第四章不定積分

1、第四章不定積分教學(xué)目的：1、 理解原函數(shù)概念、不定積分的概念。2、 掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的性質(zhì)，掌握換元積分法（第一，第二）與分部積分法。3、 會(huì)求有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式和簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分。教學(xué)重點(diǎn)：1、 不定積分的概念；2、 不定積分的性質(zhì)及基本公式；3、 換元積分法與分部積分法。教學(xué)難點(diǎn)：1、 換元積分法；2、 分部積分法；3、 三角函數(shù)有理式的積分。§4. 1 不定積分的概念與性質(zhì)一、原函數(shù)與不定積分的概念定義1如果在區(qū)間I上,可導(dǎo)函數(shù)F(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),即對(duì)任一xÎI,都有F¢(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,那么函數(shù)

2、F(x)就稱為f(x)(或f(x)dx)在區(qū)間I上的原函數(shù).例如因?yàn)?sin x)¢=cos x,所以sin x是cos x的原函數(shù).又如當(dāng)xÎ(1,+¥)時(shí),因?yàn)?所以是的原函數(shù).提問(wèn): cos x和還有其它原函數(shù)嗎？原函數(shù)存在定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù),那么在區(qū)間I上存在可導(dǎo)函數(shù)F(x),使對(duì)任一xÎI都有F¢(x)=f(x).簡(jiǎn)單地說(shuō)就是:連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).兩點(diǎn)說(shuō)明:第一,如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有原函數(shù)F(x),那么f(x)就有無(wú)限多個(gè)原函數(shù),F(x)+C都是f(x)的原函數(shù),其中C是任意常數(shù).第二,f(x)的任意兩個(gè)原函

3、數(shù)之間只差一個(gè)常數(shù),即如果F(x)和F(x)都是f(x)的原函數(shù),則F(x)-F(x)=C (C為某個(gè)常數(shù)).定義2 在區(qū)間I上,函數(shù)f(x)的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù)稱為f(x)(或f(x)dx )在區(qū)間I上的不定積分,記作.其中記號(hào)稱為積分號(hào),f(x)稱為被積函數(shù),f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量.根據(jù)定義,如果F(x)是f(x)在區(qū)間I上的一個(gè)原函數(shù),那么F(x)+C就是f(x)的不定積分,即.因而不定積分可以表示f(x)的任意一個(gè)原函數(shù).例1. 因?yàn)閟in x是cos x的原函數(shù), 所以.因?yàn)槭堑脑瘮?shù), 所以.例2. 求函數(shù)的不定積分.解：當(dāng)x>0時(shí), (ln x)&#

4、162;, (x>0); 當(dāng)x<0時(shí), ln(-x)¢, (x<0). 合并上面兩式, 得到(x¹0). 例3 設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2),且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍,求此曲線的方程.解設(shè)所求的曲線方程為y=f(x),按題設(shè),曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率為y¢=f¢(x)=2x, , 即f(x)是2x的一個(gè)原函數(shù).因?yàn)?故必有某個(gè)常數(shù)C使f(x)=x 2+C,即曲線方程為y=x 2+C.因所求曲線通過(guò)點(diǎn)(1, 2),故2=1+C,C=1.于是所求曲線方程為y=x2+1.積分曲線:函數(shù)f(x)的原函數(shù)的圖形稱為f(x

5、)的積分曲線.從不定積分的定義,即可知下述關(guān)系:,或;又由于F(x)是F¢(x)的原函數(shù),所以,或記作.由此可見(jiàn),微分運(yùn)算（以記號(hào)d表示）與求不定積分的運(yùn)算（簡(jiǎn)稱積分運(yùn)算,以記號(hào)表示）是互逆的.當(dāng)記號(hào)與d連在一起時(shí),或者抵消,或者抵消后差一個(gè)常數(shù).二、基本積分表(1)(k是常數(shù)),(2),(3),(4),(5),(6),(7),(8),(9),(10),(11),(12),(13),(14),(15).例4 .例5 .例6 .三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1 函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和,即.這是因?yàn)? =f(x)+g(x).性質(zhì)2 求不定積分時(shí),被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以

