第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)

1、第四章 二階線性偏微分方程的分類與總結(jié)§1 二階方程的分類1 證明兩個(gè)自變量的二階線性方程經(jīng)過可逆變換后它的類型不會改變，也就是說，經(jīng)可逆變換后的符號不變。證：因兩個(gè)自變量的二階線性方程一般形式為經(jīng)可逆變換 化為 其中 所以 因，故與同號，即類型不變。2 判定下述方程的類型 （1） （2） （3） （4） (5) 解：(1)因 當(dāng)時(shí)或時(shí)。即在坐標(biāo)軸上方程為拋物型，其余處為雙曲型。 （2）因 ，在直線上，為拋物型，其余處，為橢圓型。 （3）因在坐標(biāo)軸上，為拋物型；在一，三象限中，為橢圓型；在二，四象限中，為雙曲型。 （4）因在坐標(biāo)軸上，為雙曲型；在一，三象限內(nèi)，為拋物型；在二，四象限內(nèi)

2、，為雙曲型。 （5）因?qū)?yīng)二次型為相應(yīng)對稱矩陣為其特征方程為記 經(jīng)計(jì)算得：說明的三個(gè)特征值分別在區(qū)間中，故方程為雙曲型的。3 化下列方程為標(biāo)準(zhǔn)形式（1）（2）（3）（4）（5） 解：（1） 因 ，方程為橢圓型。特征方程為解之得 因此引變換 有 代入化簡即得：因 ,方程為拋物型.特征方程為解之得因此引變換有代入化簡即得 (3) 因當(dāng)y<0為雙曲型.特征方程為解之得因此引變換 有代入化簡得當(dāng)y=0為拋物線型,已是標(biāo)準(zhǔn)形式.當(dāng)y>0為橢圓形.特征方程為,解之得因此引變換有代入化簡得(4) 因?yàn)殡p曲型.特征方程為解之得因此引變換有代入化簡得 (5) 因?yàn)闄E圓形。特征方程為即解之得因此引變換

3、有代入化簡得4.證明兩個(gè)自變量的二階常系數(shù)雙曲型方程或橢圓型方程一定可以經(jīng)過自變量的變換及函數(shù)變換將它化成的形式. 證:已知可通過某個(gè)可逆變換將雙曲型或橢圓型化為標(biāo)準(zhǔn)型其中a,b,c當(dāng)原方程為常系數(shù)時(shí)為常數(shù).再令 )有代入方程得因不等于零,且取,消去得記,即得所求.§2 二 階 方 程 的 特 征 理 論1、 求下列方程的特征方程和特征方向解：特征方程 又 所以 引實(shí)參數(shù)得特征方向?yàn)樘卣鞣匠?又 所以 即任一點(diǎn)特征方向與軸交角為。特征方程 又 所以 引實(shí)參數(shù)得特征方向?yàn)?、證明經(jīng)過可逆的坐標(biāo)變換，原方程的特征曲面變?yōu)榻?jīng)變換后的新方程的特征曲面，即特殊性征曲面關(guān)于可逆坐標(biāo)變換具有不變性

4、。證：討論的是二階線性方程它的特征曲面的法矢量滿足對任一可逆的坐標(biāo)變換：將求導(dǎo)式 代入原方程，得關(guān)于的方程：交換求和次序，簡寫二次求導(dǎo)以下的項(xiàng)，得設(shè)它的特征曲面為則其法向滿足：另一方面對原方程的特征曲面經(jīng)同樣變換得特征曲面為：從 代入所滿足的方程得 由（1），（2）知即經(jīng)可逆坐標(biāo)變換后特征曲面不變。3 證二階偏微分方程解的階弱間斷（即直至階導(dǎo)數(shù)為連續(xù)，階導(dǎo)數(shù)間斷）也只可能沿著特征發(fā)生。 證：二階線性偏微分方程階弱間斷解沿發(fā)生這個(gè)問題與下面的提法相當(dāng):如果在上給定了函數(shù)及其所有直到階導(dǎo)數(shù)的值(應(yīng)不相矛盾),能不能利用這些值以及方程:來唯一確定的階偏導(dǎo)數(shù)在上的數(shù)值。易見,如果能夠唯一地確定的階導(dǎo)數(shù)

5、之值，則就不能為階弱間斷面?，F(xiàn)用反正法。設(shè)階偏導(dǎo)數(shù)間斷在上發(fā)生，為非特征曲面,即引入新變量代替,即且使,而當(dāng)時(shí)得恰為曲面的參數(shù)表示.。這時(shí)有代入原方程得關(guān)于的方程或 其中省略的項(xiàng)僅含有的一階偏導(dǎo)數(shù),二階內(nèi)導(dǎo)數(shù)以及的只含有一次外導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。在上,因,由假定由此得 在此式兩邊對求階導(dǎo)數(shù)得其中右邊省略號僅含有的直到階的偏導(dǎo)數(shù),以及的直到階但上導(dǎo)數(shù)最多到階的偏導(dǎo)數(shù).因此右邊的項(xiàng)在上為已知,從而由此等式知的階偏導(dǎo)數(shù)也唯一確定,與假定矛盾,即得所證。4、 試定義階線性偏微分方程的特征方程、特征方向和特征曲面。解：個(gè)自變量的階線性偏微分方程一般形式為以上僅寫出最高階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。設(shè)有空間曲面成為（1）的某個(gè)弱間

