(qū)間上連續(xù)。6) 線性方程組的向量表示方程組（5.2）的向量形式為 （5.3）其中，。在方程組（5.3）中，若，則有 （5.4）稱（5.4）為線性齊次方程組，否則稱（5.3）為線性非齊次方程組，7) 向量函數(shù)組的線性相關(guān)和線性無關(guān)定義在區(qū)間上的維向量函數(shù)，如果存在個不全為零的常數(shù)，使得在區(qū)間上成立，則稱這個向量函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，否則稱線性無關(guān)。8) 向量函數(shù)組的朗斯基行列式設(shè)是個向量函數(shù)，以

3、作為第列所構(gòu)成的矩陣記為，將其行列式稱為向量函數(shù)組的朗斯基行列式，記為。9）基本解組和基本解矩陣若是線性齊次方程組（5.4）的個線性無關(guān)解，那么稱是它的一個基本解組，并稱矩陣為方程組（5.4）的基本解矩陣，簡稱基本解矩陣。2 基本定理及性質(zhì)定理5.1 如果矩陣函數(shù)及向量函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則對上任一點(diǎn)以及任意給定的，初值問題在區(qū)間內(nèi)存在唯一的解。定理5.2（線性齊次方程組的疊加原理）設(shè)是線性齊次方程組（5.4）的個解，則也是（5.4）的解，其中是任意常數(shù)，即線性齊次方程組的任意有限個解的任意線性組合仍為該方程組的解。定理5.3 如果向量函數(shù)組在區(qū)間上線性相關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上恒等于零

4、。推論5.1 如果向量函數(shù)組的朗斯基行列式在區(qū)間上的某一點(diǎn)不等于零，即，則該向量函數(shù)組在區(qū)間上線性無關(guān)。定理5.4 如果方程組（5.4）的個解在其定義區(qū)間上線性無關(guān)，則它們的朗斯基行列式在區(qū)間上處處不為零。推論5.2 方程組（5.4）的個解在其定義區(qū)間上線性無關(guān)的充要條件是它們的朗斯基行列式在區(qū)間上處處不為零。定理5.5 線性齊次方程組（5.4）存在并且至多存在個線性無關(guān)的解。定理5.6（劉維爾公式） 若是線性齊次方程組（5.4）的個解，則這個解的伏朗斯基行列式與方程組（5.4）的系數(shù)有如下關(guān)系式。定理5.7（線性齊次方程組通解結(jié)構(gòu)）如果向量函數(shù)組是線性齊次方程組（5.4）的個線性無關(guān)解，則方

5、程組（5.4）的任一解均可表示為 ，這里是個相應(yīng)的常數(shù)。結(jié)論1（線性齊次方程組通解結(jié)構(gòu)的矩陣表示）線性齊次方程組（5.4）的通解為，其中為（5.4）的基本解矩陣，為任意常向量。性質(zhì)5.1 如果是線性非齊次方程組（5.3）的解，而是其對應(yīng)線性齊次方程組（5.4）的解，那么是線性非齊次方程組（5.3）的解。性質(zhì)5.2 線性非齊次方程組（5.3）的任意兩個解的差是其對應(yīng)線性齊次方程組（5.4）的解。定理5.8（非齊次方程組通解結(jié)構(gòu)）線性非齊次方程組（5.3）的通解等于其對應(yīng)的齊次線性方程組（5.4）的通解與其自身的一個特解之和，即若是線性非齊次方程組（5.3）的一個特解，是線性齊次方程組（5.4）的

6、個線性無關(guān)的解，則就是（5.3）的通解。結(jié)論2（線性非齊次方程組通解結(jié)構(gòu)的矩陣表示）線性非齊次方程組（5.3）的通解為，其中為（5.4）的基本解矩陣，為任意常向量，是非齊次線性方程組（5.3）的一個特解。結(jié)論3 （常數(shù)變易公式）如果是線性齊次方程組（5.4）的基本解矩陣，則線性非齊次方程組（5.3）滿足初始條件的特解由下面公式給出其中表示矩陣的逆矩陣。注意：利用常數(shù)變易法可求線性非齊次方程組（5.3）的一個特解。定理5.9 給定常系數(shù)線性方程組，那么a)如果的特征值的實(shí)部都是負(fù)的，則方程組的任一解當(dāng)時都趨于零。b) 如果的特征值的實(shí)部都是非正的，且實(shí)部為零的特征值都是簡單特征值，則方程組的任一

7、解當(dāng)時都保持有界。c) 如果的特征值至少有一個具有正實(shí)部，則方程組至少有一解當(dāng)時趨于無窮。3 基本求解方法1）常數(shù)變易法第一步：確定線性非齊次微分方程組（5.3）對應(yīng)的線性齊次方程組（5.4）的通解。若方程組（5.4）的基本解矩陣為，則（5.4）的通解為。第二步：設(shè)（5.3）有形如的解，為待定的向量函數(shù)。第三步：確定向量函數(shù)。將代入方程（5.3），有，因?yàn)榉匠探M（5.4）基本解矩陣，則有，所以上式為，即 ，積分得其中取，所以得到方程組（5.3）滿足初始條件的解為。第四步：求線性非齊次方程組（5.3）的通解。 由結(jié)論2，方程組（5.3）的通解可表示為。第五步：求線性非齊次方程組（5.3）滿足初始