6、提到積分號(hào)外面來(lái),即(k是常數(shù),k¹0).例7. .例8 .例9 .例10 .例11 .例12 .例13 = tan x-x+C.例14 .例15 .§4. 2 換元積分法一、第一類換元法設(shè)f(u)有原函數(shù)F(u), u=j(x),且j(x)可微,那么,根據(jù)復(fù)合函數(shù)微分法,有dFj(x) =dF(u)=F¢(u)du= F¢j(x) dj(x)= F ¢j(x) j¢(x)dx,所以F ¢j(x)j¢(x)dx= F¢j(x) dj(x)= F¢(u)du= dF(u)=dFj(x) ,因此.即

7、=F(u)+C u=j(x) = Fj(x)+C.定理1設(shè)f(u)具有原函數(shù),u=j(x)可導(dǎo),則有換元公式.被積表達(dá)式中的dx可當(dāng)作變量x的微分來(lái)對(duì)待,從而微分等式j(luò)¢(x)dx=du可以應(yīng)用到被積表達(dá)式中.在求積分時(shí),如果函數(shù)g(x)可以化為g(x)= fj(x)j¢(x)的形式,那么.例1. =sin 2x+C.例2. .例3. .例4. .例5. =-ln|cos x|+C.即.類似地可得.熟練之后,變量代換就不必再寫(xiě)出了.例6. .即.例7. .例8. 當(dāng)a>0時(shí), .即.例9. .即.例10. .例11. .含三角函數(shù)的積分:例12. .例13. . 例1

8、4. .例15. .例16. .例17. =ln |csc x-cot x |+C .即=ln |csc x-cot x |+C .例18. =ln |sec x+ tan x | +C.即=ln |sec x+ tan x | +C.二、第二類換元法定理2 設(shè)x=j(t)是單調(diào)的、可導(dǎo)的函數(shù),并且j¢(t)¹0.又設(shè)f j(t)j¢(t)具有原函數(shù)F(t),則有換元公式.其中t=j-1(x)是x=j(t)的反函數(shù).這是因?yàn)?例19. 求(a>0).解: 設(shè)x=a sin t,那么,dx=a cos td t,于是.因?yàn)? ,所以.解: 設(shè)x=a sin t

9、,那么.提示:,dx=acos tdt.提示: , .例20. 求(a>0).解法一:設(shè)x=a tan t,那么=a sec t,dx=a sec 2tdt,于是= ln |sec t+ tan t |+C.因?yàn)?所以= ln |sec t+ tan t |+C,其中C 1=C-ln a.解法一:設(shè)x=a tan t,那么=ln|sect+tant|+C,其中C 1=C-ln a.提示:=asect,dx=a sec 2tdt,提示:,.解法二: 設(shè)x=a sh t,那么,其中C 1=C-ln a.提示: =a ch t,dx=a ch tdt.例23. 求(a>0).解: 當(dāng)x&

10、gt;a時(shí),設(shè)x=a sec t (),那么=a tan t,于是= ln |sec t+ tan t |+C.因?yàn)?所以= ln |sec t+ tan t |+C,其中C 1=C-ln a.當(dāng)x<a時(shí),令x=-u,則u>a,于是,其中C 1=C-2ln a.綜合起來(lái)有.解: 當(dāng)x>a時(shí),設(shè)x=a sec t (),那么,其中C 1=C-ln a.當(dāng)x<-a時(shí),令x=-u,則u>a,于是,其中C 1=C-2ln a.提示:=atant.提示:,.綜合起來(lái)有.補(bǔ)充公式:(16),(17),(18),(19),(20),(21),(22),(23),(24).