6、斷解的某個(gè)間斷面，我們就定義此曲面為（1）的特征曲面，其法線方向?yàn)樘卣鞣较?，該曲面所滿足的方程（條件）為特征方程。 下面來推導(dǎo)特征曲面滿足的條件。與二階類似，弱間斷解與以下問題相當(dāng)：在上給定及其階偏導(dǎo)數(shù)的值。能不能利用這些值以及方程（1）來唯一決定的階偏導(dǎo)數(shù)的值。 為此引入新變量使，使，而當(dāng)時(shí)為曲面的參數(shù)式。設(shè)此變換為則有一般地其中省略號中僅含有低于對的n階偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)。代入（1）式得u關(guān)于的方程由此知當(dāng)在G上=時(shí)，u對的n 階外導(dǎo)數(shù)唯一確定，因此不可能產(chǎn)生間斷。因此弱間斷面必須滿足此既G應(yīng)滿足的條件。滿足此條件的曲面G叫做特征曲面，其法線方向叫做特征方向，記代入上式，得特征應(yīng)滿足的條件：叫做特

7、征方程。 §3 三類方程的比較 1試回顧以前學(xué)過的求解偏微分方程定解問題的諸方法，并指出迭加原理在哪里被用到。解：1. 將非齊次方程定解問題化為一個(gè)齊次方程定解問題和一個(gè)非齊次方程但有零初始條件的問題。它利用了線性方程可迭加原理 2齊次化原理。它實(shí)質(zhì)上也利用了線性方程可迭加的原理 3分離變量法。它很大一部分利用迭加的原理 4行波法解一維波動方程 5平均值法三維波動方程柯西問題 6降維法解二維波動方程柯西問題 7富里埃變換法 8格林函數(shù)法解拉普拉斯方程的邊值問題。2 證明熱傳導(dǎo)方程混合問題的解關(guān)于自變量x（0<x<l）和t（ t >0） 可進(jìn)行任意次微分。證

8、：由分離變量法知，這個(gè)混合問題的解為當(dāng)有界可積時(shí)，有界，此時(shí)級數(shù)在0<x<l, t時(shí)絕對且一致收斂。要證解關(guān)于自變量x和t可進(jìn)行任意次微分，只需證明級數(shù)在號下逐項(xiàng)微分任意次，既只需證明級數(shù)在逐項(xiàng)微分任意次后仍是絕對一致收斂既可。設(shè)對t微分次，對x微分次，需要證級數(shù)絕對且一致收斂。當(dāng)，級數(shù)以為優(yōu)級數(shù)。用比值法，易證此優(yōu)級數(shù)收斂。因此原級數(shù)絕對收斂且一致收斂。得證。 3 舉例說明弦振動方程不成立極值原理。解： 函數(shù)滿足它在邊界t=0,x=0,x=上為零，內(nèi)部不為零。因此與熱傳導(dǎo)混合問題類似的極值原理不存在。對柯西問題：解為 但在邊界t=0，u為零。因而不成立極值原理。4. 若曲線s將區(qū)

9、域分成與兩部分，函數(shù)u(x,y)在內(nèi)分別二次連續(xù)可微，且滿足拉普拉斯方程u=0，又u在s上一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，試證明函數(shù)u(x,y)在s上也具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且滿足方程u=0。證：由題設(shè)在內(nèi)分別二次連續(xù)可微，知在上沿的切線方向有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)以及不與切線方向相同的任一方向有二階“單側(cè)”偏導(dǎo)數(shù)存在。因而要證在上有二次連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，只需證在不與切線方向相同的兩個(gè)相反方向上，的兩個(gè)二階“單側(cè)”偏導(dǎo)數(shù)相等即可。為此，設(shè)曲線的方程，適當(dāng)光滑，在s上任取一點(diǎn)，在此點(diǎn)鄰近作可逆變換使，且時(shí)使。恰好為曲線s： （x，y）=0的參數(shù)方程。在這個(gè)變換下所求的二階“單側(cè)”偏導(dǎo)數(shù)，就變成在 的兩側(cè)，u對 的二階“單側(cè)”偏導(dǎo)數(shù) 。設(shè)對變量 ，而言，方程=0變?yōu)閡= （*）其中右端未寫出的項(xiàng)，包含u的二階和低二階且關(guān)于不高于一階的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，因=0是橢圓型的，故方程（*）仍為橢圓型方程，它沒有實(shí)特特征線。因此，在=0（即 （x，y）=0，相當(dāng)于s）上給定u、u的一階偏導(dǎo)數(shù)，以及u關(guān)于的二階偏導(dǎo)數(shù)（相當(dāng)于沿s切線方向的二階偏導(dǎo)數(shù)），和關(guān)于，的混合偏導(dǎo)數(shù)，就由方程（*）唯一地確定出u在=0上的值。另外，在=0兩側(cè)，u沿方向以及沿相反方向的兩個(gè)二階“單側(cè)”偏導(dǎo)數(shù)也分別滿足方程（*）。由假設(shè)知方程（*）