8、條件的解。將初始條件代入通解表達(dá)式中得，故方程組（5.3）滿足初始條件的解為。2）常系數(shù)線性齊次方程組的解法若（5.4）中系數(shù)矩陣為常矩陣，則稱其為常系數(shù)線性齊次方程組，記為 （5.5）由齊次方程組通解結(jié)構(gòu)定理5.7和結(jié)論1，求解常系數(shù)線性齊次方程組的關(guān)鍵在于求它的基本解矩陣。定理5.10 矩陣函數(shù)是常系數(shù)線性方程組（5.5）的基本解矩陣，且?；窘饩仃嚨奶攸c(diǎn)：a) 基本解矩陣是標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣，即滿足。b) 若系數(shù)矩陣為實(shí)矩陣，則是實(shí)基本解矩陣，且任一基本解矩陣與有關(guān)系成立。 定理5.10給出了常系數(shù)線性齊次方程組（5.5）的基本解矩陣的構(gòu)造形式，具體解題時要計算矩陣級數(shù)相當(dāng)困難。下面給出計算

9、基本解矩陣的常用方法。基本解矩陣的計算方法方法1空間分解法定理5.11 如果矩陣具有個線性無關(guān)的特征向量，對應(yīng)特征值（不必各不相同），則矩陣是方程組（5.5）的一個基本解矩陣。特別地，有下面重要結(jié)論 結(jié)論4若矩陣有個互異的特征值，是對應(yīng)于的特征向量，則必線性無關(guān)，且矩陣是方程組（5.5）的基本解矩陣。更一般地，基于代數(shù)學(xué)中的空間分解定理，給出基本解矩陣的計算方法。設(shè)是的相異特征值，它們的重數(shù)分別為，且，對于每一個重特征值，線性代數(shù)方程組具有個線性無關(guān)的解，（稱為矩陣對應(yīng)于的廣義特征向量），因而方程組的解的全體構(gòu)成一個維子空間，并且維線性空間可以表示為這些子空間的直和，即對任一向量，存在唯一的，

10、使得。定理5.12 方程組（5.5）滿足初始條件的解可表示為其中是的相異特征值，它們的重數(shù)分別為，而是維線性空間的直和分解，即。利用定理5.12求基本解矩陣的步驟： 步驟1 求特征根解代數(shù)方程組。假如求得的相異特征值為，它們的重數(shù)分別為，。步驟2 對維線性空間進(jìn)行直和分解 分別求解方程組，得到對應(yīng)的個線性無關(guān)的向量 ，由所張成的線性子空間，記為，則有 。步驟3 在維線性空間 中的表示 由于線性無關(guān)，方程組有唯一的解，。這樣就得到了，。步驟4計算標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣令 ，利用公式分別求得，則方程組（5.5）的基本解矩陣為特別當(dāng)矩陣只有一個特征值時。方法2 待定系數(shù)法定理5.13 如果有相異特征值為，它

11、們的重數(shù)分別為，則方程組（5.5）存在個形如，（）的線性無關(guān)解，其中（）為的次數(shù)不高于的多項(xiàng)式，取遍所有的就得到方程組（5.5）的一個基本解組。具體確定這個基本解組的方法是步驟1 求特征根解代數(shù)方程組。假如求得的相異特征值為，它們的重數(shù)分別為，。步驟2 根據(jù)定理5.13，設(shè)出方程組（5.5）的形式解對于每個，方程組（5.5）有下列形式的解，步驟3 確定待定系數(shù)將代入方程組（5.5），有即比較的同次冪系數(shù)，可得到關(guān)于待定系數(shù)（）的個等式。但注意到上式右端次數(shù)比左端要低一次，且是的重特征根，我們并不能得到個無關(guān)的等式。由代數(shù)知識可證所有個系數(shù)可以通過其中個來表示。 設(shè)為依次令就可得到方程組（5.5

12、）的個線性無關(guān)的解。 取遍所有的就得到方程組（5.5）的個線性無關(guān)的解，構(gòu)成方程組（5.5）一個基本解組。方法3 約當(dāng)(Jordan)標(biāo)準(zhǔn)型法結(jié)論5 方程組的基本解矩陣為其中，是階的若當(dāng)塊，而為矩陣的初等因子的個數(shù)，為矩陣的特征根，為階非奇異矩陣，使得，。注：矩陣中空白的地方為零，稱為過渡矩陣。方法4遞推法結(jié)論6 方程組的基本解矩陣為其中，是下列初值問題，的解，是矩陣特征值（不必相異）。方法5 拉普拉斯變換法記向量函數(shù)的拉普拉斯變換為，對方程（5.5）兩端進(jìn)行拉普拉斯變換，得的代數(shù)方程組，求解得，再求逆變換，此即為方程組（5.5）滿足初始條件的解。我們依次取初始條件為就得到方程組（5.5）個線

13、性無關(guān)的解，從而構(gòu)成它的一個基本解組，也是標(biāo)準(zhǔn)基本解矩陣。方法6 消元法借助于方程組和高階方程的關(guān)系，將原方程組的求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于某一個變量的高階方程的求解問題來計算出基本解矩陣。注意：以上求基本解矩陣的6種方法各具特色，一般情況下，如果特征根是互不相同的單根時，可應(yīng)用結(jié)論4來計算；如果有重特征根，且系數(shù)矩陣的階數(shù)較低時可選擇空間分解法（定理5.12）、待定系數(shù)法（定理5.13）、約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型法（結(jié)論5）、遞推法（結(jié)論6）之一即可，但當(dāng)系數(shù)矩陣的階數(shù)較高時，建議采用空間分解法或遞推法比較方便；至于拉普拉斯變換法和消元法一般針對的是比較特殊的方程，特別是對線性非齊次方程也適用。3）常系數(shù)線性非齊次微分方程組的解法常系數(shù)線性非齊次微分方程組可表示為 （5.