11、67;4. 3 分部積分法設(shè)函數(shù)u=u(x)及v=v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù).那么,兩個(gè)函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式為(uv)¢=u¢v+uv¢,移項(xiàng)得uv¢=(uv)¢-u¢v.對(duì)這個(gè)等式兩邊求不定積分,得, 或,這個(gè)公式稱為分部積分公式.分部積分過(guò)程:.例1 =x sin x-cos x+C.例2 .例3 =x2ex-2xex+2ex+C=ex(x2-2x+2 )+C.例4 .例5 .例6 .例7 求.解因?yàn)?所以.例8 求.解因?yàn)?所以.例9 求,其中n為正整數(shù).解;當(dāng)n>1時(shí)，用分部積分法,有,即,于是 .以此作為遞推公式,并由即可得.

12、例10 求.解令x=t 2,則,dx=2tdt.于. 第一換元法與分部積分法的比較:共同點(diǎn)是第一步都是湊微分,.哪些積分可以用分部積分法？, , ;,;,.,. §4. 4 幾種特殊類型函數(shù)的積分一、有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的形式:有理函數(shù)是指由兩個(gè)多項(xiàng)式的商所表示的函數(shù),即具有如下形式的函數(shù): ,其中m和n都是非負(fù)整數(shù); a0,a1,a2,×××,an及b0,b1,b2,×××,bm都是實(shí)數(shù),并且a0¹0,b0¹0.當(dāng)n<m時(shí),稱這有理函數(shù)是真分式;而當(dāng)n³m時(shí),稱這有理函數(shù)是假分式.假分

13、式總可以化成一個(gè)多項(xiàng)式與一個(gè)真分式之和的形式.例如.真分式的不定積分:求真分式的不定積分時(shí),如果分母可因式分解,則先因式分解,然后化成部分分式再積分.例1 求.解=6ln|x-3|-5ln|x-2|+C.提示:,A+B=1,-3A-2B=3,A=6,B=-5.分母是二次質(zhì)因式的真分式的不定積分:例2 求.解.提示:.例3 求.解.提示:.二、三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算所構(gòu)成的函數(shù),其特點(diǎn)是分子分母都包含三角函數(shù)的和差和乘積運(yùn)算.由于各種三角函數(shù)都可以用sin x及cos x的有理式表示,故三角函數(shù)有理式也就是sin x、cos x的有理式.用于三角

14、函數(shù)有理式積分的變換:把sin x、cos x表成的函數(shù),然后作變換:,.變換后原積分變成了有理函數(shù)的積分.例4 求.解令,則,x=2arctan u,.于是.解令,則.說(shuō)明: 并非所有的三角函數(shù)有理式的積分都要通過(guò)變換化為有理函數(shù)的積分. 例如,.三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分無(wú)理函數(shù)的積分一般要采用第二換元法把根號(hào)消去.例5 求.解設(shè),即,則.例6 求.解設(shè).即,則.例7 求.解設(shè)x=t6,于是dx=6t5dt,從而.例8 求.解設(shè),即,于是.練習(xí) 1.求.解:作變換,則有,. 2.求.解:. 3.求.解:=7ln|x-2|-4ln|x-1|+C.§4.5積分表的使用積分的計(jì)算要比導(dǎo)數(shù)的計(jì)算來(lái)得靈活、復(fù)雜. 為了實(shí)用的方便, 往往把常用的積分公式匯集成表, 這種表叫做積分表. 求積分時(shí), 可根據(jù)被積函數(shù)的類型直接地或經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單變形后, 在表內(nèi)查得所需的結(jié)果. 積分表一、含有ax+b的積分123456789例1求. 解: 這是含有3x+4的積分, 在積分表中查得公式. 現(xiàn)在a=3、b=4, 于是.二、含有的積分123456789三、含x2±a2的積分123四、含有ax2+b(a>0)的積分1234567五、含有ax2+bx+c (a>0)的積分六、含有(a>0)的積分123456789例3求